Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум ГиА.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

530.33 Кб

Скачать

☆

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

1.1.Определители матриц и их свойства. Вычисление определителей. Правило Крамера для системы n линейных уравнений ______________________________________________ 4

1.2.Векторы. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис. Декартова система координат. Скалярное произведение векторов______________________________________________________________________ 7

1.3.Векторное и смешанное произведение векторов_______________________________ 10

1.4.Матрицы и действия над ними. Обратная матрица, системы линейных уравнений в матричной форме. Ранг матрицы. Элементарные преобразования и вычисление ранга. Метод окаймляющих миноров. Исследование систем линейных уравнений на совместность. Метод Гаусса___________________________________________________ 13

1.5.Прямая на плоскости ___________________________________________________ 20

1.6.Прямая и плоскость в пространстве ________________________________________ 27

1.7.Кривые второго порядка на плоскости ____________________________________ 34

1.8.Поверхности второго порядка в пространстве _____________________________ 36

1.9.Линейные векторные пространства. Линейная независимость векторов. Базис, размерность пространства. Подпространство. Линейная оболочка. Пространство решений системы линейных уравнений__________________________________________ 38

1.10.Евклидовы пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Норма вектора.

Ортогональный и ортонормированный базис_____________________________________ 41

1.11.Линейные операторы и их матрицы. Действия над линейными операторами.

Обратный оператор __________________________________________________________ 43

1.12.Собственные значения и собственные векторы линейного оператора_______ 45

1.13.Переход к новому базису. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду _____ 47

1.14.Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра ____________________________________ 49

1.1. Определители матриц и их свойства. Вычисление определителей. Правило Крамера для системы n линейных уравнений

№1. Вычислить определитель
а)		4	3	.
а)		4	3	.
		−5	6
Решение:					4	3		= 4 6 −(−5) 3 = 39.
Решение:					4	3		= 4 6 −(−5) 3 = 39.
					−5	6
Ответ: 39.
б)	cosα			−sinα			.
б)	cosα			−sinα			.
	sinα				cosα
Решение:					cosα			−sinα	= cos2 α −(−sin 2 α) =1.
Решение:					cosα			−sinα	= cos2 α −(−sin 2 α) =1.
					sinα			cosα
Ответ: 1.
№2. Вычислить определитель										4	− 2	4	.
										4	− 2	4
										10	2	12
										1	2	2

Решение:

1 способ: используя свойства и правила вычисления определителя третьего

порядка:	4	− 2 4		= 2 2	2	−1	2	= 4 2	2	−1 1		=
	4	− 2 4			2	−1	2		2	−1 1
	10	2	12		5	1	6		5	1	3
	1	2	2		1	2	2		1	2	1

=8(2 +10 −3 −1 −12 +5) = 8.

2 способ: используя теорему Лапласа:														2	−1	1	=8 [2 (−1)1+1	1	3	−


													= 8	5	1	3
														1	2	1		2	1
		5	3					5	1					1	2	1
−1 (−1)1+2				+1 (−1)1+3						]=8 [2 (1−6) + (5 −3) + (10 −1)] = 8 (−10 + 2 +9) = 8 .
−1 (−1)1+2				+1 (−1)1+3						]=8 [2 (1−6) + (5 −3) + (10 −1)] = 8 (−10 + 2 +9) = 8 .
		1	1					1	2
Ответ: 8 .
№3. Решить уравнение							x2		x		1	=0.
№3. Решить уравнение							1		−1		1	=0.
							4		2		1
Решение:		x2		x	1	= − x2		+ 2 + 4x + 4 − 2x2					− x = −3x2		+3x + 6 = 0;
		x2		x	1
	1			−1	1
	4		2		1
x2 − x − 2 = 0; x1 = 2 , x2 = −1.
Ответ: x1 = 2 ,			x2 = −1.

№4. Вычислить определитель произведения 2-х матриц:
														5 3 −7														4 −1 3
															−1 6 −3											=			4		−2			−6
										A =					−1 6 −3									, B		=			4		−2			−6	.
															2			−4 1											2 0 3
Решение:															2			−4 1											2 0 3
Решение:									5						3			−7


