26. Алгебра логики.

Алгебра логики, раздел математической логики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности), и логические операции над ними.

Алгебра логики

Алгебра логики (не путать с булевой алгеброй — особой алгебраической структурой) — раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями. Высказывания могут быть истинными и ложными.

Определение

Высказывания строятся над множеством {B, , , , 0, 1}, где B — непустое множество, над элементами которого определены три операции:

отрицание (унарная операция),

конъюнкция (бинарная),

дизъюнкция (бинарная),

а также две константы — логический ноль 0 и логическая единица 1.

Дизъю́нкт — пропозициональная формула, являющаяся дизъюнкцией одного или более литералов (например ). Конъюнкт — пропозициональная формула, являющаяся конъюнкцией одного или более литералов (например ).

В математической логике литералом называют атомарную формулу, без 0 и 1, или ее логическое отрицание. Соответственно, разделяют два типа литералов:

Положительный литерал — непосредственно атомарная формула.

Отрицательный литерал — логическое отрицание атомарной формулы.

Аксиомы

1. ¬(¬x)=x, x=¬(¬x); 2. x*(¬x)=0; 3. x+1=1; 4. x+x=x, x=x+x+x; 5. x+0=x; 6. x*x=x, x=x*x*x; 7. x*0=0; 8. x*1=x; 9. x+(¬x)=1.

Логические операции

Простейшим и наиболее широко применяемым примером такой алгебраической системы является множество B, состоящее всего из двух элементов:

B = { Ложь, Истина }.

Как правило, в математических выражениях Ложь отождествляется с логическим нулём, а Истина — с логической единицей, а операции отрицания (НЕ), конъюнкции (И) и дизъюнкции (ИЛИ) определяются в привычном нам понимании. Легко показать, что на данном множестве B можно задать четыре унарные и шестнадцать бинарных отношений, представленных в таблице справа, однако все они могут быть получены через суперпозицию трёх выбранных операций.

Опираясь на этот математический инструментарий, логика высказываний изучает высказывания и предикаты. Также вводятся дополнительные операции, такие как эквивалентность («тогда и только тогда, когда»), импликация («следовательно»), сложение по модулю два («исключающее или»), штрих Шеффера , стрелка Пирса и другие.

Логика высказываний послужила основным математическим инструментом при создании компьютеров. Она легко преобразуется в битовую логику: истинность высказывания обозначается одним битом (0 — ЛОЖЬ, 1 — ИСТИНА); тогда операция приобрает смысл вычитания из единицы; — немодульного сложения; & — умножения; — равенства; — в буквальном смысле сложения по модулю 2 (исключающее Или — XOR); — непревосходства суммы над 1 (то есть A B = (A + B) <= 1).

[править] Свойства логических операций

Коммутативность: xy = yx, {&, }.

Идемпотентность: xx = x, {&, }.

Ассоциативность: (xy)z = x(yz), {&, }.

Дистрибутивность конъюнкций и дизъюнкции относительно дизъюнкции, конъюнкции и суммы по модулю два соответственно:

x(yz) = (xy)(xz),

x(yz) = (xy)(xz),

x(yz) = (xy)(xz).

Законы де Мо́ргана:

(xy) = ( x)(y),

(xy) = ( x)(y).

Законы поглощения:

x(xy) = x,

x(xy) = x.

Другие (1):

x(x) = x0 = xx = 0.

x(x) = x1 = xx = xx = 1.

xx = xx = x1 = x0 = x0 = x.

x1 = x0 = x0 = xx = xx = x.

.

Другие (2):

= = .

= = = .

= = .

Другие (3) (Дополнение законов де Мо́ргана):

= = .

= = .

Существуют методы упрощения логической функции: например, Карта Карно, метод Куайна - Мак-Класки