2. Отношения

Понятие отношения используют для обозначения связи между объектами или понятиями.

Декартовым произведением множеств А х В называют третье множество С, элементами которого служат пары всех элементов множеств А и В, при этом первый элемент берется из множества А, второй – из множества В.

Пример:

А = {a₁, a₂, a₃}; B = {b₁, b₂, b₃}.

A x B = {<a₁, b₁>, <a₂, b₁>, <a₃, b₁>, <a₂, b₁>, <a₂, b₂>, <a₂, b₃>, <a₃, b₁>, <a₃, b₂>, <a₃, b₃>}.

Сопоставим с декартовым произведением двух множеств прямоугольную решетку, узлы которой взаимно однозначно соответствуют элементам декартова произведения.

Рисунок.2.1 Решетка декартова произведения

Декартовым произведением n множеств А₁, А₂,…, А_n называют множество С= А₁ х А₂ х…х А_n.

Каждый элемент С рассматривается как упорядоченное множество

с_i=<aⁱ₁, aⁱ₂,…,aⁱ_n>,

называемое кортежем.

Кортеж состоит из компонент, для которых задается местоположение. Кортеж может иметь одинаковые компоненты. Число компонент кортежа называют его длиной. Два кортежа считаются равными если их длина одинакова и соответствующие компоненты равны между собой. Компонентами кортежа могут быть любые объекты, в том числе множества и кортежи.

Примеры.

1. Пусть Y = {1, 2, 3}, X = {3, 4};

Y x X = {<1, 3>, <1,4>, <2,3>, <2,4>, <3,3>, <3,4>};

X x Y = {<3,1>, <3,2>, <3,3>, <4,1>, <4,2>, <4,3>}.

Необходимо отметить, что Y x X ≠ X x Y.

2. Пусть заданы кортежи:

α = <1,2,3,2>, β = <1,3,2,2>, γ = <1,2,3,2>, δ = <2,1,3,2> .

Здесь α ≠ β, α = γ, α ≠ .

СтепеньюS множества A называется его прямое произведение самого на себя S раз.

Любое подмножество R  X x Y декартова произведения множеств называется бинарным отношением из X в Y.

Если R есть некоторое отношение, и пара <x,y> принадлежит этому отношению, то наряду с записью <x,y>  R, употребляется запись xRy.

Областью определения бинарного отношения R называется множество A_R={x| существует такое y, что xRy}.

Областью значений бинарного отношения R называется множество

B_R = {y| существует такое x, что xRy}.

Пример.

Пусть даны множества: A = {1,2,3,4,5,6,7}, B = {1,2,3}. Построим отношение RАxB, yB есть делитель xA(xRy).

R = {<1,1>, <2,1>, <3,1>, <4,1>, <5,1>, <6,1>, <7,1>, <2,2>, <4,2>, <6,2>, <3,3>, <6,3>}.

Используя решетку отношение можно изобразить следующим образом.

Рисунок 2.2 - Отношение «есть делитель»

Подмножество R обозначено зачернением соответствующих узлов решетки. Графическое представление данного отношения или представление графом (отношения представлены стрелками) показано на рисунке 2.3.

В А

1 1

2. 2

3 3

4

5

6

7

Рисунок 2.3 - Графическое изображение отношения

Так как элементы множества В  А, то можно показать отношение R способом, представленным на рисунке2.4.

Рисунок 2.4 - Графическое изображение отношения

Квадратом множества Х называется декартово произведение двух равных между собой множеств: Х х Х = Х². Бинарным отношением Т в множестве Х называется подмножество его квадрата Т  Х². Совокупность множества Х с заданным в нем бинарным отношением ТХ² называется графом G.

G = (X, T),

где Х – множество вершин (носитель графа);

Т – множество дуг (сигнатура графа).

Пусть задано декартово произведение А х В. И пусть с  А х В, с = <x, y>, xA, yB.

Проекцией элемента с на множество А назовем элемент х.

Сечением R  A x B по элементу хА называется множество элементов уВ таких, что <x,y>  R, R  А x B.

Вместо термина сечение часто употребляется термин окрестность единичного радиуса.

Множество всех сечений, взятых для всех элементов множества А при задании на нем отношения R  А x B, называется фактормножеством.

Фактормножество полностью определяет отношение R.

Рассмотрим предыдущий пример. Пусть Х  А, и Х = {2,7}. Тогда сечение R(X) = R(2)  R(7) = {1,2}  {7} = {1,2}. Фактормножество определяется как множество всех сечений R по всем элементам из А. Зададим фактормножество в виде двух строк, в первой из которых поместим элементы множества А, а во второй под каждым элементом запишем сечение по этому элементу.

Вторая строка задает фактормножество. Сечение и фактормножество наглядно представлены решеткой на рисунке 2.2.