						A		=		−1					6			−3	= 30 − 28 −18 +84 −60 +3 =11,
						A		=		−1					6			−3	= 30 − 28 −18 +84 −60 +3 =11,
									2					−4				1
				4 −1 3											4 −1 1												4 −1 1										2 −1 1
				4 −1 3											4 −1 1												4 −1 1										2 −1 1
	B	=		4 −2 −6									=3		4 −2 −2								= 3 2				2 −1 −1							= 6 2			1 −1 −1				=
	B	=		4 −2 −6									=3		4 −2 −2								= 3 2				2 −1 −1							= 6 2			1 −1 −1				=
				2	0		3								2			0		1							2				0		1				1	0	1
			0		−1			−1								0		−1		−1
			0		−1			−1								0		−1		−1
=12			0 −1 −2									=12				0 0 −1							=12 (1+ 0) =12
			1		0		1									1		0		1
DAB = DBA =11 12 =132.
Ответ: 132.
№5. Вычислить определитель 4-го порядка
																					6			3		4			5
																					6			3		4			5
																				=	2			1		2			3
																					3			3		1			2
																					1			2		3			1
Решение:											0			−9				−14		−1
																														−9			−14		−1


											0 −3 −4									1
								=			0 −3 −4									1				= (−1)4+1						−3 −4					1	=
											0			−3				−8		−1										−3			−8		−1
											1			2				3		1										−3			−8		−1
											1			2				3		1
																	3	7		−1					0			1			−4	= (−6) (−1)2+1								1 −4


		= (−1) (−3) (−2)															1 2 1					= −6			1 2 1																	=
																	1	4		−1					0			2			−2									2 −2
																	1	4		−1					0			2			−2

1−4

=12 1 −1 =12(−1+ 4) = 36.

Ответ: 136.

№6. Доказать тождество: 1 1 1

xy z = (y − x)(z − x)(z − y) (определитель Вандермонда)

x2 y2 z2

Доказательство:

Из каждой строки вычитаем предыдущую, умноженную на

y − x

z − x

y − x

z − x

= (y − x)(z − x)

y2 − yx z2 − zx

y(y − x)

z(z − x)

= (y − x)(z − x)(z − y) .

№7. Доказать тождество, не вычисляя определителя

cosα

cos β

cosα

cos(α + β)

= 0.

cos β

cos(α + β)

Доказательство:

cosα

cos β

cosα

cos(α + β)

cos β

cos(α + β)

cosα

cos β

1−cos2 α

cos(α + β) −cosα cos β

1−cos2 β

cosα

cos β

sinα

−sinα

sin2 α

−sinα sin β

=sinαsin β

= 0 ,

−sinαsin β

sin2 β

−sin β

sin β

№8. Решить систему методом Крамера.

4x + y = 5,

2x +3x − x = 4,

а)

б) x1

+ 2x2 + 2x3 = 5,

3x − 2 y =12.

Решение:

3x1 + 4x2 −5x3 = 2.

1. а) =

= −8 −

3 = −11,

x =

= −10 −12 = −22

−2

y =	4	5	= 48 −15 = 33.
	3	12

x = −−2211 = 2, y = −3311 = 3.

Ответ: (2,3).

б)	A	=	2	9	−1	= −1, D1 =	4	3	-1	= -1, D2 =	2	4	-1	= −1,
			2	9	−1		4	3	-1		2	4	-1
			1	2	2		5	2	2		1	5	2
			1	2	2		5	2	2		1	5	2
			3	4	−5		2	4	-5		3	2	-5

D =	2	3	4	= −1 x =	D1	=1, x =	D2	=1, x = D3		=1.
	1	2	5
3				1	A	2	A	3	A
	3	4	2

Ответ:		x1 = x2 = x3 =1.

1.2. Векторы. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис. Декартова система координат. Скалярное произведение векторов

№1. Будут ли эквивалентны направленные отрезки AB и CD , если A=(0,2), B=(-1,3), C=(4,7), D=(6,5)? Как нужно изменить координаты точек C и D,чтобы

получился отрезок, эквивалентный AB ? Решение:

AB =(-1,1), CD =(2,-2),		AB		= 1 +1 = 2 ,		CD		= 22 + (−2)2 =2 2 ,

эквивалентны не будут, т.к. длины различны. ????????????

№2. В параллелограмме ABCD AB = a , BC =b . Выразить через a и b векторы

CD , DA , AC , BD .

Решение:

CD =- a , DA =-b , AC = a +b , BD =b - a . Ответ: CD =- a , DA =-b , AC = a +b , BD =b - a .

№3.	В параллелограмме ABCD AC = a , BD =b . Выразить через a и b векторы
CD ,	DA , BC , AB .

Решение:

AO =OC = 12 a , BO =OD = 12 b .

AB + BO = AO , AB =- BO + AO =- 12 b + 12 a = 12 (a -b ).

BC = BO +OC = 1			b + 1 a =	1	( a +b ).
		2	2	2
CD =- AB = 1 (b - a ).
2
DA =- BC =-	1	( a +b ).
	2
Ответ: AB =	1	( a	-b ), BC =	1	( a +b ), CD =	1	(b - a ), DA =-		1	( a +b ).
	2			2		2			2
№4. Дано: A=(0,3,-7),				B=(6,9,2), C=(8,-1,6),				D=(-2,5,11), a = AB , b =CD .
Вычислить 6( a +b )-4(b - a ).
Решение:

a =(6,6,9), b =(-10,6,5).

