- •Часть 1
- •Содержание
- •Введение
- •1. Введение в теорию множеств
- •Операции над множествами
- •Диаграммы Эйлера – Венна
- •Понятие алгебры
- •Упражнения
- •2. Отношения
- •Операции над отношениями
- •Свойства бинарных отношений
- •Задачи и упражнения
- •3. Нечеткие множества
- •Операции над нечеткими множествами.
- •Задачи и упражнения
- •Элементарные функции k-значных логик и соотношение между ними
- •Разложение функций k-значных логик в первую и вторую формы
- •Замкнутые классы и полнота в k-значных логиках
- •Задачи и упражнения
- •5. Логика высказываний
- •Тождества в алгебре высказываний
- •Булевы формулы
- •Интерпретации
- •6. Булевы функции
- •Способы задания булевой функции
- •Равносильные преобразования формул
- •Нормальные формулы Совершенные нормальные формулы
- •Разложение Шеннона Декомпозиция булевых функций
- •Представление булевой функции картами Карно (Вейча)
- •Минимизация булевых функций
- •Классы булевых функций
- •7. Комбинаторика Введение
- •8. Кодирование
- •Алфавитное кодирование
- •Кодирование с минимальной избыточностью
- •Помехоустойчивое кодирование
- •Сжатие данных
- •Шифрование
- •Криптография
- •Цифровая подпись
- •9. Графы Определение графа
- •Задание графов
- •Связность графа
- •Эйлеровы и гамильтоновы графы
- •Деревья
- •Понятие метрики графа
- •Цикломатическое число, раскраска
- •Изоморфизм графов
- •Орграфы
- •Сети Петри
- •Контрольная работа №1 (варианты заданий)
- •Контрольная работа № 2.
- •Контрольная работа №3
- •Список литературы
Контрольная работа №3
1
1 Задан граф G=(X,U),
X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, U={(1,4), (1,8), (2,7), (3,6), (2,3), (1,3), (2,5), (4,6), (3,4), (6,8), (5,6), (4,8), (1,9), (9,3), (2,7), (7,6), (4,3), (2,5), (7,7), (3,7)}
Нарисуйте его, дайте полную характеристику: связность, циклы, цепи, маршруты, ориентированность, постройте матрицу расстояний, задайте матрицей смежности.
Построить минимальное покрывающее дерево для графа, заданного таблицей:
|
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X5 |
X6 |
X7 |
X1 |
0 |
0 |
2 |
2 |
1 |
0 |
4 |
X2 |
0 |
0 |
3 |
0 |
1 |
2 |
0 |
X3 |
2 |
3 |
0 |
5 |
4 |
0 |
5 |
X4 |
2 |
0 |
5 |
0 |
2 |
3 |
0 |
X5 |
1 |
1 |
4 |
2 |
0 |
0 |
0 |
X6 |
0 |
2 |
0 |
3 |
0 |
0 |
5 |
X7 |
4 |
0 |
5 |
0 |
0 |
5 |
0 |
Здесь нулем кодируется отсутствие смежности вершин, цифрой - вес соответствующих ребер.
3. Постройте схему алгоритма выделения из графа суграфа и подграфа с заданным числом ребер.
2
1.Задан граф G=(X,U),
X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10}, U={(2,4), (1,8), (2,7), (3,6), (5,3), (1,3), (2,5), (4,6), (3,4), (6,8), (5,6), (1,9), (9,3), (5,7), (7,1), (3,7)}
Нарисуйте его, задайте матрицей смежности постройте подграф, суграф, плоский и планарный
Рассчитайте длины всех проводников заданных решетчатым графомG=(X,U), X={x3,x15,x12,x23) U={(x3,x15),(x15,x23),(x23,X3),(x23,x12).
3. Для полного графа с 4 вершинами постройте все покрывающие неизоморфные деревья
3
1.Задан граф G=(X,U), X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, U={(2,4), (2,8), (2,7), (3,6), (2,3), (1,3), (2,5), (4,6), (5,6), (4,8), (1,9), (9,3), (1,7), (7,4), (3,7)}
Нарисуйте его, двойственный ему граф, дайте полную характеристику, (связность, циклы, ориентированность, матрица расстояний и т.д.) задайте матрицей смежности
2. Задан граф G=(X,U), X={x1,x2,x3,x4}, U={(x1,x2), (x1,x3), (x2,x3), (x2,x4), (x3,x4), (x1,x4),(x4,x4)}. Построить простую цепь из Х2 в Х3.
3. Постройте произвольный мультиграф G=(X,U), |X| =n, |U|=m. N=8,m=14
определите его мультичисло.
