Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
уч_комплекс_эконометр.doc
Скачиваний:
33
Добавлен:
04.04.2013
Размер:
2.81 Mб
Скачать

Решение

1)

-уравнение регрессии.

=2000-40(90/40)2=1797,5

220,9-19,1+67,3-05+202,5=66,6

ЕSS=1797,5-66,6=1797,5-66,6=1730,9

Очень маленькое значение, объем продаж лишь на 3,7% объясняется температурой. Значит, сумма средств, потраченных на лекарство, слабо зависит от температуры.

2)

Задача 3. По совокупности 30 предприятий торговли изучается зависимость между признаками: – цена за товар А, тыс. руб.;– прибыль торгового предприятия, млн. руб. При оценке линейной регрессионной модели были получены следующие промежуточные результаты.

Поясните, какой показатель корреляции можно определить по этим данным.

Для вычислений будем использовать следующие формулы:

- общая сумма квадратов отклонений, TSS;

- сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией, RSS;

- остаточная сумма квадратов отклонений, ESS.

Решение. По указанным данным можно определить индекс корреляции для нелинейной регрессии:

Так же можно найти R2:

= 1-=0,675

Не очень большой R2 свидетельствует о не очень сильной линейной связи. В то же время был подсчитан коэффициент не линейной связи (0,822), который свидетельствует о достаточно существенной зависимости.

Задача 4: Нахождение параметров регрессии на примере линейной функции.

По семи территориям Уральского региона за 2002 год известны значения двух признаков:

  • - расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, %;

  • - среднедневная заработная плата одного работающего, руб.

Номер

Регион

1

Удмуртская респ.

68,8

45,1

2

Свердловская обл.

61,2

59

3

Башкортостан

59,9

57,2

4

Челябинская обл.

56,7

61,8

5

Пермская обл.

55

58,8

6

Курганская обл.

54,3

47,2

7

Оренбургская обл.

49,3

55,2

Задание.

1. Для характеристики зависимости от рассчитать параметры следующих функций: 1.1) линейной; 1.2) степенной;

2. Оценить каждую модель через коэффициент детерминации R2. Решение.

  1. Линейная регрессия = а + b

Для определения параметров а и b линейной регрессии по исходным данным рассчитываем

следующие величины:

Результаты промежуточных вычислений приведены в таблице.

таблица 2.1.

-

1

68,8

45,1

3102,88

2034,01

4733,44

61,33

7,5

2

61,2

59

3610,8

3481

3745,44

56,54

4,7

3

59,9

57,2

3426,28

3271,84

3588,01

57,16

2,8

4

56,7

61,8

3504,06

3819,24

3214,89

55,57

1,2

5

55

58,8

3234

3457,44

3025

56,61

-1,5

6

54,3

47,2

2562,96

2227,84

2948,49

60,61

-6,2

7

49,3

55,2

2721,36

3047,04

2430,49

57,85

-8,5

Итого

405,2

384,3

22162,3

21338,4

23685,8

-55,58

0,0

Среднее значение

57,88

54,9

3166,05

3048,34

3383,68

Σ

5,74

5,86

σ2

32,92

34,34

Уравнение регрессии: = 76,88-0,35.

С увеличением среднедневной заработной платы на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 0,35 %-ых пункта. Для определения направления и тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Связь умеренная, обратная.

Определим коэффициент детерминации:

  • можно рассчитать по формуле R2 = (-0,357)2 = 0,127.

  • получить в рамках оценивания параметров регрессии на компьютере.

Вариация результата на 12,7 % объясняется вариацией фактора х. Подставляя в уравнение регрессии фактические значения , определим теоретические (расчётные) значения.

  1. Степенная функция.

Проведём процедуру линеаризации путём логарифмирования обеих частей уравнения: lg = lga + b * lg

После переобозначения мы будем оценивать регрессию вида: = с + d

-

(-)2

1

1,8376

1,6542

3,0397

2,7363

3,3767

61,0

7,8

61,29

2

1,7868

1,7709

3,1641

3,1359

3,1925

56,3

4,9

24,21

3

1,7774

1,7574

3,1236

3,0884

3,1592

56,8

3,1

9,60

4

1,7536

1,7910

3,1406

3,2076

3,0751

55,5

1,2

1,42

5

1,7404

1,7694

3,0794

3,1307

3,0289

56,3

-1,3

1,79

6

1,7348

1,6739

2,9040

2,8021

3,0095

60,1

-5,8

34,22

7

1,6928

1,7419

2,9488

3,0344

2,8657

57,4

-8,1

65,73

Итого

12,3234

12,1587

21,4002

21,1354

21,7076

403,5

1,7

198,26

Среднее значение

1,7626

1,7396

3,0572

3,0193

3,1011

28,27

Σ

 0,0425

0,0484 

 

 

 

 

 

σ2

 0,0018

 0,0012

 

 

 

 

 

Рассчитаем С (или lg a) и b:

Получим линейное уравнение: Y= 2,278 – 0,298 X

Выполнив его потенцирование, получим:

= 102,278*-0,298 = 189,7-0,298

Подставляя в данное уравнение фактические значения , получаем теоретические значения результата .

