Задачи и упражнения
1
.
Доказать закон де Моргана для нечетких
множеств.
2.Доказать закон поглощения для нечетких множеств.
ААВ = А; А (АВ) = А.
Задано два нечетких подмножества A и B множества M = {1,2,3,4,5,6,7}
A={(0.3|2), (0.7|4), (0.9|6)}
B
={(0.2|1),
(0.4|3), (0.1|4), (0.9|6), (0.2|5), (0.5|7)}
Найти: Ā; АВ; А ; АВ; Ā В; Ā .
4. Задано нечеткое подмножество А. Найти Ā.
5. Заданы два нечетких множества А и В.
Отобразить АВ; А Ā В
6. Заданы нечеткие подмножества А, В,С множества
М = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }; А={(0.1|3), (0.6|4), (0.7|5)}; B={(0.3|2), (0.4|6), (0.1|1)}; C={(0.2|2), (0.3|4), (0.7|1), (0.1|5)}.
Найти дополнение их пересечения и объединения.
7. Даны два подмножества А и В множества М. М={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A={3, 6 ,2 ,1 ,7}, B={1, 2, 4, 6, 5}. Найти расстояние по Хемингу, относительное расстояние по Хеммингу.
8. Заданы два нечетких подмножества А и В множества М = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A={(0.1|1), (0.3|2), (0.4|3), (0.4|4), (0.3|5), (0.2|6)}, B={(0.2|1), (0.4|2), (0.8|3), (0.9|4), (0.1|5), (0.9|6)}. Найти расстояние по Хемингу, относительное расстояние по Хеммингу между нечеткими подмножествами А и В.
4. K-ЗНАЧНАЯ ЛОГИКА
Элементарные функции k-значных логик и соотношение между ними
Всюду
в этой главе число k
предполагается натуральным большим 2.
Через Ek
обозначается
множество {0,
1, …, k-1}.
Функция f(x1,
x2,
…, xn)
называется
функцией k-значной
логики,
если на всяком наборе
значений переменныхx1,
x2,
…, xn,
где aiEk,
значение f(a1,
a2,
…, an)Ek.
Совокупность всех функций k-значной
логики обозначается через Pk.
Очевидно, что функция f(x1, x2, …, xn) полностью определена, если задана ее таблица (см. табл.ХХХ). В этой таблице наборы суть разложения в k-ичной системе счисления чисел 0, 1, …, kn-1. Символ f здесь будет интерпретироваться как символ, обозначающий отображение, характеризуемое таблицей, а символы x1, x2, …, xn — как названия столбцов.
|
x1 |
x2 |
|
xi |
|
xn-1 |
xn |
f(x1, x2, …, xn) |
|
0 |
0 |
… |
0 |
… |
0 |
0 |
f(0, 0, …, 0, 0) |
|
0 |
0 |
… |
0 |
… |
0 |
1 |
f(0, 0, …, 0, 1) |
|
|
|
|
… |
|
|
|
… |
|
0 |
0 |
… |
0 |
… |
0 |
k-1 |
f(0, 0, …, 0, k-1) |
|
0 |
0 |
… |
0 |
… |
1 |
0 |
f(0, 0, …,1, 0) |
|
|
|
|
… |
|
|
|
… |
|
k-1 |
k-1 |
… |
k-1 |
… |
k-1 |
k-2 |
f(k-1, k-1, …, k-1, k-2) |
|
k-1 |
k-1 |
… |
k-1 |
… |
k-1 |
k-1 |
f(k-1, k-1, …, k-1, k-1) |
Теорема.
Число всех функций из Pk,
зависящих от n
переменных x1,
x2,
…, xn
равно
.
Из сказанного вытекает, что в Pk при k3 в значительной степени возрастают трудности по сравнению с P2 как в возможности эффективного использования табличного задания функций, так и в возможности просмотра всех функций от n переменных. Уже в P3 число функций от двух переменных равно 39=19683, т.е. это множество практически необозримо. В Pk часто употребляют вместо табличного задания функций задание при помощи алгоритма вычислимости функций. Например, max(x1, x2, …, xn) можно рассматривать как алгоритм, который для любого набора (a1, a2, …, an) значений переменных выдает их максимум. Этот алгоритм определяет в Pk единственную функцию, которую будем обозначать тем же символом.
Понятия фиктивной и существенной переменных, равных функций, формулы над множеством функций (и связок), операций суперпозиции и замыкания, замкнутого класса, базиса и другие в k-значных логиках определяются так же, как существующие понятия алгебре логики.
Следующие функции k-значной логики считаются элементарными:
Константы 0, 1, …, k-1; эти функции будут рассматриваться как функции, зависящие от произвольного конечного числа переменных (включая и нуль переменных).
Отрицание
Поста:
.
Здесь
представляет
обобщение отрицания в смысле "циклического"
сдвига значений.
Отрицание
Лукасевича:
.
Здесь~x
является обобщением отрицания в смысле
"зеркального" отображения значений.
Характеристическая функция первого рода числа i: ji(x) (i=0, 1, …, k-1)
Характеристическая функция второго рода числа i: Ji(x) (i=0, 1, …, k-1)
Минимум x1 и x2: min (x1, x2) - обобщение конъюнкции.
Максимум x1 и x2: max (x1, x2) - обобщение дизъюнкции.
Сумма по модулю k: x1+x2 (mod k), читается "x1 плюс x2 по модулю k".
Произведение по модулю k: x1x2 (mod k), читается "произведение x1 на x2 по модулю k".
Усеченная разность:
Импликация
Функция Вебба: vk(x1, x2)=max (x1, x2) + 1 (mod k).
Разность по модулю k:
Опираясь на понятие эквивалентности, можно описать некоторые основные свойства элементарных функций. Пусть (x1x2) обозначает любую из функций min(x1,x2), x1x2 (mod k), max (x1, x2), x1+x2 (mod k).
1. Функция (x1x2) обладает свойством ассоциативности:
((x1x2)x3)=(x1(x2x3)).
2. Функция (x1x2) обладает свойством коммутативности:
(x1x2)= (x2x1).
Кроме того, справедливы следующие соотношения:
1. Дистрибутивность умножения относительно сложения:
(x1+x2)x3=(x1x3)+(x2x3)
2. Дистрибутивность операции max относительно операции min:
max(min(x1,x2), x3)=min(max(x1,x3),max(x2,x3))
3. Дистрибутивность операции min относительно операции max:
min(max(x1,x2), x3)=max(min(x1,x3),min(x2,x3))
4. Идемпотентности операций max и min:
max(x,x)=x; min(x,x)=x
5. Аналоги правил де Моргана в P2:
min(~x1, ~x2)= ~max(x1, x2), max(~x1, ~x2)= ~min(x1, x2)
Следующие равенства вводятся по определению:
max (x1, x2, …, xn-1, xn) = max (max (x1, x2, …, xn-1), xn)), n3;
min (x1, x2, …, xn-1, xn) = min (min (x1, x2, …, xn-1), xn)), n3;
Рассмотрение
свойств элементарных функций показывает,
что не для всех обобщений булевых функций
сохраняются соответствующие свойства.
Например, ~(~x)=x,
но
(при
k3).