Равносильные логические формулы.
Две формулы алгебры логики А и В называются РАВНОСИЛЬНЫМИ, если они принимают одинаковые логические значения на любом наборе входящих в формулы элементарных высказываний. Равносильность формул будем обозначать знаком , а запись А В означает, что формулы А и В равносильны.
Важнейшие равносильности алгебры логики можно разбить на три группы.
1. Основные равносильности.
законы идемпотентности.
- закон противоречия
- закон исключенного третьего
- закон снятия двойного отрицания
законы поглощения
2. Равносильности, выражающие одни логические операции через другие.
1.
4.
.
2.
.
5.
.
3.
.
6.
.
Здесь 3, 4, 5, 6 – законы Моргана.
. Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики.
1.
- коммутативность конъюнкции.
2.
- коммутативность дизъюнкции.
3.
- ассоциативность конъюнкции.
4.
- ассоциативность дизъюнкции.
5.
- дистрибутивность конъюнкции относительно
дизъюнкции.
6.
- дистрибутивность дизъюнкции относительно
конъюнкции.
Понятие предиката. Связь с моделью.
Логика предикатов, как и традиционная формальная логика, расчленяет элементарное высказывание на субъект (буквально – подлежащее, хотя оно может играть и роль дополнения) и предикат (буквально – сказуемое, хотя оно может играть и роль определения).
Субъект – это то, о чем что-то утверждается в высказывании;
предикат – это то, что утверждается о субъекте.
Например, в высказывании “7 - простое число”, “7” – субъект, “простое число” – предикат. Это высказывание утверждает, что “7” обладает свойством “быть простым числом”.
Если в рассмотренном примере заменить конкретное число 7 переменной х из множества натуральных чисел, то получим высказывательную форму “х – простое число”. При одних значения х (например, х=13, х=17) эта форма дает истинные высказывания, а при других значениях х (например, х=10, х=18) эта форма дает ложные высказывания.
Ясно, что эта высказывательная форма определяет функцию одной переменной х, определенной на множестве N, и принимающую значения из множества {1;0}. Здесь предикат становится функцией субъекта и выражает свойство субъекта.
Предика́т (лат. praedicatum — заявленное, упомянутое, сказанное) — любое математическое высказывание, в котором есть по меньшей мере одна переменная.
Предика́т (n-местный, или
n-арный) — это функция с множеством
значений {0,1} (или «ложь» и «истина»),
определённая на множестве
.
Таким образом, каждый набор элементов
множества M он характеризует либо как
«истинный», либо как «ложный».
Предикат можно связать с математическим отношением: если n-ка принадлежит отношению, то предикат будет возвращать на ней 1.
Предикат — один из элементов логики первого и высших порядков. Начиная с логики второго порядка, в формулах можно ставить кванторы по предикатам.
Предикат называют тождественно-истинным и пишут:
если на любом наборе
аргументов он принимает значение 1.
Предикат называют тождественно-ложным и пишут:
если на любом наборе
аргументов он принимает значение 0.
Предикат называют выполнимым, если хотя бы на одном наборе аргументов он принимает значение 1.
Так как предикаты принимают только два значения, то к ним применимы все операции булевой алгебры, например: отрицание, импликация, конъюнкция, дизъюнкция и т. д