SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web
.pdfПусть векторы заданы своими проекциями: a (ax ,ay ,az ), |
b (bx ,by ,bz ), поэтому |
|||||
a = ax |
i + ay |
j + az k , b = bx |
i + by j + bz k . Сначала для произведений |
базисных |
||
векторов i , j , k докажем справедливость соотношений |
|
|
||||
|
|
|
( i , i )=1; |
( j , j )=1; |
( k , k )=1; |
(15) |
|
|
|
( i , j )=0; |
( j , k )=0; |
( i , k )=0; |
(16) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
Действительно, по формуле (13) имеем ( i , i )=| i || i | cos i, |
i , поэтому ( i |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
i )=1. Далее, ( i |
, j )=| i || |
|
|
|
|
|
j | cos i, j =0. Остальные равенства в (15) и (16) дока- |
||||||
зываются аналогично. |
|
|
|
|
||
Запишем скалярное произведение |
|
|
||||
|
|
( a , b )=( ax |
i + ay j + az k , bx i + by j + bz k ). |
|
|
|
Использовав второе и третье свойства скалярного произведения, будем иметь |
|
|||||
( a |
, b )= ax bx ( |
i , i )+ ax by ( i , j )+ ax bz ( i , k )+ ay bx ( j , i )+ |
|
|||
+ ay |
by ( j , j )+ ay bz ( j , k )+ az bx ( k , i )+( azby (k, j) azbz (k,k). |
|
||||
Отсюда с учётом (15) и (16) получим |
|
|
||||
|
|
|
|
( a , b )= ax bx + ay by + az bz . |
(17) |
Таким образом, скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных проекций этих векторов.
Вычисление угла между векторами. Запишем | a | и | b | через проекции с использованием формулы (10). Из (13) следует, что cos a, b /( ab ) . Следо-
вательно, согласно (17)
cos |
|
axbx ayby azbz |
|
. |
(18) |
|||
a2 |
a2 |
a2 |
b2 |
b2 |
b2 |
|||
|
x |
y |
z |
x |
y |
z |
|
Зная cos , найдем угол , 0 .
Условие ортогональности (перпендикулярности) двух векторов. Если для ненулевых векторов a и b их скалярное произведение ( a , b )=0, то вектор a ортогонален вектору b.
21
5354.ru
В самом деле, |
пусть ( a , b )=0, |
тогда согласно (13) имеем ( a , b )=| a | | b | |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
0 , |
b |
0 , то |
|
|
, т. е. векторы |
cos a,b =0. Так как |
|
cos a,b =0. Значит, |
a,b / 2 |
ортогональны.
Условие ортогональности двух векторов с учётом (17) можно записать следующим образом: ax bx + ay by + az bz =0.
§ 10. Векторное произведение векторов, условие коллинеарности двух векторов, площадь треугольника
Даны два вектора a и b . Построим их, поместив начала в |
||||||||||||||
общей точке и обозначая угол между ними (см. рис. 12). |
||||||||||||||
Векторным произведением двух векторов a и b называется |
||||||||||||||
вектор (обозначаемый c |
a b ), который обладает свойства- |
|||||||||||||
ми: |
|
c |
|
|
|
|
a |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin , т. е. |
длина вектора c численно равна |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
площади параллелограмма, построенного на a , b как на сто- |
||||||||||||||
ронах; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
c a , c b , т. е. c |
перпендикулярен к плоскости указанного параллело- |
||||||||||||
грамма; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
вектор c направлен так, что если смотреть с его конца, то кратчайший |
поворот от первого вектора a ко второму вектору b совершается против хода |
|||
часовой стрелки. |
|||
|
Для |
векторного произведения a b применяют и другие обозначения: |
|
a |
b , |
a,b |
. |
|
|
|
|
Векторное произведение обладает следующими свойствами:
a b ( 1)[b a]; [ a b] [a b] [a b]; a (b c) a b a c.
Первые два свойства доказываются построением. Докажем справедливость равенства
a (b c) a b a c.
