- •Часть 1
- •Содержание
- •Введение
- •1. Введение в теорию множеств
- •Операции над множествами
- •Диаграммы Эйлера – Венна
- •Понятие алгебры
- •Упражнения
- •2. Отношения
- •Операции над отношениями
- •Свойства бинарных отношений
- •Задачи и упражнения
- •3. Нечеткие множества
- •Операции над нечеткими множествами.
- •Задачи и упражнения
- •Элементарные функции k-значных логик и соотношение между ними
- •Разложение функций k-значных логик в первую и вторую формы
- •Замкнутые классы и полнота в k-значных логиках
- •Задачи и упражнения
- •5. Логика высказываний
- •Тождества в алгебре высказываний
- •Булевы формулы
- •Интерпретации
- •6. Булевы функции
- •Способы задания булевой функции
- •Равносильные преобразования формул
- •Нормальные формулы Совершенные нормальные формулы
- •Разложение Шеннона Декомпозиция булевых функций
- •Представление булевой функции картами Карно (Вейча)
- •Минимизация булевых функций
- •Классы булевых функций
- •7. Комбинаторика Введение
- •8. Кодирование
- •Алфавитное кодирование
- •Кодирование с минимальной избыточностью
- •Помехоустойчивое кодирование
- •Сжатие данных
- •Шифрование
- •Криптография
- •Цифровая подпись
- •9. Графы Определение графа
- •Задание графов
- •Связность графа
- •Эйлеровы и гамильтоновы графы
- •Деревья
- •Понятие метрики графа
- •Цикломатическое число, раскраска
- •Изоморфизм графов
- •Орграфы
- •Сети Петри
- •Контрольная работа №1 (варианты заданий)
- •Контрольная работа № 2.
- •Контрольная работа №3
- •Список литературы
Тождества в алгебре высказываний
Пусть формула А зависит от списка переменных х1, х2, …,хk. Формула А называется тавтологией (тождественно-истинной), если при любом значении переменных х1, х2, …,хk формула А принимает значение истина. То есть, тождества – это такие формулы, которые обращаются в истину при любой комбинации переменных. Рассмотрим основные тождества (законы).
1. Закон тождества. Всякое высказывание является логическим следствием самого себя:
х→х
2. Закон противоречия. Для всякого высказывания х неверно, что истинно само высказывание и его отрицание:
3. Закон исключенного третьего. Для каждого высказывания х истинно само высказывание или его отрицание:
х¬х
4. Закон двойного отрицания. Каково бы ни было высказывание х, отрицание его отрицания эквивалентно самому высказыванию:
¬¬х~х
5. Истина из чего угодно. Если х истина, то каково бы ни было у высказывание у→х – истина:
х→ (у→х)
6. Из ложного – что угодно. Если х истина, то ¬х – ложь. Ложь имплицирует все, что угодно:
¬х→ (х→у)
7. Modus ponens ( правило отделения). Если х истина и х→у – истина, то у – истина:
(х(х→у)) →у
8. Modus tollens (правило устранения). Если х имплицирует у и у ложно, то х ложно:
((х→у) ¬у) →¬х
9. Закон силлогизма. Если из х следует у и из у следует z, то из х следует z:
(x→y) (y→z) → (x→z)
10. Тривиальные тождества:
Л→А, А→И.
Булевы формулы
Булевыми формулами назовем такие формулы, в которых отсутствуют знаки операций ; ~; . Рассмотрим основные равносильности булевых формул. Эти равносильности носят название законов. Доказательство законов можно провести с помощью таблиц истинностей. Пусть А, В и С – формулы. Тогда для них справедливы следующие законы:
Коммутативные:
АВ = ВА,
АВ = ВА.
Ассоциативные:
А (ВС) = (АВ) С,
А (ВС) = (АВ) С.
Идемпотентности:
АА = А,
АА = А.
Дистрибутивные:
(АВ)С = АС ВС,
АВС = (АВ)(АС).
Де Моргана:
Двойного отрицания:
7. А Ā = И, А Ā = Л,
А Л = А, А Л = Л,
А И = И, А И = А.
8.
Интерпретации
Определим формальную систему, в которой заданы переменные a, b, c,…; операции над переменными , , ¬; правила построения правильных формул; для придания более общего характера, заменим Л и И на 0 и 1. В результате получим булеву алгебру.
Интерпретации:
Булева алгебра высказываний. Считается, что a, b, c,…- высказывания. Значения 0 и 1 кодируем значениями Л и И. Операции рассматриваются как логические связки НЕ, ИЛИ, И.
Булева алгебра множеств. Считаем, что a, b, c,…- множества, 0 и 1 интерпретируются как и Т, а операции: как дополнение ¯, объединение , пересечение .
Булева алгебра событий. Переменные a, b, c,…- представляют события. Событие имеет место или нет. Несомненное событие обозначается 1. Если событие не наступило – 0. Операции представляются символами , , . Здесь - отрицание события, - сумма событий, - произведение событий. Операциям придается определенный смысл. Сумма событий – это событие, которое наступает, когда, по крайней мере, наступает одно из этих событий а, b. Произведение событий – событие, которое наступает тогда, когда оба события имеют место. Алгебра событий является фундаментом теории вероятностей.
Теория электрических цепей. Используются те же самые булевы формулы. Переменные a, b, c,… ставятся в соответствие электрическим цепям. Интерпретация рассматривается с точки зрения проводит цепь ток или нет. Цепь может находиться в двух состояниях: проводимом и не проводимом
Рисунок 4.1 - дизъюнкция
ab – означает параллельное соединение двух цепей, ток проходит, если проводит a или b.
Рисунок 4.2 - конъюнкция
Последовательное соединение цепей - a b.
Операция отрицания - способ построения такой цепи, проводимость которой противоположна основной.
Рисунок 4.3 Инвертирование цепи
Рисунок 4.3 - аc bā cb