Подставим в данное уравнение пучка координаты точки P .

2 4 −3 (−1)+5 1 −7 + (4 4 + 2 (−1)−6 1 −5) λ = 0 3λ = −9 λ = −3.

Если α = 0 ,

то координаты точки

P

не удовлетворяют уравнению плоскости

β(4x + 2y −6z −5)= 0 4x + 2y −6z −5 = 0 , т.к. β ≠ 0 .

Итак, уравнение искомой плоскости:

2x −3y + 5z − 7 −12x − 6y +18z +15 = 0 −10x − 9y + 23z + 8 = 0 10x + 9y −

− 23z −8 = 0 .

Ответ: 10x + 9y − 23z −8 = 0 .

1.7. Кривые второго порядка на плоскости

№1. Найти координаты центра и радиус окружности 3x2 +3y2 −4x +9 y +4 = 0 .

Решение: разделим обе части уравнения на 3 и выделим полные квадраты.

x

2

+ y

2

−

4

x + 3y +

4

2

2

4

3

2

9

+

4

= 0

2

2

3

3

= 0 x −

−

9

+ y +

−

4

3

x −

3

+

3

2

3

2

=

49

.

+ y +

36

2

Ответ: координаты центра a = 2

,

b = −

3

, R = 7 .

3

2

6

№ 2.

a)

Установить, что уравнение 4x2 +9 y2

=16 определяет эллипс, построить его,

найти координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения директрис.

2

2

x2

y2

x2

y2

x2

y2

Решение:

4x

+ 9y

=

16

+

=1

+

=1

+

=1

–

16 4

16 9

4

16 9

22

(4 3)2

каноническое

уравнение

эллипса.

a = 2,

b = 4 ,

c =

a 2

− b2

=

3

2

2

16

20

2

5

= 2

−(4 3)

=

4 −

9

=

9 =

3

.

2

5

2

5

, F2

F1 −

3

,0

0,

3

– координаты фокусов эллипса.

ε = c

=

2

5

: 2 =

5

<1 – эксцентриситет.

a

3

3

x = ±a

= ±

2

= ±

6

– уравнения директрис.

ε

5 3

5

Решение:

4x2 −16y2 =144

x2

−

y2

=1

x2

−

y2

=1

– каноническое

16

9

42

32

уравнение гиперболы.

a = 4, b = 3 – действительная и мнимая полуоси.

c = a 2 + b2 = 16 + 9 = 25 = 5.

ε = c =

5 >1 – эксцентриситет.

a

4

F1 (− 5,0), F2 (0,5) – координаты фокусов гиперболы.

y = ± b x = ±

3 x – уравнение асимптот гиперболы.

a

4

x = ±a

= ±

4 4

= ±16 – уравнения директрис.

ε

5

5

c)

Установить, что уравнение y2 =12x

определяет параболу, построить ее,

найти параметр параболы, координаты фокуса, уравнение директрисы.

Решение: y2

=12x .

y2 = 2px

– каноническое уравнение параболы. 2p =12 ,

p = 6 – параметр параболы.

F p

,0 = F(3,0) – координаты фокуса параболы.

2

= −p

Уравнение директрисы x

, т.е. x = −3.

2

№3. Написать уравнения тех касательных к гиперболе 3x 2 − y2

= 2 , которые

параллельны прямой 3x + y + 7 = 0 .

Решение:

Искомые касательные будут иметь вид 3x + y + C = 0 .

Уравнение

касательной

к

гиперболе

3x2 − y2 = 2

будут

иметь вид

y − y0 = k(x − x0 ) −kx + y +

(kx0 − y0 )= 0,

где

k =

3x0

,

поскольку

3x

y0

6x − 2y y′ = 0 y′ =

, y ≠ 0 .

y

Таким образом, k = −3.

k =

3x0

= −3 x0 = −y0

– координаты точки гиперболы, в которой касательная

y0

параллельна прямой 3x + y + 7 = 0 .

Подставляем

x0 = −y0

в

уравнение

гиперболы:

3x0

2 − x0

2 = 2 2x0

2

= 2 x0 = ±1, y = m1, M1 (1;−1), M2 (−1;1).

x

2

+ y

2

+ z

2

− 6x

−5y + 4z +

1

= 0

2

5

2

+

2

2

(x −3) + y −

2

(z + 2) −

− 9 −

25

− 4 +

1

2

5

2

2

=

75

.

4

2

= 0 (x −3)

+ y −

2

+

(z + 2)

4

Координаты центра a =3, b =

5 , c = −2 , R =

75

= 5

3 .

2

4

2

Подставим координаты точки А в левую часть уравнения.

(−

2

−11

−

5

2

2

25 +

729

+121 >

75

А лежит вне сферы.

2 −3)

+

2

+ (9 + 2) =

4

4

Ответ: центр (3, 5/2, -2), радиус

5

3

; точка А расположена вне сферы

2

(x − 2)2

(y + 3)2

2

−

+ (z −1) =1.

9

4

X = x − 2 , Y = y + 3, Z = z −1 – перенос в точку (2,−3,1),

X2

−

Y2

+ Z2 =1.

9

4

Z = 0

:

X2

−

Y2

=1

– гипербола,

9

4

X = 0 : −

Y2

+ Z2 =1 – гипербола,

X

2

4

Y = 0 :

+ Z

2

=1 – эллипс.

9

Z = h :

X2

−

Y2

=1 −

h2

– гипербола,

9

4

1

Y2

h2

X = h :

−

+ Z2 =1

−

– гипербола,

4

9

Y = h :

X

2

+ Z

2

=1 +

h2

– эллипс.

9

4

Ответ: поверхность является однополосным гиперболоидом.

b)

Определить вид поверхности y2 −4x −6 y +17 = 0 и построить ее.

2

+ y

2

= 2z

2

+ y

2

= 2(− x − D) x 2

+ y2 = −2x − 2D x 2

+ 2x + y2 = −2D (x +1)2 −1 + y2 =

x

x

x + z + D = 0

z = −x − D

= −2D (x +1)2 + y2 = −2D +1.

Чтобы было единственное решение −2D +1 = 0 D =

1

.

1

2

1

Уравнение

искомой

плоскости:

x + z +

= 0 .

M

0

−1;0;

,

т.к.

2

1

1

2

z0

= −x0 − D =1−

=

,

–

единственная

точка

касания

поверхности

S с

2

плоскостью П.

2

1

1

Ответ: П:

x + z +

= 0,

M

0

−1;0;

.

2

2