4
1.Задан граф G=(X,U),
X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, U={(1,4), (2,7), (3,6), (2,3), (1,3), (2,5), (4,6), (3,4), (5,6), (2,7), (3,7),(6,7),(1,5)}
Нарисуйте его, двойственный ему граф, постройте граф изоморфный исходному, матрицу расстояний, задайте списком смежности
2.Задан граф G=(X,U), X={x1,x2,x3,x4,x5}, U={(x1,x2), (x1,x3), (x2,x3), (x2,x4), (x3,x4), (x3,x5),(x4,x4),(x4,x5)}. Построить его графическое представление и матрицы инциденций и смежности, все простые цепи и циклы.
3. Постройте граф G=(X,U), |X| =n, |U|=m. n=7, m=13. Задайте его с помощью матриц смежности и инциденций. Постройте схему алгоритма перехода от одной матрицы к другой.
5
1.Задан граф G=(X,U),
X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, U={(1,4), (1,8), (2,7), (3,6), (2,3), (1,3), (2,5), (6,8), (5,6), (1,9), (9,3), (2,7), (7,7), (3,7)}
2.Нарисуйте его, двойственный ему граф, дайте полную характеристику(связность, циклы, ориентированность, матрица расстояний и т.д.), задайте матрицей смежности
Задан граф G=(X,U), X={x1,x2,x3,x4,x5}, U={(x1,x2), (x1,x3), (x2,x3), (x2,x4), (x3,x4), (x3,x5),(x4,x4),(x4,x5)}. Построить его графическое представление и матрицы инциденций и смежности, все простые цепи и циклы.
3. Подсчитайте число суграфов, включая изоморфные, в графе G=(X,U), |X| =n.
6
1.Задан граф G=(X,U),
X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, U={(1,4), (1,8), (2,7), (3,6), (2,3), (1,3), (2,5), (6,8), (5,6), (1,9), (9,3), (2,7), (7,7), (3,7)}
2.Нарисуйте его, двойственный ему граф, найдите подграф, суграф, дополненние до полного графа, постройте матрицу расстояний, определите диаметр графа.
Задан граф G=(X,U), X={x1,x2,x3,x4,x6,x6}, U={(x4,x1), (x1,x2), (x2,x6), (x6,x5),(x2,x3),(x3,x5),(x5,x2)}. Построить раскраску графа и найти его хроматическое число.
3. Подсчитайте число суграфов, включая изоморфные, в графе G=(X,U), |X| =n.
7
1.Задан граф G=(X,U),
X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, U={(1,4), (2,7), (3,6), (2,3), (1,3), (2,5), (4,6), (3,4), (5,6), (2,7), (3,7),(6,7),(1,5)}
Нарисуйте его, двойственный ему граф, задайте матрицей инциденций, постройте подграф, суграф, дополнение до полного графа., определите диаметр графа и его хроматическое число.
2. Задан граф G=(X,U), X={x1,x2,x3,x4,x5,x6}, U={(x1,x2), (x2,x4), (x4,x3), (x1,x1), (x3,x6), (x3,x2), (x1,x5), (x3,x1), (x6,x5), (x6,x1), (x3,x5), (x5,x4)}.Постройте граф. Найдите минимальное покрывающее его дерево. Вес вершин 2,6,4,2,5,4,7,9,2,4,6,4 соответственно.
3. Предложите методы построения графов с эйлеровыми и гамильтоновыми циклами на заданных наборах вершин и ребер.
8.
1.Задан граф G=(X,U),
X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, U={(2,4), (2,8), (2,7), (3,6), (2,3), (1,3), (2,5), (4,6), (5,6), (4,8), (1,9), (9,3), (1,7), , (7,4), (3,7)}
2.Нарисуйте его, двойственный ему граф, задайте матрицей инциденций, смежности, найдите эйлеров цикл, гамильтонов цикл, постройте плоский и планарный граф.
Задан граф G=(X,U), X={x1,x2,x3,x4,x5}, U={(x1,x2), (x2,x4), (x4,x3), (x1,x1), (x3,x4), (x3,x2), (x1,x5), (x3,x1), (x5,x5), (x2,x1), (x3,x5), (x5,x4)}. Постройте его, найдите все простые цепи.
3. Предложите алгоритм построения двудольных графов с заданным числом вершин.
9
1.Задан граф G=(X,U),
X={1,2,3,4,5}, U={(1,3),(2,4),(5,1)(3,5),(5,4)(1,4)}
Нарисуйте его, задайте матрицу смежности и инциденций, нарисуйте двойственный ему граф, и для него задайте матрицы смежности и инциденций, найдите диаметр графа и его хроматическое число.
