- •Часть 1
- •Содержание
- •Введение
- •1. Введение в теорию множеств
- •Операции над множествами
- •Диаграммы Эйлера – Венна
- •Понятие алгебры
- •Упражнения
- •2. Отношения
- •Операции над отношениями
- •Свойства бинарных отношений
- •Задачи и упражнения
- •3. Нечеткие множества
- •Операции над нечеткими множествами.
- •Задачи и упражнения
- •Элементарные функции k-значных логик и соотношение между ними
- •Разложение функций k-значных логик в первую и вторую формы
- •Замкнутые классы и полнота в k-значных логиках
- •Задачи и упражнения
- •5. Логика высказываний
- •Тождества в алгебре высказываний
- •Булевы формулы
- •Интерпретации
- •6. Булевы функции
- •Способы задания булевой функции
- •Равносильные преобразования формул
- •Нормальные формулы Совершенные нормальные формулы
- •Разложение Шеннона Декомпозиция булевых функций
- •Представление булевой функции картами Карно (Вейча)
- •Минимизация булевых функций
- •Классы булевых функций
- •7. Комбинаторика Введение
- •8. Кодирование
- •Алфавитное кодирование
- •Кодирование с минимальной избыточностью
- •Помехоустойчивое кодирование
- •Сжатие данных
- •Шифрование
- •Криптография
- •Цифровая подпись
- •9. Графы Определение графа
- •Задание графов
- •Связность графа
- •Эйлеровы и гамильтоновы графы
- •Деревья
- •Понятие метрики графа
- •Цикломатическое число, раскраска
- •Изоморфизм графов
- •Орграфы
- •Сети Петри
- •Контрольная работа №1 (варианты заданий)
- •Контрольная работа № 2.
- •Контрольная работа №3
- •Список литературы
Операции над множествами
Основными операциями над множествами являются: объединение – , пересечение - , вычитание (разность) - \ , сумма - и унарная операция дополнение - .
Операция объединения - . Объединением двух множеств А и В называется такое множество С, элементы которого состоят из элементов множества А и из элементов множества В.
А В = {x | x А и/или х В}.
Пусть С = А В, тогда, если х С, то х А и/или х В.
Пример:
Пусть заданы множества A = {0, 1, 2, 3, 4} и B = {3, 4, 5, 6}. Тогда А В = C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Операция пересечения - . Множество С есть пересечение множеств А и В, если каждый элемент множества С является элементом А и В одновременно.
С = А В = { x | x А и х В}.
Союз «и» заменяют часто знаком &.
Если x С, то x А & х В ;
Пример:
Если A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, то C = {3, 4}.
Операция разность - \ . Разностью множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат А, но не принадлежат В.
С = А \ В = { x | x А и х В}.
Если x С, то x А и х В.
Для предыдущего примера С = А \ В = {0, 1, 2}; C’ = B\ A = {5, 6}.
Операция сумма - (симметрическая разность) .
С = А В = (А \ В) (В \ А)
Если x С, то х является элементом разности А и В или элементом разности В и А.
С = А В = {x | x А / В или x В \ А}
То есть, если А={1,2,3,4,5}, В={3,4,5,6,7}, тогда С = А В={1,2,6,7}.
Операция дополнение (одноместная операция). Дополнение А обозначается ¬А, Ā, А', содержит все те элементы универсального множества I, которые не принадлежат А.
С = Ā = I \ А
Пусть I = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. A={3,8,5,7,0}. Тогда Ā={1, 2, 4, 6, 9}.
Диаграммы Эйлера – Венна
Возможно графическое представление множеств. Универсальное множество задается в виде квадрата, а множества А и В как множества точек плоскости, ограниченные соответствующими замкнутыми линиями. Например: на рисунке 1.1 изображены непересекающиеся (а) и пересекающиеся (б) множества А и В. На рисунке 1.2. показано отношение включения А В.
Следующие рисунки демонстрируют результаты выполнения операций над множествами (показаны заштрихованной областью). Диаграммы приведенные на рисунке 1.3, демонстрируют объединение множеств А и В.
а б
Рисунок 1.1 - Пример множеств Рисунок 1.2 А В
Рисунок 1.3 – Объединение множеств А В
На рисунке 1.4 приведены примеры пересечения. На рисунке 1.4 а приведены множества имеющие одинаковые элементы, их пересечение А ∩ В , и случай 1.4 б множества не имеют общих элементов, и их пересечение А ∩ В = .