Характеристики степенной модели указывают, что она несколько лучше линейной функции описывает взаимосвязь. Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений.

Определение: Доверительный интервал – это интервал, накрывающий истинное значение (которое мы не знаем, но строим его оценку, т.е. приблизительное значение) параметра с заданной вероятностью α.

Задача 5. Построить доверительный интервал для истинных значений регрессии при всех наблюдениях( i =1:14).

Решение: Доверительный интервал для одного истинного значения регрессии при заданном уровне значимости будет следующим:

- , где -квантиль распределения Стьюдента приf степенях свободы и заданном уровне значимости α. - дисперсия оценки истинного значения. Она рассчитывается следующим образом:.

Пусть известно, что T=14, =2,0809,Находим квантиль распределения Стьюдентапри α=0,05 иf = 14-1-1=12 степенях свободы. Для этого в Excel в ячейку надо ввести строчку: {==СТЬЮДРАСПОБР(0,05;12)}и нажать Ввод. Он равен 2,179. Пусть с помощью МНК найдены оценки коэффициентов регрессии =7,0356 + 0,5435.

Представим расчеты в таблице. Значенияинам даны. Остальные столбцы рассчитываются.

-

1

20

32

24,4276

388,4841

0,9692

2,1119

22,3157

26,53

2

24

30

23,3406

471,3241

1,0360

2,2575

21,0831

25,59

3

28

36

26,6016

246,8041

0,8428

1,8364

24,7652

28,13

4

30

40

28,7756

137,1241

0,7299

1,5905

27,1850

30,36

5

31

41

29,3186

114,7041

0,7047

1,5356

27,7830

30,85

6

33

47

32,5806

22,1841

0,5890

1,2835

31,2971

32,86

7

34

56

37,4716

5,2441

0,5838

1,722

26,1994

38,74

8

37

54

36,3846

18,4041

0,5653

1,2318

35,1252

37,61

9

38

60

39,6456

68,7241

0,6498

1,4159

38,2297

41,06

10

40

55

36,9276

10,8241

0,5732

1,2491

35,6785

38,17

11

41

61

40,1896

86,3041

0,6713

1,4628

38,7268

41,65

12

43

67

43,4496

233,7841

0,8302

1,8089

41,6407

45,25

13

45

69

44,5376

298,9441

0,8914

1,9424

42,5952

46,48

В столбцах 8 и 9 (предпоследний и последний) указаны соответственно нижние и верхние доверительные границы. Например, при =32 истинное значение регрессии генеральной совокупности с доверительной вероятностью 0,95 будет находиться в интервале 22,3157≤≤26,53

Доверительные интервалы для параметров линейной регрессии вычисляются по формуле:

, где - оценка стандартного отклонения- это оценка параметра регрессии, т.е. либоа , либо b. Определим доверительные границы для параметров регрессии генеральной совокупности. Точечные оценки параметров: а=7,0356 , b = 0,5435. Стандартные ошибки оценок параметров регрессии = 2,1532, а=2,179 . Зададимся уровнем значимости α=0,05.. В соответствии с выше приведенной формулой получаем следующие доверительные границы для:а:7,0356 ±2,179 * 2,132 , или, 7,0356 ±4,6918.

b: 0,5435±0,0876.

Задачи для самоконтроля.

Задача 6. n = 52;

Построить и оценить модель линейной регрессии: = а + b. Для этого найти:

1) â -? - ? TSS-? ESS-? R2-? Y(-3)-?

Задача 7. Известно, что:

2

4

-3

2

5

-6

2

4

7

3

2

-1

3

0

-4

2

5

6

Построить регрессию на , т.е. оценить коэффициенты регрессии

=+.

Найти:; TSS, ESS, RSS, R2,

Задача 8. Пусть Х1, Х2, …Хn – независимые, одинаково распределенные случайные величины.

Приведено 4 оценки для математического ожидания xi:

  1. y1=x1

  2. y2=0,2*x1+0,8*x2

  3. y3=x1+x2-x3

  4. y4=½x1+⅓x2+¼x3

E[xi]=μ ; Var[xi]=V[xi]

Какие из указанных оценок являются несмещенными?

Какая оценка среди несмещенных является наиболее эффективной?

Примечание: Несмещенной называется оценка, математическое ожидание которой равно истинному значению, то есть . Эффективной называется оценка, обладающая наименьшей дисперсией. Дисперсия а рассчитывается по формуле:,a