Вначале отметим, что любой вектор b |
можно пред- |
||||
|
|
|
|
|
|
ставить в виде b b0 |
b1 |
, |
где вектор b0 коллинеарен a, а |
||
вектор |
|
|
|
(см. рис. 13). Чтобы в этом убе- |
|
b1 ортогонален |
a |
||||
диться, |
достаточно через начало вектора b |
провести пря- |
|||
|
|
|
|
22 |
|
Рис. 13
5354.ru
|
|
|
|
провести плоскость, перпенди- |
|||
мую, параллельную a, через конец вектора b |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
кулярную a, |
точка их пересечения служит концом b0 и началом |
b1 (начало |
b0 |
||||
совпадает с началом b , конец b1 – с концом b ). |
|
|
|
a, |
|||
|
Замечая, |
что площадь параллелограмма, |
построенного на |
векторах |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
b b0 |
b1 , равна площади параллелограмма, построенного на векторах a, |
b1 , по- |
скольку они имеют общую сторону a , одну и ту же высоту b1 , заключаем, что a b a (b0 b1 ) a b1.
Аналогично для вектора |
|
|
|
где вектор |
|
коллинеарен |
|
а вектор |
|
||
c c0 |
c1 |
, |
c0 |
a, |
c1 |
||||||
ортогонален |
|
будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a c a (c0 c1 ) a c1.
|
Покажем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
a (b1 c1 ) a b1 |
a |
c1 |
d |
d1 |
d2 |
, |
|
|
|||||||
где d a (b1 c1), d1 |
a b1, d |
2 a c1 |
суть векторы, лежащие в одной плоскости, |
||||||||||||||||
так как они перпендикулярны a. Здесь имеем |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|d1 | | a | | b1 |, |
|d2 | | a || c1 |, |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
поскольку вектор a |
ортогонален и b1 , и c1 |
. Кроме того, | d | | a || b1 |
c1 | . Заметим, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ортогонален |
|
|
|
|
|
|
||||
что (d1 , d2 ) |
(b1 , c1 ), так как вектор d1 |
b1 , |
а вектор d2 ортогонален |
c1. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
Но d |
ортогонален b1 c1 , поэтому угол |
(d1 , d ) равен углу между векторами b1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
векторы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
b1 |
c1. |
d, |
d1 |
, |
d2 |
получаются поворотом вокруг a соот- |
|||||||||||||
ветственно векторов |
b1 c1 , |
|
b1 , |
c1 |
на |
угол, равный |
/ 2, |
в одном и том же |
направлении (против хода часовой стрелки, если смотреть с конца вектора a ) |
||||||||||
и |
умножением |
их |
на |
|
|
|
|
Учитывая, |
что |
|
| a | . Это означает, что |
d d1 |
d2 |
. |
|||||||
b |
c b0 c0 b1 c1 , |
где |
b0 c0 |
– вектор, коллинеарный |
a , |
b1 |
c1 |
ортогонален |
a , и |
приняв во внимание предыдущие соотношения, имеем
a (b c) a (b0 c0 b1 c1) a (b1 c1) a b1 a c1
a b a c,
что и требовалось.
23
5354.ru
Пусть |
векторы |
a и b |
заданы своими |
проекциями: a =( ax , ay , az ), |
|
b (bx , by , |
bz ) . Тогда |
a = ax |
i + ay |
j + az k , b = bx i + by |
j + bz k . Сначала рассмотрим |
векторные произведения базисных векторов.
С помощью определения векторного произведения покажем справедливость равенств
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(19) |
|||||
|
|
|
|
i |
j |
k; j k |
i; k |
i |
j; |
j i |
k; |
k j |
i; i |
k |
j; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
i 0; |
|
j j 0; k k 0. |
(20) |
||||||
Итак, пустьi j c. |
Вектор c обладает свойствами: |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
i |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin i, j = 1 1 1 = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
c i , |
c j , т. е. |
c перпендикулярен к плоскости, в которой лежат век- |
||||||||||||||||||||||
торы i |
и j ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
c |
направлен так, что если смотреть с его конца, то кратчайший поворот |
|||||||||||||||||||||||
от первого вектора i |
ко второму вектору |
j совершается против хода часовой |
|||||||||||||||||||||||
стрелки, т. е. c |
совпадает с k , следовательно, |
i j k. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Покажем, что i i 0. Пусть i i c. Тогда |
c |
|
i |
|
i |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
sin i,i =0, |
|
c =0, т. е. i |
i 0. Аналогично доказываются остальные равенства (19) и (20). |
|||||||||||||||||||
Рассмотрим векторное произведение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
