Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум ГиА.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

530.33 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Система свелась к трапециевидному виду. Перенесем слагаемые с x1, x5 в правую часть.

							x	2	=		3			− x				− 1 x	5	,
							x		=					− x				− 1 x		,
x2 −3x4 = −x1 + 4x5,										10						1		5
x2 −3x4 = −x1 + 4x5,										10								5
	=1								= −				1		− 4x5,
−x3 +5x4	=1		−3x5, x					3	= −				2		− 4x5,
													2			7
10x4 =1−14x5.										1						7
							x	4	=						−		x5.
							x	4	=	10					−	5	x5.
										10						5
					x1

		3		− x1 − 1 x5
				− x1 − 1 x5
	10				5
r			−1		− 4x								R .
Ответ: система совместна, X =			−1		− 4x		,x ,x						R .
				2		5			1			5
				1	− 7 x5
				1
			10
			10		5
					x5
					x5

1.5. Прямая на плоскости

№1. Написать уравнения прямых, параллельных биссектрисе второго координатного угла и отсекающих на оси 0y отрезки b1 = 3, b2 = −4, b3 = 52 .

Решение: tgα = tg135° = −1; y = −x +3; y = −x − 4;

y = −x + 52 .

Ответ: y = −x + 52 .

№2. Уравнение прямой привести к виду уравнения с угловыми коэффициентами. Найти углы, образованные прямой с осью 0x . 4x + 2 y −5 = 0.

Решение: y = − 42 x + 52 .

Ответ: y = −2x + 52 , α = arctg(−2) +π.

№3. Найти отрезки, отсекаемые на осях координат прямой

4x +5y +8 = 0.

Решение: − 84 x − 85 y =1;

− 2x − 85 y =1; a = −2, b = −85 .

Ответ: a = −2, b = −85 .

№4. Вычислить площадь треугольника, заключенного между осями координат и прямой 2x + 7 y −14 = 0. Сделать чертеж.

Решение:				x	+	y	=1; a = 7; b = 2;
			7
					2
S =	1	ab =		1	7 2 = 7(кв.ед.).
	2		2

Ответ: 7 квадратных единиц.

№5. Даны точки L(−6,0) и N(0,8). Через середину отрезка LN провести прямую, отсекающую на оси 0x отрезок, втрое больший, чем на оси 0y .

Решение: LM = MN, где M - середина отрезка LN; xM = −62+ 0 = −3, yM = 0 +2 8 = 4, M (−3,4);

Уравнение искомой прямой имеет вид: ax + by =1, a = 3b;

3xb + by =1;

M лежит на искомой прямой, ее координаты удовлетворяют уравнению прямой:

− 33b + b4 =1 −1 + 4 = b b = 3, a = 9;

уравнение искомой прямой	x	+	y	=1 x +3y −9 = 0.
	9
		3
Ответ: x +3y −9 = 0.

№6. Диагонали ромба, равные 8 и 6 единицам, приняты за оси координат. Найти уравнения сторон ромба.

Решение: a = 4,

b = 3;

=1, −

=1,

−

=1, −

−

=1.

Ответ:

=1,

−

=1,

−

=1,

−

=1.

№7. Вычислить площадь треугольника, стороны которого лежат на прямых, заданных уравнениями: x −3y +11 = 0, 5x + 2y −13 = 0, 9x + 7 y −3 = 0. Решение: решим по правилу Крамера:

x −3y +11 = 0	A(1,4);
5x + 2 y −13 = 0

5x + 2 y −13 = 0	B(5,−6);
9x + 7 y −3 = 0	B(5,−6);
x −3y +11 = 0	C(−2,3); S =	1	1	4	1		1


			5	−6	1	=		−6 +15 −8 −12 −3 − 20	=17.


9x + 7 y −3 = 0		2	− 2	3	1		2
9x + 7 y −3 = 0		2					2

Ответ:17.

№8. Даны две стороны параллелограмма x − y +1 = 0, 3x + 2y −12 = 0 и точка E(6,4) пересечения его диагоналей. Написать уравнения двух других сторон параллелограмма.

Решение:

y = x +1,

y = −

x + 6;

x − y +1

= 0

y = x +1 =

x + 6, x = 2, y = 3; A(2,3); - точка пересечения сторон

3x + 2 y −12 =

параллелограмма.

Найдем координаты точки C(x, y) , где E - середина отрезка AC :

2 + x

= 6 2 + x =12, x =10;

3 + y

= 4 3 + y = 8,

y = 5; C(10,5).

Уравнения искомых сторон параллелограмма имеют вид: y = x +b1 , y = −

x +b2 ;

5 =10 +b1 ,

b1 = −5,

x − y −5 = 0 - уравнение третьей стороны.

5 = −

10 +b2 ,

= 20, 3x + 2y − 40 = 0 - уравнение четвертой стороны.

