60. Формальная теория логики предикатов.

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ — центральный раздел логики, в котором изучается субъектно-предикатная структура высказывании и истинностные взаимосвязи между ними.

Л.п. представляет собой содержательное расширение логики высказываний. В рамках данного раздела любое высказывание (пропозиция, предложение) рассматривается как некоторый структурно-сложный символ, разделяющийся на субъект, предикат и субъектно-предикатную связку. Субъект указывает на целостное понятие о предмете суждения; предикат — на к.-л. отдельное свойство, присущее предмету суждения; субъектно-предикатная связка — на отношение предикации (присущности), имеющее место между предметом суждения и отдельным свойством рассматриваемого предмета. Напр., в высказывании «Петр есть студент» слово «Петр» является субъектом, «студент» — предикатом, а слово «есть» — субъектно-предикатной связкой.

Так же, как и в логике высказываний, в Л.п. любое высказывание считается либо истинным, либо ложным. Однако при этом кроме пропозициональных связок «)», «&», «V», «—>», «<—>» используются еще три логических оператора: оператор предикации «<—», квантор общности «V» и квантор существования «Э». Если с помощью оператора предикации (субъектно-предикатной связки) формализуется внутреннее логическое строение высказываний об отдельных объектах, то с помощью кванторов формализуются высказывания о различных совокупностях объектов.

В естественном языке отдаленными смысловыми аналогами этих трех дополнительных операторов являются, соответственно, слова «есть (является)», «все» и «некоторые». Точный логический смысл этих операторов задается с помощью специальных семантических правил и формальных аксиом, постулируемых в соответствующем логическом исчислении. Наиболее распространено классическое исчисление предикатов, в котором из конечного числа аксиом по специальным правилам вывода могут быть получены общезначимые формулы Л.п., выражающие соответствующие логические законы. Средствами классического исчисления предикатов могут быть формализованы все основные типы высказываний силлогистики Аристотеля.

Для выявления субъектно-предикатной структуры высказываний вводится бесконечный пере- чень индивидных переменных: х, у, z, ..., х1, у1, zl, ..., представляющих различные объекты, и бесконечный перечень предикатных переменных: Р, Q, R, ..., Р1, Q1, Л1, ..., представляющих свойства и отношения объектов. Индивидные переменные принимают значения в произвольной (непустой) области; наряду с этими переменными могут вводиться индивидные константы, или имена собственные. Запись ("х)Р (х) означает «Всякий х обладает свойством Р»; ($х)Р(х) - «Некоторые х обладают свойством Р»; ($x)Q(xy) - «Существует х, находящийся в отношении Q с у» и т. п. Индивидная переменная, входящая в область действия квантора по этой переменной, называется связанной; переменная, не являющаяся связанной, называется свободной. Так, во всех трех приведенных формулах переменная х связана, в последней формуле переменная у свободна. Подлинной переменной является только свободная переменная: вместо нее можно подставить одно из ее значений и получить осмысленное выражение. Связанные переменные называются фиктивными. Формула Л. п. называется общезначимой, если она истинна в каждой интерпретации. Тавтология логики высказываний является частным случаем общезначимой формулы. В Л. п., в отличие от логики высказываний, нет эффективного процесса, позволяющего для произвольно взятой формулы решить, является она общезначимой или нет.