a b (ax i ay |
j az k) (bx i by j bz k). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Использовав последние два свойства, запишем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
a b axbx[i i] axby [i j] axbz [i k] aybx[ |
j i] ayby [ j j] |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
aybz [ j k] azbx[k |
i] azby [k |
j] azbz [k |
k]. |
|
|
|
|
||||||||||||
Отсюда с учётом (19) и (20) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b = ax by k ax bz j |
ay bx k + ay bz i + az bx |
j - az by |
i . |
|
|||||||||||||||
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b =( ay bz - az by ) i -( ax bz - az bx |
) j +( ax by - ay bx ) k . |
(21) |
|||||||||||||||||
Следовательно (см. § 1), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b i |
|
ay |
az |
|
j |
|
ax |
az |
|
k |
|
ax |
ay |
|
. . |
(22) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
b |
b |
|
|
|
b |
b |
|
|
|
|
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
z |
|
|
|
x |
z |
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5354.ru |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эту формулу можно записать так:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
j |
k |
|
|
(23) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b |
|
ax |
ay |
az |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bx |
by |
bz |
|
|
|
|
Таким образом, если a и b заданы своими проекциями, то векторное про- |
|||||||||||||||||||||||||
изведение двух векторов определяется по формуле (23). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Условие коллинеарности двух векторов. Если для ненулевых векторов |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b коллинеарны. |
В самом деле, если |
||||||
выполняется условие a |
b |
0, то a и |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 0 |
и sin 0 , |
т. е. 0 |
|
или . |
Следовательно, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
a |
b 0, то |
|
a |
b |
|
|
a |
|
|
|
b |
|
|
|||||||||||||
векторы a , |
b |
|
коллинеарны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
В этом случае из (21) имеем ay bz - az by =0, ax bz - az bx =0, ax |
by - ay bx =0. Зна- |
||||||||||||||||||||||||
чит, |
ax / bx |
ay / by |
az / bz . |
Это и есть условие коллине-арности двух векторов, |
||||||||||||||||||||||
заданных своими проекциями. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Решим следующую задачу: определить площадь треугольника, заданного |
|||||||||||||||||||||||||
своими вершинами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Пусть |
A(x1, y1, z1 ) , B(x2 , y2 , z2 ) , C(x3, y3, z3 ) – вершины треугольника в про- |
странстве Oxyz , а их координаты – заданные числа. Найдем векторы (см. § 7)
|
|
|
|
|
|
|
|
x1, y3 y1, z3 |
z1), |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
AB (x2 x1, y2 y1, z2 z1), AC (x3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
||||||
векторное произведение которых обозначим d dxi dy j |
dz k = |
AB AC. |
||||||||||||||||||
согласно (22) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
dx |
|
y2 y1 z2 z1 |
|
, dy |
|
x2 x1 z2 z1 |
|
, |
dz |
|
x2 x1 y2 y1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
y3 y1 z3 z1 |
|
|
|
x3 x1 z3 z1 |
|
|
|
|
x3 x1 y3 y1 |
|
|
|
|
|||
и |
dx2 d y2 dz2 . Площадь параллелограмма, построенного на векторах |
|||||||||||||||||||
| d | |
AB |
|||||||||||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
, поэтому искомая площадь треугольника |
|||||||||||||
AC, |
равна найденному числу | d | |
определяется по формуле
§11. Смешанное произведение векторов
иего геометрический смысл. Условие компланарности трех векторов
|
Даны векторы a , b |
и c . Векторы a , b перемножим векторно и получим |
|
d |
a b. Этот вектор умножим скалярно на c |
и получим число d, c , которое |
|
|
|
25 |
5354.ru |
|
|
|
называется смешанным (векторно-скалярным) произведением трёх исходных векторов a , b , c и обозначается
|
|
|
|
|
|
|
( a , b , |
|
|
,c . |
(24) |
||
c ) = d, c = a b |
Рассмотрим это смешанное произведение, когда векторы заданы своими проекциями a (ax , ay , az ) , b (bx , by , bz ) , c (cx , cy , cz ) . Проекции вектора d на
оси координат определяются по формуле (22).
