SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web

Рис. 24

Из треугольника F1MF2 видно, что 2a 2c . Запишем расстояния через координаты:

F1M x c 2 y 0 2 , F2 M x c 2 y 0 2 . (36)

Эти выражения подставим в (35) и получим

x c 2 y2 x c 2 y2 2a .

Последнему соотношению удовлетворяют координаты любой точки эллипса, следовательно, это соотношение – уравнение эллипса. Нужно его упростить. Второй корень перенесём из левой части вправо и возведём обе части уравнения в квадрат. Тогда будем иметь

x c 2 y2 2 2a x c 2 y2 2 ,

x2 2xc c2 y2 4a2 4a x c 2 y2 x2 2xc c2 y2 .

После приведения подобных членов в правой части оставим корень с множителем, остальные слагаемые перенесём влево и полученное выражение возведём в квадрат. Обозначим b2 a2 c2 (так как a c ), считая b 0. После простых преобразований получим соотношение

Такое уравнение эллипса называется каноническим. Имея уравнение (37), выясним форму эллипса.

Пусть M x, y – произвольная точка эллипса. На плоскости Oxy возьмём точку M ' x, y , имеющую ту же абсциссу x , что и точка М, а ординату y , отличающуюся от ординаты точки М только знаком. Точка M ' симметрична

41

5354.ru

M относительно оси Ox. Уравнение (37) содержит y только во второй степени и лежит на эллипсе, поэтому её координаты удо-

влетворяют уравнению эллипса, но тогда этому уравнению удовлетворяют координаты точки M ' , так как абсцисса точки М равна абсциссе M , а ординаты различаются лишь знаком. Получаем, что точка M лежит на эллипсе, но сказанное относится к произвольной точке M эллипса, следовательно, эллипс будет симметричным относительно оси Ox. Так как в (37) x содержится только в квадрате, рассуждая аналогично, покажем, что ось Oy также является осью симметрии эллипса, следовательно, начало координат O – центр симметрии эллипса. В силу симметрии форму эллипса достаточно выяснить для

Получили выражение для ординаты y точки M эллипса с абсциссой x. Когда абсцисса точки M принимает значение x 0 , то согласно (38) ее ордината y b . Точка M находится на Oy в точкеB1 0,b . С увеличением абсциссы точ-

ки M ордината этой точки согласно (38) уменьшается. Точка M опускается и при x a ордината этой точки будет равна нулю, M совпадет с точкой A1 a, 0

. Остальные части эллипса вычерчиваются по симметрии. Точки A1, B1, A2 , B2

называются вершинами эллипса, а числа 2a A1 A2 и 2b B1B2 – большой и ма-

лой осями эллипса соответственно (см. рис. 24).

§ 14. Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (рис. 25). Обозначим эту постоянную 2a 0 , а фокусы – через F1 и F2 . Расстояние между ними F1F2 2c . Ось Ox проведём через фокусы.

Начало координат О возьмём в середине отрезка F1F2 . Тогда фокусы имеют

42

5354.ru

Рис. 25

Знак «+» берётся, когда левая часть положительна, а знак «-» – когда левая часть отрицательна. Расстояния F1M и F2 M , как и раньше, выражаются формулами (36). Подставим (36) в (39):

тельное число, которое будем считать положительным. Уравнение (40) упростим, убрав корни так же, как в уравнении эллипса. Получим каноническое уравнение гиперболы

Исследуем форму гиперболы, исходя из уравнения (41) (как и в случае эллипса). Так как (41) содержит x и y только во второй степени, то Ox и Oy являются осями симметрии гиперболы (аналогично случаю эллипса), поэтому точка пересечения этих осей – начало координат – центр симметрии

гиперболы. Ясно, что для установления вида гиперболы достаточно рассмот-

Для положительных x знаменатель с увеличением x неограниченно увеличи-

Она симметрична с прямой (43) относительно Ox, проходит через точку O 0, 0 и через точку K a, b , симметричную с K относительно Ox. В силу

симметрии гиперболы относительно оси абсцисс ясно, что гипербола по отношению к прямой (44) расположена аналогично её расположению к прямой (43). Прямые (43) и (44) называются асимптотами.

При построении гиперболы целесообразно сначала начертить ее асимптоты. Точки A1 a, 0 и A2 a, 0 пересечения гиперболы с осью Ox называются

вершинами гиперболы. Расстояние между ними равно 2a , A1 A2 называется

действительной осью гиперболы; B1B2 2b и называется мнимой осью.

44

5354.ru

§ 15. Парабола

Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой фокусом, и заданной прямой, называемой директрисой. Пусть F – фокус. Ось Ox проведём через F перпендикулярно директрисе (рис. 26).

Рис. 26

Пусть p – расстояние от фокуса F до директрисы. Это число задано и называется параметром параболы. Начало координат возьмём в середине

Запишем расстояние от F до M :

FM x p / 2 2 y 0 2 (46)

Для любой точки M параболы имеем MN FM (по определению). Подставим сюда выражения (45), (46) и получим уравнение параболы

p / 2 x x p / 2 2 y2 .

