- •1.1. Определители матриц и их свойства. Вычисление определителей. Правило Крамера для системы n линейных уравнений
- •1.2. Векторы. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис. Декартова система координат. Скалярное произведение векторов
- •1.3. Векторное и смешанное произведение векторов
- •1.5. Прямая на плоскости
- •1.6. Прямая и плоскость в пространстве
- •1.7. Кривые второго порядка на плоскости
- •1.8. Поверхности второго порядка в пространстве
- •1.9. Линейные векторные пространства. Линейная независимость векторов. Базис, размерность пространства. Подпространство. Линейная оболочка. Пространство решений системы линейных уравнений
- •1.11. Линейные операторы и их матрицы. Действия над линейными операторами. Обратный оператор
- •1.12. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
- •1.13. Переход к новому базису. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду
- •1.14. Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра
10 − 4 −8 |
|
|
10 − 4 −8 |
|
|
||||||||||||||||||
|
36 |
|
|
|
0 |
36 |
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
. |
|
|||||||||||||
|
−18 0 −18 |
|
|
|
|
−18 0 |
|
−18 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
10x |
1 |
− 4x |
2 |
−8x |
3 |
= 0 |
|
2x |
1 |
− 4x |
2 |
= 0 |
x 2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x1 = x3 |
|
|
|
|
|
|
x1 = x |
3 |
|
|||||||
|
x3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
= x |
|
|
, |
|
|
x3 R ≠0 . |
|
Собственный |
||||||||||||
3 |
3 1 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10x1 − 4x 2 −8x3 = 0−18x1 +18x3 = 0
=12 x3 .
вектор, соответствующий
собственному значению λ3 = −9 , x3 = 1, 12 ,1 , x3 =1.
1.13. Переход к новому базису. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду
r |
r |
r |
r |
r |
|
T |
|
|
|
|
№1. Дан вектор x |
= 2U1 |
−U2 |
+3U3 |
− 2U4 = (2,−1,3, |
−2) . |
r |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=U |
− 2U |
, |
||
|
|
|
|
|
|
V |
||||
|
|
|
|
|
|
r1 |
r1 |
r |
2 |
|
|
|
|
|
r r r |
, если |
V2 =U1 |
+U3 |
, |
. |
|
Разложить этот вектор по базису V1,V2 ,V3,V4 |
r |
|
r |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
V3 |
= −2U2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
V4 |
=U2 |
−U4. |
|
Решение:
Составим матрицу перехода от первого базиса {Ur1,K,Ur4} ко второму
{Vr1,K,Vr4}. Столбцами матрицы T служат коэффициенты разложения векторов нового базиса по векторам старого базиса.
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 0 |
−2 1 |
|
r |
r |
|
r |
|
r |
||
T = |
|
|
|
|
|
, X |
=TX |
1 |
X |
1 |
=T −1X . |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
0 |
0 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
Найдем T −1 . Метод Гаусса
1.прибавим к первой строке вторую, умноженную на -1; прибавим к третьей строке первую, умноженную на 2; умножим четвертую строку на -1
2.прибавим к третьей строке четвертую, умноженную на -1
3.умножим третью строку на −12
47
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
-1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
→ |
||||||||||||||||
|
−2 0 |
−2 1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
−2 1 |
|
2 |
1 |
-2 0 |
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
−1 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 0 0 1 0 -1 0 |
|
|
|
|
|
|
1 0 0 0 1 |
|
0 |
-1 0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 1 0 0 0 0 1 0 |
|
|
|
|
|
|
0 1 0 0 0 |
|
0 |
1 |
|
0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
→ |
|
|
→ |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 0 −2 0 2 1 -2 1 |
|
|
0 0 1 0 -1 -1 2 1 -1 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 0 1 0 |
|
0 |
0 |
|
-1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
0 0 0 1 0 0 0 -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
-1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
T −1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
-1 -1 2 1 -1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
-1 0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
r |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
X 1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
−2 |
+ |
|
1 |
+3 |
|
|
= |
|
5 |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
-1 -1 2 1 -1 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
-1 |
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
5 |
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ: |
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
X |
= −V |
|
3V |
2 |
V + 2V . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
−1 |
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
. Найти матрицу |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
№2. В базисе {u1 ,u2 ,u3 }задана матрица ЛО A = −1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
− |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v1 |
u1 |
u 2 |
2u3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
A в базисе {v1 |
, |
|
, |
|
}, если |
|
|
|
|
= |
|
|
+ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
v2 |
v3 |
|
v2 |
u2 |
u3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v3 |
|
= u1 + u3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
−1 1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = T−1AT . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Решение: T = |
|
|
, A = TBT−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48
|
|
|
|
|
1 |
−1 |
−1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
= |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
T |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
−1 −1 |
1 2 −1 0 1 0 1 |
|
−3 0 −1 |
||||||||||||
B = |
1 |
|
−1 1 |
1 |
|
|
−1 0 |
1 |
|
−1 1 0 |
|
= |
|
− 2 1 |
−1 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
3 1 |
|
|
|
1 1 |
|
|
2 1 1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
−1 |
−1 |
|
|
|
6 − 2 3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
−3 |
0 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: |
|
|
1 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
− 2 |
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№3. Выяснить, приводится ли к диагональному виду матрица, и в случае приводимости записать ее диагональный вид, найти базис, в котором матрица имеет диагональный вид, и матрицу перехода.