Скалярное произведение векторов d и c равно сумме произведений одноимённых проекций:
|
|
ay az |
|
c |
|
a |
x |
a |
z |
|
c |
|
|
ax ay |
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(d, c) c |
x |
b |
|
b |
|
y |
b |
b |
|
z |
|
b |
b |
|
|
|||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|||||||||
|
|
|
z |
|
|
|
x |
z |
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Левая часть этой формулы – смешанное произведение ( a ,b , c ). Правую часть запишем в виде определителя третьего порядка:
a,b, c |
|
ax ay az |
. |
(25) |
bx by bz |
||||
|
|
cx cy cz |
|
|
Эта формула позволяет вычислить смешанное произведение векторов, за- |
||||
данных своими проекциями. Выясним теперь |
|
|
|
|
Геометрический смысл смешанного произведения. Даны векторы a , b
и c . Построим эти векторы, поместив их начала в общей точке, а затем на них как на рёбрах построим параллелепипед (рис. 14). Построим вектор d a b , перпендикулярный к плоскости, в которой лежат векторы a и b , т. е. перпендикулярный к нижнему основанию параллелепипеда. Длина | d | равна площа-
ди S нижнего основания параллелепипеда (т. е. площади параллелограмма, |
||
построенного на векторах a и b |
как на сторонах). Через конец c проведём |
|
плоскость, перпендикулярную к d |
(ясно, что верхнее |
|
основание параллелепипеда лежит в этой плоскости). |
|
|
Эта плоскость пересечёт вектор d (или его продол- |
|
|
жение) в точке К (К – проекция конца вектора c на |
|
|
указанную линию). Из построения следует, что рас- |
|
|
стояние ОК равно высоте h параллелепипеда. Пусть |
|
|
– угол между d и c . На рис. 14 изображен случай, |
|
|
когда / 2, при этом OK h | c |cos . Смешанное |
Рис. 14 |
|
|
26 |
5354.ru |
|
|
произведение |
(a,b, c) (d, c) | d || c |cos . |
Но | d | S и |
h | c |cos . Поэтому |
|
(a,b, c) Sh V , |
где V – объём параллелепипеда. Этот результат мы получили |
|||
для случая, |
когда . Если , |
то вектор c лежит ниже плоскости |
||
векторов a , |
b , при этом OK h | c |cos и (a,b, c) Sh V . Итак, справедли- |
|||
ва формула |
|
|
(a,b, c) V , |
|
|
|
|
(26) |
где V – объем параллелепипеда.
Определение. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.
Условие компланарности трех векторов. Если для трёх ненулевых век- |
||||||
торов a , |
b и c выполняется условие |
|
||||
|
|
|
|
|
(a, b, c) 0 , |
(27) |
то эти векторы компланарны. |
|
|||||
Действительно, в этом случае согласно (26) имеем (a,b, c) |
V Sh 0. |
|||||
Отсюда следует, что три вектора лежат в одной плоскости, так как или S 0, |
||||||
или h 0. |
|
|
|
|||
Если |
a , |
b и c заданы своими проекциями, то условие компланарности |
||||
(27) с учётом (25) можно записать так: |
|
|||||
|
|
|
ax ay az |
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
bx by bz |
|
|
|
|
|
|
cx cy cz |
|
|
|
Это условие проверяется непосредственно по заданным проекциям рассматриваемых векторов.
27
5354.ru
ГЛАВА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
§ 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве
В аналитической геометрии любую поверхность в пространстве рассматривают как геометрическое место точек, обладающих определённым свойством. Расположим указанную поверхность в системе координат Oxyz. Свойство, общее для всех точек поверхности, запишем аналитически, т. е. в виде соотношения, связы-
вающего координаты x, y, z произвольной точки M Рис. 15 поверхности:
|
F x, y, z 0 , |
(1) |
где левая часть F x, |
y, z – известное выражение, содержащее x, |
y, z . Фор- |
мула (1) называется уравнением поверхности в пространстве Oxyz, а величи-
ны x, y, z – текущими координатами. Например, сфера радиуса R с центром (0, 0, 0) (см. рис. 15) определяется уравнением
x2 y2 z2 R2 |
0 . |
(2) |
В самом деле, для любой точки М( x, y, z ) сферы расстояние ОМ=R. Заметив, что OM x 0 2 y 0 2 z 0 2 , подставим это выражение в предыдущую
формулу, возведем в квадрат и перенесем R2 влево, при этом получим (2). Поэтому (2) является уравнением сферы.
По построению уравнению (1) удовлетворяют координаты любой точки поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на поверхности. Можно сформулировать и обратное утверждение: каждому уравнению вида (1) в пространстве Oxyz отвечает некоторая поверхность – геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют (1), если не имеет место случай, когда это уравнение не определяет никакого множества точек,
например, |
x2 y2 z2 1 0 , или когда уравнение определяет одну точку, |
например, |
x2 y2 z2 0 . |
Итак, каждой поверхности в пространстве Oxyz отвечает уравнение вида
(1). Это обстоятельство позволяет свести изучение геометрических свойств
28
5354.ru
поверхностей к изучению их уравнений аналитическими методами. Этим и занимается аналитическая геометрия.