Упростим его, избавляясь от корня. Получим каноническое уравнение парабо-

лы

45

5354.ru

Исследуем форму параболы по уравнению (47). Так как это уравнение содержит y только во второй степени, то, как и в случае эллипса, Ox является осью симметрии параболы. Следовательно, вид параболы достаточно установить в верхней полуплоскости, где y 0 . Для таких значений y уравнение

точка M совпадает с 0, 0 . С увеличением x – абсциссы точки M – её ордината, равная 2 px , неограниченно растёт, и точка M уходит вверх и вправо.

В силу симметрии остальная часть параболы вычерчивается сразу. Если Ox провести от F к директрисе, то получим параболу, изображенную на рис. 27. Легко проверить, что уравнение параболы в этом случае будет иметь вид y2 2 px. Пусть теперь ось Oy направлена перпендикулярно к директрисе и проходит через F . При этом уравнение параболы будет иметь вид x2 2 py

(см. рис. 28).

§ 16. Преобразование координат на плоскости

Параллельный перенос осей координат. Пусть Oxy – исходная система координат, O ' x ' y ' – новая система координат, полученная параллельным переносом исходной системы, как показано на рис. 29. Положение новой системы по отношению к старой определим, задав координаты O ' xo ' , yo ' нового начала O ' в старой системе координат, где xo' , yo' – заданные числа. Пусть x ' ,

46

5354.ru

Рис. 30

Поворот осей координат. Пусть Oxy – исходная система координат, а новая система координат получена поворотом исходной вокруг начала координат на угол , где – заданное число (см. рис. 30). Угол берётся со знаком «+», если отсчёт ведётся против хода часовой стрелки от оси Ox. Пусть x, y – координаты точки M в системе Oxy , x1, y1 – координаты точки M в системе Ox1 y1 . Пусть OM и – угол, образованный отрезком OM с осью Ox1 , причём, как и , этот угол берётся со знаком «+», если отсчёт ведётся от оси Ox1 против хода часовой стрелки. Из рис. 30 видно, что

Формулы (50) перепишем, использовав известные формулы тригонометрии для косинуса и синуса суммы: x cos cos sin sin , y sin cos cos sin . С учётом (49) запишем

47

5354.ru

уравнение эллипса в новой системе координат O1x1 y1 . Это будет уравнение общего вида (после раскрытия скобок)

Ax12 2Bx1 y1 Cy12 2Dx1 2Ey1 F 0 .

Таким образом, перейдя к системе O1x1 y1 , от канонического уравнения (54)

эллипса мы перешли к более сложному уравнению – уравнению второй степени общего вида. Можно показать, что, наоборот, от последнего уравнения в системе O1x1 y1 , подобрав другую систему координат Oxy, можно получить каноническое уравнение, определяющее либо окружность, либо эллипс, либо

определяет лишь точку или не определяет никакого множества точек.

§ 17. Понятие о многомерном евклидовом пространстве

Известно, что положение точки на прямой определяется одним числом – её координатой, положение точки на плоскости определяется двумя числами

– координатами этой точки, а положение точки в пространстве – трёмя числами, её координатами. Обобщая эти представления, можно вести 4-мерное и т. д., n -мерное пространство. Таким путём можно построить n -мерную геометрию. Известно, что стереометрия основывается на системе аксиом – аксиоматике. Аналогично можно построить многомерную евклидову геометрию, взяв за основу аксиоматику, аналогичную аксиоматике стереометрии. Но исторически многомерная геометрия была создана иначе, а именно, не на основании аксиом, аналогичных аксиомам стереометрии, а на основании так

ствие положительное число, называемое расстоянием между этими точками

иопределяемое следующим образом:

MMx1 x1 2 x2 x2 2 xn xn 2 .

49

5354.ru

Геометрическими считаются лишь такие соотношения, которые связывают расстояния между точками и сохраняются при умножении всех расстояний на одно и то же число (как и при преобразовании подобия в стереометрии).

Теория, основанная на указанных аксиомах, называется n -мерной евклидовой геометрией. Множество точек M , для которых справедливы эти акси-

омы, называется n -мерным евклидовым пространством.

Пусть A, B – две точки в пространстве с координатами A x1A , x2A , , xnA и B x1B , x2B , , xnB . Вектором, у которого начало находится в точке A , а конец – в

точке B , назовём величину, обозначаемую AB ( AB a ), координаты которой равны разностям координат конца и начала (как в трёхмерном пространстве):

AB a x1B x1A , x2B x2A , , xnB xnA .

Вектор называется нулевым, если все его координаты равны нулю, в про-

клидовом пространстве. Они называются равными, если все их соответствующие координаты равны друг другу, т. е. ai bi для всех i 1, 2, , n .

Суммой этих векторов называется вектор, обозначаемый a b и опреде-

ляемый формулой a b a1 b1, a2 b2 , , an bn . Иначе говоря, при сложении векторов их соответствующие координаты складываются. Аналогично определяется разность векторов.

Произведением a на число называется вектор a a1, a2 , , an , т. е.

при умножении вектора на число на это число умножаются все его координаты.

дение равно нулю.

50

5354.ru