|
1 |
− 4 |
−8 |
|
|
− 4 |
7 |
− 4 |
|
A = |
. |
|||
|
−8 |
− 4 |
1 |
|
|
|
Решение: собственные значения матрицы λ1 |
= λ2 = 9, k1 = 2 , λ3 = −9 , k2 =1. |
|||||||||||||||||||||||
Т.к. A = AT , значит А – симметрическая матрица, которая всегда приводится к |
||||||||||||||||||||||||
диагональному виду. |
rang(A + 9E)= 2 =3 −1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
rang(A − 9E)=1 = 3 − 2; |
следовательно, |
матрица |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
9 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
9 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
приводится к диагональному виду: |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
− 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Базис, в |
котором матрица |
имеет |
|
диагональный |
вид: |
|
|
, |
|
, |
|
. |
Матрица |
|||||||||||
|
|
x1 |
x2 |
x3 |
||||||||||||||||||||
перехода |
(столбцами |
ее |
являются |
собственные |
векторы |
|
, |
|
, |
|
) |
|||||||||||||
x1 |
x2 |
x3 |
||||||||||||||||||||||
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
− 2 |
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T = |
, Λ = T−1AT (нужно нормировать столбцы матрицы T ). |
|||||||||||||||||||||||
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.14. Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра
№1. Составить матрицу квадратичной формы Q(x1 , x2 , x3 )= x12 − 2x1x2 +
+ 4x2 x3 − 3x22 + 5x32 .
Решение:
49
aij = a ji , a12 = a21 |
= − |
2 |
= −1, a13 = a31 = 0, a 23 = a32 |
= |
4 |
= 2, a11 =1, a 22 = −3 , |
||||
|
|
|
1 |
−1 |
2 |
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a33 |
=5 |
|
−1 |
− 3 |
|
2 |
|
|
|
|
. A = |
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверим равенство xT Ax = Q(x1 , x2 , x3 ):
(x |
|
|
|
|
1 −1 0 x1 |
|
= (x |
|
|
|
|
|
|
|
x1 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
, x |
2 |
, x |
3 |
) |
−1 |
− 3 2 |
x |
2 |
|
, x |
2 |
, x |
3 |
) |
− x |
1 |
− 3x |
2 |
+ 2x |
3 |
|
= x2 |
− x |
x |
2 |
− x |
x |
2 |
− |
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
2 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 + 5x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
− 3x22 + 2x2 x3 + 2x2 x3 + 5x32 = x12 − 2x1x2 − 3x22 + 4x2 x3 + 5x32 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: A = |
|
−1 |
− 3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№2. Привести квадратичную форму к каноническому виду. Указать преобразование переменных, приводящее квадратичную форму к каноническому виду.
Q = −3x12 + 9x22 + 3x32 + 2x1x2 +8x1x3 + 4x2 x3 .
Решение:
−3 |
1 |
4 |
|
|
|
|
1 |
9 |
2 |
|
– матрица квадратичной формы. |
A = |
|
||||
|
4 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
− 3 − λ |
1 |
4 |
|
|
|
A − λE |
|
1 |
9 − λ |
2 |
|
= (−3 − λ)(9 − λ)(3 − λ)+8 + 8 −16(9 − λ)− |
= |
|
|||||
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
3 − λ |
|
− 4(− 3 − λ)− (3 − λ)= −(9 − λ)(9 − λ2 )+16 −144 +16λ +12 + 4λ − 3 + λ = −81 + 9λ +
+ 9λ2 − λ3 −119 + 21λ = −λ3 + 9λ2 |
+ 30λ − 200 = −λ3 +10λ2 − λ2 |
+ 20λ − 200 +10λ = |
|||||||||
= −λ2 (λ −10)− λ(λ −10)+ 20(λ −10)= (− λ2 − λ + 20)(λ −10)= −(λ + 5)(λ − 4)× |
|||||||||||
×(λ −10)= 0 λ1 = −5, |
λ2 |
= 4, |
λ3 =10 |
– собственные |
значения матрицы. |
||||||
Канонический вид формы: −5y2 +4 y2 +10 y2 . |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
Находим собственные векторы матрицы A . |
|
||||||||||
λ1 = −5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 II 2 |
1 4 |
|
0 − 27 0 |
|
|
|
|
||||
|
1 |
14 2 |
|
|
1 14 |
2 |
|
, x2 = 0, x1 + 2x3 = 0, x1 = −2x3 . |
|||
|
|
~ |
|
||||||||
|
4 |
2 8 |
|
|
0 |
−56 0 |
|
|
|
|
|
− 4 II |
|
|
|
|
|
|
x1 (− 2,0,1)T – собственный вектор матрицы.