Уравнения линии в пространстве. Линию L в пространстве Oxyz будем рассматривать как линию пересечения двух поверхностей. Пусть каждая из этих поверхностей определяется одним из уравнений
F ( x, y, z) 0, |
(3) |
1 |
|
F2 ( x, y, z) 0. |
|
Тогда координаты x, y, z любой точки M линии L удовлетворяют каждому из этих уравнений, так как эта точка лежит на обеих поверхностях. Таким образом, линии L отвечает система двух уравнений (3). Эта система называется
уравнениями линии L в пространстве.
Итак, линии L в пространстве отвечает система уравнений (3) и, наоборот, каждой системе уравнений (3) в пространстве Oxyz отвечает некоторая линия – геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют этой системе.
§ 2. Плоскость, общее уравнение плоскости
Пусть в пространстве Oxyz задана плоскость, т. е. заданы:
координаты x0 , y0 , z0 точки M0 , лежащей на этой плоскости;
A, B, C – проекции на оси координат ненулевого вектора N A, B,C ,
перпендикулярного плоскости, который называется нормальным вектором плоскости.
Пусть M x , y , z |
– |
произвольная точка плоскости. Рассмотрим вектор |
||
|
|
(см. рис. 16). Он лежит на рассматриваемой плоско- |
||
M0M x x0 , y y0 , z z0 |
||||
сти и поэтому перпендикулярен нормальному вектору N |
этой плоскости, |
|||
следовательно, скалярное произведение этих векто- |
|
|||
|
|
|
|
|
ров M0 M , N 0 . Выразим скалярное произведение |
|
|||
через проекции векторов. Получим |
|
|
||
A x x0 B y y0 C z z0 0 . |
(4) |
|
||
Это есть уравнение рассматриваемой плоскости, |
|
|||
Здесь x, y, z – текущие координаты, т. е. координа- |
|
|||
ты произвольной точки плоскости. |
|
Рис. 16 |
||
|
|
29 |
|
5354.ru |
|
|
|
|
Общее уравнение плоскости. Возьмём уравнение первой степени относительно x, y, z :
Ax By C z D 0 , |
(5) |
где A, B, C, D – заданные числа. Будем считать, что A, B, C одновременно не обращаются в нуль. Если же эти числа обращаются в нуль одновременно, то
(5) примет вид D 0 и уже не будет уравнением. Пусть C 0 , тогда (5) можно записать в виде
A x 0 B y 0 C z ( D / C) 0 . |
(6) |
Но это есть уравнение вида (4), поэтому оно (следовательно, и уравнение (5))
определяет в |
пространстве Oxyz |
плоскость, |
проходящую через точку |
M0 0,0, D / C |
и перпендикулярную к вектору N A, B,C . |
||
Итак, уравнение (5) в пространстве всегда определяет плоскость с нор- |
|||
мальным вектором N A, B,C . Оно называется общим уравнением плоско- |
|||
сти. Мы показали также, что в (5) |
числа A, B,C |
(коэффициенты уравнения |
при текущих координатах) представляют собой проекции на оси координат нормального вектора N этой плоскости. Отметим отдельные частные случаи уравнения (5).
Пусть в (5) D 0 , тогда уравнение примет вид Ax By Cz 0 , плоскость в этом случае проходит через точку O 0, 0, 0 , так как координаты точки О удо-
влетворяют этому уравнению.
Пусть C 0 , тогда получим уравнение Ax By D 0 . В этом случае плоскость параллельна оси Oz, так как её нормальный вектор N A, B,0 перпендикулярен к оси Oz. В самом деле, здесь проекция вектора N на ось Oz равна
|
|
|
/ 2 . |
|
|
|
|
N cos Oz, N |
0 . Следовательно, cos Oz, N |
0 , значит, угол Oz, N |
|
ПустьD 0 , C 0 . Тогда имеем уравнение Ax By 0 . Плоскость проходит |
через ось Oz, так как проходит через начало координат О (поскольку D 0 ), кроме того, она параллельна оси Oz (поскольку C 0 ).
Пусть B 0 , C 0 . Тогда Ax D 0 или x D / A . Плоскость параллельна плоскости Oyz , так как она параллельна оси Oz (поскольку C 0 ) и параллельна оси Oy (поскольку B 0 ).
Пусть B 0 , C 0 , D 0 . Тогда Ax 0 или x 0 . Это уравнение определяет плоскость Oyz , так как плоскость параллельна Oyz , как и в предыдущем
30
5354.ru