Ответ: x − y −5 = 0,

3x + 2y − 40 = 0.

№9. Написать уравнение прямой, проходящей через точку M пересечения прямых 5x − y +10 = 0, 8x + 4 y +9 = 0 и параллельно прямой x +3y = 0 (не находя точки M ).

Решение: Уравнение пучка прямых, проходящих через точку M , имеет вид:

α(5x − y +10) + β(8x + 4y +9) = 0 (5α +8β)x + (−α + 4β) y +10α +9β = 0 ;

Записывая условие параллельности, получаем:	5α +8β	=	−α + 4β	; 16α = −20β;
	1		3

α = −	5	β;
α = −		β;
4
Можно взять α = −5, тогда уравнение примет вид:					x +3y − 2 = 0.
Ответ: x +3y − 2 = 0.
№10. Дан треугольник с вершинами в точках P(−4,0), Q(0,4),							R(2,2). Найти
уравнения его медиан.			0 + 2			4 + 2
Решение: из вершины P к стороне QR : x =			0 + 2	=1;	y =	4 + 2	= 3; P1 (1,3).
Решение: из вершины P к стороне QR : x =			2	=1;	y =		= 3; P1 (1,3).
			2		2

каноническое уравнение: x +5 4 = y 3−0 3x +12 = 5y ;

аналогично для других вершин.

Ответ: 3x −5y +12 = 0 , 3x − y + 4 = 0 , y = 2.

№11. Через точку пересечения прямых 3х+5у-8=0 и 4х-7у+3=0 провести прямую, перпендикулярную одной из них, и прямую, параллельную прямой

2х+6у-2=0.

Решение:

Прямая, перепендикулярная 1-ой прямой, будет иметь вид:

A1A2+B1B2=0, A2=B1 B2=-A1, A1B1+B1(-A1)=0.

Коэффициенты получаются из соответствующих коэффициентов другой прямой переменой мест и изменением знака одного из коэффициентов.

3х+5у+С1=0, 5х-3у+С1=0, С1= -(5-3)= -2. 1) 5х-3у-2=0.

Прямая, параллельная 2-ой прямой, будет иметь вид: 2х+6у+С2=0, С2= -(2+6)= -8.

2) 2х+6у-8=0.

3x +5y −8 = 04x −7 y +3 = 0,

=	3			5	= −21− 20 = −41,
	4			−7
x =		8		5			= −56 +15 = −41 ,	x =1;

			−3 −7
y =			3	8		= −9 −32 = −41,		y =1.

			4	−3

Ответ: 5х-3у-2=0, 2х+6у-8=0.

№12. Найти внутренние углы треугольника, если известно, что его стороны лежат на прямых: х-6у+5, 5х-2у-3=0, х+у-9.

Решение:

tgφ по формуле – определяется тангенс одного из 2-х углов, сумма которых равна 1800. Меняя нумерацию прямых, получим второе значение для тангенса, отличающиеся от первого только знаком.

В треугольнике возможен только один тупой внутренний угол. Если тангенс одного из углов окажется отрицательным, нужно проверить, является ли треугольник тупоугольным аналитически c2>a2+b2 (из теоремы косинусов). Если tgϕ1 > 0, tgϕ2 > 0, tgϕ3 > 0, то нужно проверить, нет ли среди внутренних

улов треугольника тупого угла. Если такой угол имеется, нужно изменить нумерацию прямых на противоположную.

Вершины треугольника:

А(1,1) – пересечение 1-ой и 2-ой прямых; B(7,2) – пересечение 1-ой и 3-ей прямых; С(3,6) – пересечение 2-ой и 3-ей прямых.

AB = 37,	BC = 32,	AC = 29.
AB2 = 37,	BC2 = 32,	AC2 = 29.

37<32+29 угол С – острый; 32<37+29 угол А – острый; 29<37+32 угол B – острый;

Все углы треугольника – острые.

tgϕ	= tgA =				1 (−2) −5 (−6)								= − 2 +30 =						28	.
tgϕ	= tgA =												= − 2 +30 =							.
1				1 5 + (−6) (−2)										17				17
				1 5 + (−6) (−2)										17				17
tgϕ2	= tgB =			1 1 −1 (−6)					=		1 + 6			= −	7			― поменяем нумерацию прямых,
tgϕ2	= tgB =					1 1 −6			=			−5		= −	5			― поменяем нумерацию прямых,
		7				1 1 −6						−5			5
tgB =		7	.
tgB =			.
	5			5 1−1 (−2)								7
tgϕ3	= tgC =			5 1−1 (−2)					=			7	.
tgϕ3	= tgC =			5 1+ (−2) 1					=		3		.
				5 1+ (−2) 1							3
Ответ: tgA =						28	, tgB =	7		,			tgC =			7	.
Ответ: tgA =				17			, tgB =	5		,			tgC =		3		.
				17				5							3

№13. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат, если известно, что она образует угол 45º с прямой у=2х-3.