2.Задан граф G=(X,U), X={x1,x2,x3,x4,x5}, U={(x1,x2), (x2,x4), (x4,x3), (x1,x1), (x3,x4), (x3,x2), (x1,x5), (x3,x1), (x5,x5), (x2,x1), (x3,x5), (x5,x4)}.. Построить граф Найдите минимальное покрывающее его дерево. Вес вершин 2,1,4,2,7,4,7,3,2,4,6,4 соответственно
3. Определите хроматическое число неполного связного графа G=(X,U), |X| =n, |U|=m. n=8, m=18.
10
1. Задан граф G=(X,U),
X={1,2,3,4,5}, U={(1,3),(2,4),(2,1)(3,5),(5,4)(1,4),(4,4)}
Нарисуйте его, задайте матрицу смежности и инциденций, нарисуйте двойственный ему граф, и для него задайте матрицы смежности и инциденций., постройпе плоский и планарный граф.
2. Дайте определение Эйлерова графа. Приведите пример. Будет ли граф G=(X,U), X={x1,x2,x3,x4,x5}, U={(x1,x2), (x2,x3), (x2,x5), (x3,x4), (x1,x4), (x3,x5)} Эйлеровым? Нарисуйте его. Постройте минимальный цикл.
3. Постройте произвольный граф G=(X,U), |X| =n, |U|=m. n=10, m=18. Определите его цикломатическое число. Укажите, какие ребра должны быть удалены из графа, чтобы он стал ациклическим.
11
1. Задан граф G=(X,U),
X={1,2,3,4,5,6}, U={(1,3),(2,4),(5,1)(3,5),(5,4)(1,4),(6,3)}
Нарисуйте его, задайте матрицу смежности и инциденций, нарисуйте двойственный ему граф, и для него задайте матрицы смежности и инциденций, нарисуйте изоморфный ему граф, определите его диаметр.
2. Задан граф. Найдите минимальное покрывающее его дерево. G=(X,U), X={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7}, U={(x1,x3)(x1,x2)(x1,x4)(x2,x3)(x2,x6)(x2,x5)(x3,x4)(x3,x7)(x4,x5)(x4,x6)(x1,x6)(x7,x6)}. "Вес" ребер равен: 4,3,1,6,1,4,5,2,7,8,1,9 соответственно.
3. Определите множество полных графов, содержащих одновременно эйлеровы и гамильтоновы циклы.
12
1. Задан граф G=(X,U),
X={1,2,3,4,5}, U={(2,4),(5,1)(3,5),(5,5)(1,4)}
Нарисуйте его, задайте матрицу смежности и инциденций, нарисуйте двойственный ему граф, и для него задайте матрицы смежности и инциденций,
Для исходного графа нарисуйте планарный и полскай граф, определите его хроматическое число.
Задан граф G=(X,U), X={x1,x2,x3,x4}, U={(x1,x2), (x1,x3), (x2,x3), (x2,x4), (x3,x4), (x1,x4),(x4,x4)}. Построить все простые цепи из Х1 в Х3.
Доказать, что среди любых 6 человек есть либо 3 попарно знакомых. либо 3 попарно незнакомых.
13
1. Задан граф G=(X,U),
X={1,2,3,4,5}, U={(1,3),(3,4),(5,2)(3,5),(5,4)(1,4)}
Нарисуйте его, задайте матрицу смежности и инциденций, нарисуйте двойственный ему граф, и для него задайте матрицы смежности и инциденций.
Задан граф G=(X,U), X={x1,x2,x3,x4,x5}, U={(x1,x2), (x1,x3), (x2,x3), (x2,x4), (x3,x4), (x3,x5),(x4,x4),(x4,x5)}. Построить его графическое представление. все простуе цепи и циклы.
3. Описать в терминах теории графов отношение эквивалентности на конечном множестве.
14
1. Задан граф G=(X,U),
X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, U={(2,4), <2,8>, <2,7>, <3,6>, (2,3), (1,3), (2,5), (4,6), (5,6), <4,8>, <1,9>, <9,3>, (1,7), (2,5), (7,4), (3,7), <7,2>, <8,3>, <3,6>}
Нарисуйте его, дайте полную характеристику.
Задан граф G=(X,U), X={x1,x2,x3,x4,x6,x5}, U={(x1,x2), (x2,x4), (x4,x3), (x1,x1), (x3,x5), (x3,x2), (x1,x5), (x3,x1), (x2,x5), (x6,x1), (x3,x5), (x5,x4)}. Дайте определения: маршрута, цепи, цикла, связности. Постройте на заданном графе маршрут, цепь, цикл, покрывающее его дерево
3. Доказать, что если граф связен и конечен. То поиск в ширину и поиск в глубину обойдут все его вершины по одному разу.
