Понятие подформулы.
С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой.
Определение логической формулы:
1. Всякая логическая переменная и символы "истина" ("1") и "ложь" ("0") — формулы.
2. Если А и В — формулы, то ~, (А &В), (А v В), (А -> B), (А <-> В) — формулы.
3. Никаких других формул в алгебре логики нет.
В п. 1 определены элементарные формулы; в п. 2 даны правила образования из любых данных формул новых формул.
Одновременно с понятием формулы вводится понятие подформулы или части формулы.
1. Подформулой элементарной формулы является она сама.
Если формула имеет вид
,
то ее подформулами являются: она сама,
формула А и все подформулы формулы А.
Если формула имеет вид
(А*В)(здесь и в дальнейшем под символом
* будем понимать любой из трех символов
),
то ее подформулами являются: она сама,
формулы А и В и все подформулы формул А
и В.
Например, для формулы
ее подформулами будут:
- подформула нулевой
глубины,
-подформулы первой
глубины,
- подформулы второй
глубины,
-подформулы
третьей глубины,
-подформула
четвертой глубины.
Таким образом, по мере “погружения вглубь структуры формулы” мы выделяем подформулы все большей глубины.
Очевидно, что на самой большой глубине находятся лишь элементарные формулы. Однако элементарные формулы могут быть и на других глубинах.
Введем в запись формул некоторые упрощения. Будем опускать в записи формул скобки по тем же правилам, что и в алгебре высказываний.
В связи с этими правилами формулы
будем писать
соответственно.
(Общезначимая лф)Классы логических формул.
Формула A называется общезначимой, если во всех своих интерпретациях она принимает значение «истина»
Тавтология(ТОЖДЕСТВЕННО ИСТИННОЙ)- тождественно истинная формула, или формула принимающая значение "истина" ("1") при любых входящих в нее значениях переменных. Логически истинные высказывания - высказывания, которые формализуются тавтологиями.
Противоречие(ТОЖДЕСТВЕННО ЛОЖНАЯ)- тождественно ложная формула, или формула принимающая значение "ложь" ("0") при любых входящих в нее значениях переменных. Логически ложные высказывания - высказывания, которые формализуются противоречиями.
Равносильные формулы - две формулы А и В принимающие одинаковые значения, при одинаковых наборах значений входящих в них переменных. Равносильность двух формул алгебры логики обозначается символом
Равносильное
преобразование формулы - замена формулы
другой, ей равносильной.
Нейтральная логическая формула.
Формула A называется нейтральной, если она не является общезначимой и не является выполнимой
Выполнимая формула. Формула в некоторых случаях принимает значение 1, а в некоторых — 0, то есть является выполнимой
Формула, которая является принимает истинные значения для всех значений переменных на данной области
Противоречивая логическая формула.
Непротиворечивость — свойство формальной системы, заключающееся в невыводимости из неё противоречия. Если отрицание какого-то предложения из системы может быть доказано в теории, то о самом предложении говорится, что оно опровержимо в ней. Непротиворечивость системы означает, что никакое предложение не может быть в ней и доказано, и вместе с тем опровергнуто. Требование Непротиворечивости является обязательным требованием к научной и, в частности, логической теории. Противоречивая система заведомо несовершенна: наряду с истинными положениями она включает также ложные, в ней что-то одновременно и доказывается, и опровергается. Во многих системах имеет место закон Дунса Скота. В этих условиях доказуемость противоречия означает, что становится доказуемым.
Формальные системы, обладающие этим свойством, называются непротиворечивыми, или формально непротиворечивыми. В противном случае формальная система называется противоречивой, илинесовместной.