Решение:

У=2х-3, k1=2, φ=45º,

1 = tgϕ =

k 2 − k1

k 2 − 2

1 + k1k 2

1 + 2k 2

k 2

− 2 =1 + 2k 2 , или

2 − k 2

1 + 2k 2

2 − k 2 =1 + 2k 2

k 2

= −3.

1 = 3k 2 ,

k 2

у= -3х и

y =

Ответ: у= -3х и y = 13 x.

№14. Написать уравнение сторон и высот треугольника PQR: P(-4,3), Q(2,5), R(6,-2).

Решение:
PQ:	x + 4	=	y −3	x + 4 = 3(y −3) x −3y +13 = 0 ,	k1	=	1	или
	6						3
		2

y =

QR:

x − 2

y −5

−7x +14 = 4y − 20

7x + 4y −34 = 0,

−7

k 2 = −

x + 4

y −3

y = −

x +

PR:

−5x − 20 =10y −30

−5

5x +10y −10 = 0,

= −

или y = −

x +1.

Высота, опущенная из P на QR:

y − y1 = k(x − x1 ) ― уравнение пучка прямых, проходящих через точку (x1 , y1 ).

k 2 = −

k1' = −

k 2

P(-4,3)

y −3 =

(x + 4)

7y − 21 = 4x +16

4x −7y +37 = 0.

Высота, опущенная из Q на PR:

k3 = −

k'2 = −

= 2.

Q(2,5)

y −5 = 2(x − 2)

2x − y +1 = 0.

Высота, опущенная из R на PQ:

k1 =

k3' = −

= −3.

3x + y −16 = 0.

R(6,-2)

y + 2 = −3(x −6)

Замечание: при составлении уравнения прямой, проходящей через 2 заданные точки, любую из точек можно считать первой.

через 2 заданные точки, любую из точек можно считать первой.

Ответ: PQ: k1 = 13 или y = x3 +133 .


QR:	k 2	= −	7	или	y = −	7		x +	17	.
			4			4			2

PR:	k3	= −	1	или	y = −		1	x +1.
			2
						2

Высота, опущенная из P на QR: 4x −7y + 37 = 0. Высота, опущенная из Q на PR: 2x − y +1 = 0. Высота, опущенная из R на PQ: 3x + y −16 = 0.

№15. Найти точку, симметричную точке М(5,5) относительно прямой x + y −3 = 0.

Решение:

Через точку М проведём прямую, перпендикулярную прямой x + y −3 = 0. Она имеет вид: x − y +C = 0.

М(5,5) 5-5+С=0 С=0. x − y = 0 ― уравнение прямой.

Найдём координаты точки пересечения прямых:

x + y −3 = 0

− y = 0

2x −3 = 0

x =

= y.

― точка пересечения.

О – середина отрезка ММ’.

5 + x

3 = 5 + x

x = −2

М’(-2,-2).

5 + y

3 = 5 + y

y = −2

Ответ: М’(-2,-2).

№16.

Вычислить

высоту

трапеции,

основания которой лежат на прямых

3x + 4y − 20 = 0 и 6x +8y −15 = 0.

Решение:

Высота трапеции равна расстоянию между указанными прямыми. Последнее равно расстоянию произвольной точки одной прямой до другой прямой.

x0 = 0,

3x0 + 4 y0 − 20 = 0, 4 y0

=10 y0 =

расстояние от точки до прямой:

Ax0 +by0

6 0 +8

− 45

20 − 45

− 25

ρ =

= 2,5.

A2 + B2

62 +82

Ответ: 2,5.

№17. Найти центр и радиус круга, вписанного в треугольник со сторонами 1)

3x + 4 y +12 = 0, 2) 4x +3y −12 = 0, 3) 3x − 4 y −12 = 0.

Решение:

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.11.2019129.54 Кб1Право собственности.doc
#
07.12.2018299.01 Кб3Правоведение экзамен.doc
#
19.11.201946.19 Кб13Правописание не с разными частями речи.docx
#
22.09.2019103.94 Кб2Практ_работа 11 (Урок 33).doc
#
11.05.2015253.44 Кб15практика 1 по философии.doc
#
11.05.2015530.33 Кб25Практикум ГиА.PDF
#
16.03.20161.31 Mб45Практикум по Builder ч.2.doc
#
16.03.2016472.44 Кб116Практикум по ТОЭ.pdf
#
12.09.2019165.93 Кб10практическое задание.docx
#
11.09.2019287.23 Кб6Практическое занятие 6.doc
#
11.09.2019195.07 Кб6Практическое_занятие2.doc