а б
Рисунок 1.4. Пересечение А ∩ В
Рисунок 1.5 - Cумма А В Рисунок 1.6 - Разность А \ В
Рисунок 1.7 - Дополнение Ā
Понятие алгебры
Алгеброй А называется совокупность множества М с заданными в нем операциями:
S = {f1, f2, …, fm1, fm2, …, fm,nm },
A = < M, S >, здесь множество М – носитель, S – сигнатура алгебры. Нижний индекс у идентификатора операции указывает ее местность.
Алгебра вида < M, f2 > называется группоидом.
Если f2 – операция типа умножения, то группоид называется мультипликативным, если f2 – операция типа сложения, то аддитивным.
Пусть А = <M, f2> - группоид. Обозначим операцию f2 как . Тогда элемент ℓ, ℓ М, называется правым нейтральным элементом, если m М, и m ℓ = m. Если ℓ m = m – левым нейтральным элементом. Если выполнены оба соотношения, ℓ называется двусторонним нейтральным элементом, или просто нейтральным элементом.
Если группоид <М, •> мультипликативный, то нейтральный элемент называется единицей и обозначается 1.
Если группоид <М, •> - аддитивный, то нейтральный элемент называется нулем и обозначается 0.
Группоид А = <М, •> называется идемпотентным, если его сигнатура удовлетворяет закону идемпотентности:
m M, m • m = m.
Группоид А = <М,•>, сигнатура которого удовлетворяет закону коммутативности:
х,у М, х•у = у•х,
называется коммутативным или абелевым.
Группоид <М,•>, в котором выполняется закон ассоциативности:
х,у,z М х•(у•z) = (x•у)•z,
называется ассоциативным или полугруппой.
Полугруппа <М,•>, в которой выполнимы обратные операции, т.е. для любых а, b М каждое из уравнений а•х = b, у•а = b обладает единственным решением, называется группой.
Алгебра <М, *, +>, которая по умножению является мультипликативным группоидом, а по сложению – абелевой группой, причем умножение связано со сложением законами дистрибутивности
а * (b+c) = a * b + a * c, (b+c) * a = b * a + c * a
называется кольцом. Кольцо, в котором все отличные от нуля элементы составляют группу по умножению, называется телом. Тело, у которого мультипликативная группа абелева, называется полем.
Рассмотрим алгебру множеств
Ак = < B(1), , , ‾ >
Носителем является булеан универсального множества 1, сигнатурой – операции , , ‾ . Для операций алгебры множеств выполняются законы:
Коммутативности объединения и пересечения:
АВ = ВА; АВ = В А.
Закон ассоциативности:
А (ВС) = (АВ) С;
А (ВС) = (АВ) С.
Закон дистрибутивности пересечения относительно объединения и объединения относительно пересечения:
А (ВС) = А ВАС;
А (ВС) = (АВ) (АС).
Законы поглощения:
ААВ = А; А (АВ) = А.
Законы склеивания:
А ВА = А; (АВ) (А ) = А.
Законы Порецкого:
АĀВ = АВ; А (Ā В) = А В.
Закон идемпотентности:
А А = А; А А = А.
Закон действия с универсальным и пустым множествами:
М = М, М = , М 1 = 1,
М 1 = М, М =1, М =;
Законы де Моргана
Закон двойного дополнения:
Алгебра множеств является абелевой полугруппой, но не является группой.
Докажем дистрибутивность А (В ∩ С) = (А В) ∩ (А С). Доказательство проходит в два этапа. Обозначим левую часть как Z, правую – D. Требуется доказать, что если хZ, то xD и наоборот, если xD, то xZ.
Пусть х А (В ∩ С) , это значит, что хА или х(В∩С).
Пусть хА, тогда хА В и хА С, из чего следует х(А В) ∩ (А С).
Если х(В∩С), тогда хВ и хС; из чего следует хА В и хА С то есть х(А В) ∩ (А С).
Первая часть утверждения доказана.
Если х(А В) ∩ (А С), тогда хА В и хА С,
Если хА, то хА (В∩С);
Если х А, то х В и х С, тогда х В ∩ С, из чего следует
х А (В ∩ С).