50
λ2 = 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
7 II |
− 7 1 4 |
0 36 18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 5 2 |
|
|
1 |
|
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2x2 + x3 = 0 x3 = −2x2 , |
|||
|
|
|
|
|
~ |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
−18 |
−9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
− 4 II |
4 2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x1 + 5x2 + 2x3 = 0 x1 + 5x2 − 4x2 = 0 x1 + x2 = 0 x1 = −x2 . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
(−1,1,−2)T |
– собственный вектор матрицы. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
λ3 =10 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
−13 1 |
4 |
−13 1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
I |
|
|
1 |
−1 2 |
|
|
−12 0 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
2 − 7 |
|
|
30 0 |
−15 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
− 2 I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x3 = 2x1 , −13x1 + x2 |
+ 8x1 = 0 x2 |
= 5x1 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
(1,5,2)T – собственный вектор матрицы. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Нормируем собственные векторы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
− 2 5 |
|
|
|
|
x |
|
− |
1 6 |
|
|
x |
|
|
1 30 |
||
|
v1 = |
|
|
|
|
|
|
|
2 = |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||
|
x |
1 |
= |
0 , v2 = |
x |
1 6 , v3 |
x |
3 |
= |
5 30 . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 5 |
|
|
|
|
|
|
2 6 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
− |
|
|
|
3 |
|
2 30 |
|
− 2 5 |
−1 |
6 1 |
30 |
|
x |
1 |
= −2 5 y −1 6 y |
2 |
+1 30 y |
3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
T = 0 |
1 6 5 |
30 , |
|
|
x2 =1 6 y2 +5 30 y3 |
|
. |
||||||||
x = Ty |
|
|
|
||||||||||||
|
1 5 |
− 2 |
6 2 |
30 |
|
x |
3 |
=1 5 y |
− 2 6 y |
2 |
+ 2 30 y |
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
= −2 5 y |
−1 6 y |
2 |
+1 30 y |
|
||
Ответ: −5y12 +4y22 +10 y32 , |
1 |
1 |
|
|
3 |
|
|
|
x2 =1 |
6 y2 +5 |
|
|
30 y3 |
. |
|
x |
=1 5 y −2 6 y +2 30 y |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
№3. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа,
Q =3x12 + 3x22 − 2x1x2 + 4x1x3 + 4x2 x3 .
Решение: Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Q =3 x1 |
− |
3 |
x1x2 |
+ |
3 |
x1x3 |
|
+ 3x2 |
+ 4x2 x3 |
|
=3 |
x1 |
− |
3 |
x2 + |
3 |
x3 |
|
|
+ |
9 |
|
x2 x3 − |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
− |
1 |
x |
2 |
− |
4 |
x |
2 |
|
+ 3x |
2 |
|
+ 4x |
|
x |
|
|
= |
|
|
1 |
− |
1 |
x |
|
|
+ |
2 |
x |
|
2 |
+ |
8 |
|
(x |
|
+ x |
|
|
2 |
− |
3 |
x |
2 |
|
= |
|||||||||||||||
9 |
2 |
9 |
3 |
|
2 |
|
2 |
3 |
3 x |
1 |
3 |
2 |
|
3 |
3 |
|
3 |
|
2 |
3 |
) |
2 |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= 3 x1 |
− |
|
|
|
|
|
x 2 + |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
+ |
|
|
(x 2 |
+ x3 ) |
|
− 4x3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3 |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51
Невырожденное преобразование приводит данную форму к каноническому виду Q(y1 , y2 , y3 )= 3y12 + 83 y22 − 4y32 .
|
1 |
− |
1 |
x2 + |
2 |
x3 |
|
y1 |
= x1 |
3 |
3 |
||||
|
y2 |
|
|
+ x3 |
|
||
|
= x2 |
|
|
y = x2
3 3
Приведение квадратичной формы к каноническому виду используется при приведении кривой или поверхности 2-го порядка к каноническому виду.
52