6( a +b )-4(b - a )=6(-4,12,14)-4(-16,0,-4)=(-24,72,84)-(-64,0,-16)=(40,72,100). Ответ: (40,72,100).

№5. Подберите отличные от нуля числа α, β,γ так, чтобы αa + βb +γc =0, где

a =(5,3), b =(2,0), c =(4,2).

Решение:

5α + 2β + 4γ = 03α + 2γ = 0

α =- 23 γ , 5(- 23 )γ +2 β +4γ = (−103 + 4)γ + 2β = 23 γ + 2β = 0 ,

β = −13 γ .

Ответ: (− 23 γ,−13γ,γ) , γ ≠ 0 , векторы линейно зависимы.

№6. Пусть l1,l2 произвольный базис на плоскости. В параллелограмме ABCD

AB = a =l1 +l2 , BC =b =l1 − 2l2 . Найти AC и BD в этом базисе. Решение:

AC = AB + BC =l1 +l2 +l1 − 2l2 = 2l1 −l2	, (2,-1).
BD = BC - AB =l1 − 2l2 -(l1 +l2 )=-3l2 ,	(0,-3).
Ответ: AC =(2,-1), BD =(0,-3).

№7. Найти разложение вектора c по векторам a и b ; показать, что a и b могут образовывать базис:

a) a =(3,2), b =(-5,7), c =(13,81); б) a =(1, 3 ), b =(- 3,−3), c =(6,-1).

Решение:

а) 3α −5β = 0														;
			2α + 7β = 0
		3			−5				=21+10=31 ≠ 0 a и b линейно независимы могут образовывать
		3			−5				=21+10=31 ≠ 0 a и b линейно независимы могут образовывать
		2			7
базис;
2α −5β =13													;
			3α + 7β								= 81		;
			3α + 7β								= 81
α			=			1		13				−5			=16,
						1		13				−5
					31			81				7
					31			81				7
	β		=			1	3			13		= 7		,
						1	3			13
						31	2			81
						31	2			81
c =16 a +7b .
б)
б)				α − 3β = 0 ;
						3α −3β = 0
						3α −3β = 0
1						−	3			=-3+3=0 α = 3β, β R, поэтому α = 3β, β ≠ 0						αa + βb = 0 a и b
1						−	3
			3			−3
			3			−3

линейно зависимы и не образуют базис.

Ответ: а) c =16 a +7b ; б) a и b лин. зависимы и не образуют базис.

№9. Вычислить направляющие косинусы вектора AB : A(2,−5,1) , B(3,4,−6).

	Решение: AB = (1,9,−7) , \| AB \|=					1+81+ 49 = 131 , 131 - простое число.
cosα=	1	, cosβ=	9	, cosγ=	−7 .
	131		131		131		−7 .
	Ответ: cosα=		1	, cosβ=	9	, cosγ=	−7 .
			131		131		131

№10. Даны три вектора a (5,4) , b (−3,0) , c (19,8) . Найти разложение вектора c по векторам a и b , показать,что a и b могут образовывать базис c (2,−3) в базисе

{ a , b }.

	Ответ: c = 2a −3b .
№11. Дан ABC , A(−3,5,6) , B(1,−5,7) ,		C(8,−3,−1) . Найти внутренний угол при
вершине A и внешний угол при вершине C .
	Решение: BAC =( AB , AC )=ϕ	, ACB = (CB , AC )=ϕ	;
		1	2
AB = (4,−10,1) , AC = (11,−8,−7) , CB = (−7,−2,8) .
\| AB \|=	16 +100 +1 = 117 =3 13 ;
\| AC \|=	121 + 64 + 49 = 234 = 6 13 ;
\| BC \|=	49 + 4 + 64 = 117 =3 13 ;

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.11.2019129.54 Кб1Право собственности.doc
#
07.12.2018299.01 Кб3Правоведение экзамен.doc
#
19.11.201946.19 Кб13Правописание не с разными частями речи.docx
#
22.09.2019103.94 Кб2Практ_работа 11 (Урок 33).doc
#
11.05.2015253.44 Кб15практика 1 по философии.doc
#
11.05.2015530.33 Кб25Практикум ГиА.PDF
#
16.03.20161.31 Mб45Практикум по Builder ч.2.doc
#
16.03.2016472.44 Кб115Практикум по ТОЭ.pdf
#
12.09.2019165.93 Кб10практическое задание.docx
#
11.09.2019287.23 Кб6Практическое занятие 6.doc
#
11.09.2019195.07 Кб6Практическое_занятие2.doc