№2. Для системы векторов xr1 = (1,1,1), xr2 = (1,2,3), xr3 = (1,3,2)

построить

ортонормированную систему.

{ 1

,Ur

2

,Ur

3}

- ортонормированный базис. Метод Грама-Шмидта.

Ur

Решение:

xr1, xr2 , xr3 - линейно-независимые векторы

r

r

r

Vr

1

1

1

V1 = x1 = (1,1,1),

U1

=

r1

=

,

,

,

r

r

r

r

r

V1

3 3 3

= (1,2,3) −(2,2,2) = (−1,0,1) ,

V2

= x2 −(x2 ,U1) U1

r

Vr

1

1

U2

=

r2

=

−

,0,

.

2

2

V2

Vr3 = xr

3 −(xr3,Ur1 ) Ur1 −(xr3,Ur2 ) Ur2 =

1

3

2

1

1

1

1

2

1

1

= (1,3,2)−

,

,

,

,

−

−

,0,

−

,0,

=

2

2

2

2

3 3 3

3 3 3

= (1,3,2)−

6

1

,

1

,

1

1

1

,0,

1

−

−

=

3

2

2

3 3 3

2

= (1,3,2)−(2,2,2)−

−

1

,0, 1

=

(−1,0,0)

−

−

1 ,0, 1

=

−1 ,1,−

1

.

2 2

2 2

2

2

Vr

r

1

1

1

2

1

1

1

2

1

U3

=

r3

=

−

2

,1,

−

2

=

−

2

,1,−

2

=

−

,

,−

.

1

6

V

+1+

1

6 6

6

3

4

4

№1.

Пусть

(x1 , x2 , x3 )T ,

) = (x1 + x3 , −x2 , x2 −3x3 ), g(

)= (− x3 ,2x1 , x 2 ). Найти

x

f (

x

x

матрицы операторов f и g, и матрицу оператора 3g +2 f 2 .

Решение:

1 0

1

0

0

−1

A =

0

, B

2

0

0

−1 0

=

.

0

1

0

1

0

−3

Матрица оператора 3g +2 f 2

равна

0

0

−1

1

0

1

1

0

1

0

0

−3

2

0

0

0

−1 0

0

−1 0

6

0

0

+

3B + 2A2 = 3

+ 2

=

0

1

0

0

1

0

1

0

3

0

− 3

− 3

1 1

− 2

0

0

−3

2 2

− 4

2 2

− 7

0

1

0

6

0

0

0

2

0

6

2

0

+ 2

=

+

=

.

0

− 4 9

0

3

0

0

−8 18

0

− 5 18

Решение:

r

r

αx + βy =α (x1, x2 , x3 )+ β (y1, y2 , y3 )= (αx1 + βy1, αx2 + βy2 , αx3 + βy3 ),

r

+

r

B(αx

βy) = (2(αx1 + βy1 )+(αx2 + βy2 )+3, αx1 + βy1 −αx2 − βy2 , 4)=

= (2αx

1

+ 2βy +αx

2

+ βy

2

+3, αx + βy −αx

2

− βy

2

, 4).

r

r

1

1

1

αBx + βBy

=α (2x1 + x2 +3, x1 − x2 , 4)+ β (2y1 + y2 + 3, y1 − y2 , 4)=

(2αx1 +αx2 +α 3 + 2βy1 + βy2 +3β, αx1 −αx2 + βy1 − βy2 , 4α + 4β ).

3α + β = 3,

Возьмем α = β =1.

Такие значения не удовлетворяют системе.

4α + 4β = 4.

r

r

r

r

Равенство B(αx + βy)

=αBx +

βBy должно выполняться для α, β .

= (0, 2αx1 −αx2 +αx4 , 3αx1 +5αx2 )+(0, 2βy1

− βy2

+ βy4

, 3βy1 +5βy2 )=

=α(0, 2x1 − x2 + x4 , 3x1 +5x2 )+ β (0, 2y1 − y2 + y

r

r

4 , 3y1 +5y2 )=αf (x) +

βf (y)

0

0

0

0

f

- линейный оператор.

2

−1

0

1

−матрицаоператораf .

A =

3

5

0

0

2x − x

+ x

= 0, 2x − x

= −x

,

б)

1

2

4

1

2

4

3x1 −5x2 = 0.

3x1 +5x2 = 0.

=

2

−1

=10 +3 =13,

X1

=

−x4

−1

= −5x4.

3

5

0

5

X2 =

2

−x4

= 3x4 , x1

= −

5x

4

, x2

=

3x

4

, x4 .

3

0

13

13

5C

3C

Ker f =

−

1

,

1

, C , C

C ,C

.

2

1

1

2

13

13

0

0

0

0

0

0

0 0

0

0

0

0

A = 2

−1 0

1

0

−1 0

1

0

0

0

1 .

5

0

0

0

3

0

13 5

0

13 5

0

Imf = L(ar(

0, 2, 3), b(0, 1, 0)).

r

r

3π r

r

π r

2 r

2 r

f j=

Aj

cos

j +

Aj

sin

k

=

j

+

k.

4

4

2

2

r

r

3π r

r

π r

2 r

2 r

Ak =

Ak

cos

j +

Ak

sin

k = −

j +

k.

4

4

2

2

1

0

0

2

2

A =

0

−

.

2

2

2

2

0

2

2

1

− 4

−8

− 4

7

− 4

с матрицей A =

.

−8

− 4

1

Решение:

1− λ

− 4

−8

A − λE

= − 4

7 −λ

− 4 = (1 −λ)(7 −λ)(1 −λ)−128 −128 −64(7 −λ)−16(1 −λ)−

−8

− 4

1 − λ

векторы, им соответствующие системы имеют вид:

−8

− 4

−8

x

1

0

1)

При λ1 = λ2 = 9 система имеет вид:

− 4

− 2

− 4

0

. Если в

x

2

=

−8

− 4

−8

0

x

3

0

0

0

мы получим следующую матрицу

− 4

− 2

− 4

. Видно, что ранг матрицы

0

0

0

4x1 + 2x 2 + 4x3 = 0 ; x 2 = −2x1 − 2x3 .

x

x

x

0

1

0

1

1

1

− 2x3

= x1

− 2

+ x3

− 2

,

x1 , x3 R ≠0 .

x

2 =

− 2x1 − 2x3

=

− 2x1

+

x3

0

x3

0

1

x

3

корням

λ = 9 ,

= (1;−4;0), при x1 =1, x3 = 0 и

= (0;−4;1), при x1

= 0, x3 =1.

x1

x 2

10

− 4

−8

x

1

0

2)

При λ3 = −9 система имеет вид:

− 4

16

− 4