Понятие метрики графа

Метрика графа основана на понятии расстояния. Назовем расстоянием d(x_i, x_j) = d_ij между вершинами x_i,x_jX графа G=(X, U) длину кратчайшей цепи, соединяющей эти вершины. Под длиной цепи понимается число входящих в нее ребер.

Функция d(x_i, x_j), определенная на множестве ребер графа G, называется метрикой графа. Метрика удовлетворяет аксиомам Фреше:

 x_i x_j  X[d(x_i, x_j)  0];

 x_i x_j  X[d(x_i, x_j) = 0  x_i = x_j];

 x_i x_j  X[d(x_i, x_j) = d(x_i, x_j)];

 x_i ,x_j ,x_k  X[d(x_i, x_j) + d(xj, x_k)  d(x_i, x_k)]

т.к. d(x_i, x_j) кратчайшая цепь

Функция расстояний задается матрицей

0, если x_i = x_j;

D = || d_ij|| =

d_ij, если x_i  x_j;

	1	2	3	4	5
1	0	3	1	3	2
2	3	0	2	1	1
3	1	2	0	2	1
4	3	1	2	0	1
5	2	1	1	1	0

D =

Рисунок 7.24

Список расстояний можно задать в виде множества кортежей длины три < x_i ,x_j ,d_ij >.

Для графа, приведенного на рисунке 7.24.

D={<1,2,3>, <1,3,1>, <1,4,3>, <1,5,2>, <2,3,2>, <2,4,1>, <2,5,1>, <3,4,2>, <3,5,1>, <4,5,1>}

Диаметр графа d(G) определяется как максимальное расстояние между его вершинами.

D(G) = max dij, x_i x_j  X

Интерес представляет нахождение расстояний в графах частного вида, называемых координатной решеткой.

G_r = (X_r, U_r)

В графе G_r = (X_r, U_r) множество X_r соответствует узлам решетки, а U_r - вертикальным и горизонтальным отрезкам, соединяющим узлы решетки.

Введем декартову систему координат с осями s и t.

t

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ s

Рисунок 25

Расстояние между соседними узлами решетки называют шагом решетки и принимают равным единице. Расстояние между двумя произвольными вершинами в решетке G_r рассчитывается:

d_ij = |s_i – s_j| + |t_i – t_j| ,

где s_i, s_j и t_i, t_j - координаты x_i и x_j .

Обычно задаются размеры решетки p x q, где p – число узлов решетки по оси s, q – not. Например, d(7, 13) = |1 – 2| + |5 – 0| = 6.

Граф G_r удовлетворяет аксиомам Фреше. Если произвольный граф G отображается в G_r так, что любые вершины G размещаются в узлах решетки, то расстояние между вершинами G определяется как расстояние между соответствующими узлами решетки G_r.

Любой граф G может быть отображен в решетку G_r.

Для подсчета суммарной длины L(G) ребер графа G, отображенного в решетку G_r, введем понятие матрицы геометрии D_.

D_ представляет собой часть матрицы расстояний D, в которой исключены элементы d_ij, если вершины x_i x_j  X не смежны в графе G.

0, если r_ij = 0;

d^_ij =

d_ij, если r_ij  0.

Сумма элементов матрицы D_ определяет удвоенную суммарную длину L(G) ребер графа G при данном его отображении в решетку G_r.