26
1. Задан граф G=(X,U),
X={1, 2, 3, 4, 5, 6}, U={(2,4), (2,5), (4,6), (5,6), (2,5), (6,1),(3,6).(2,1),(1,1)} Нарисуйте его, дайте полную характеристику, (связность, ориентированность, матрица расстояний/ Хроматическое число планарность и т.д.)
Дайте определение Эйлерова грfфа. Приведите пример. Будет ли граф G=(X,U), X={x1,x2,x3,x4,x5}, U={(x1,x2), (x1,x3), (x1,x2), (x2,x4), (x3,x4), (x3,x5) (х2,х5)} Эйлеровым? Нарисуйте его. Постройте минимальный цикл.
3. Доказать, что граф связен тогда и только тогда когда его нельзя представить в виде объединения двух графов.
15
1. Задан граф G=(X,U),
X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, U={(2,4), (2,8), (2,7), (3,6), (2,3), (1,3), (2,5), (4,6), (5,6), (4,8), (1,9), (9,3), (1,7), (2,5), (7,4), (3,7)}
Нарисуйте его, дайте полную характеристику, (связность, циклы, ориентированность, матрица расстояний и т.д.) задайте матрицей смежности
Задан граф G=(X,U), X={x1,x2,x3,x4,х5}, U={(x1,x2), (x1,x3), (x2,x3), (x2,x4), (x3,x4), (x1,x4),(x4,x4),(х3,х5),(х5, х4),(х1,х5)}. Построить все простые цепи из Х2 в Х5.
3. Нарисовать диаграммы всех деревьев с 7 вершинами.
16
1. Задан граф G=(X,U),
X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, U={(1,4), (1,8), (2,7), (3,6), (2,3), (1,3), (2,5), (4,6), (3,4), (6,8), (5,6), (4,8), (1,9), (9,3), (2,7), (7,6), (4,3), (2,5), (7,7), (3,7)}
Нарисуйте его, дайте полную характеристику, (связность, циклы, ориентированность, матрица расстояний и т.д.) задайте матрицей смежности.
2. Задан граф G=(X,U), X={x1,x2,x3,x4,x5}, U={(x1,x4), (x1,x3), (x2,x1), (x2,x4), (x3,x4), (x3,x5),(x4,x4),(x4,x5)}. Построить его графическое представление и матрицы инциденций и смежности, все простые цепи.
3. Доказать, что полный граф имеет nn-2 деревьев.
17
1. Задан граф G=(X,U),
X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10}, U={(2,4), (1,8), (2,7), (3,6), (5,3), (1,3), (2,5), (4,6), (3,4), (6,8), (5,6), (1,9), (9,3), (5,7), (7,1), (3,7)}
Нарисуйте его, дайте полную характеристику (связность, циклы, ориентированность, матрица расстояний и т.д.), задайте матрицей смежности
2. Задан граф G=(X,U), X={x1,x2,x3,x4,x5,x6}, U={(x1,x2), (x2,x4), (x4,x6), (x1,x1), (x3,x6), (x3,x2), (x1,x5), (x3,x1), (x6,x5), (x6,x1), (x2,x5), (x5,x4)}.Постройте граф. Найдите раскраску графа. Начиная с 1 вершины и с 5 .
3. Построить сеть Петри для решения задачи о 5 мудрецах. (5 мудрецов. Могут есть или думать. Для еды им даны 5 палочек. Чтобы поесть, мудрецу нужны 2 палочки.)
18
1. Задан граф G=(X,U),
X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, U={(2,4), (2,8), (2,7), (3,6), (2,3), (1,3), (2,5), (4,6), (5,6), (4,8), (1,9), (9,3), (1,7), (7,4), (3,7)}
Нарисуйте его, дайте полную характеристику, (связность, циклы, ориентированность, матрица расстояний и т.д.) задайте матрицей смежности
2. Задан граф G=(X,U), X={x1,x2,x3,x4,x5,х6}, U={(x1,x2), (x2,x4), (x4,x3), (x1,x1), (x3,x4), (x3,x2), (x1,x5), (x3,x1), (x5,x5), (x2,x1), (x3,x5), (x5,x4),(х1,х6), (х2,х6)}. Постройте его, найдите все простые цепи из 3 в 6 вершину.
3. Показать, что граф, имеющий мост, не является эйлеровым.
19
1. Задан граф G=(X,U),
X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, U={(1,4), (2,7), (3,6), (2,3), (1,3), (2,5), (4,6), (3,4), (5,6), (2,7), (3,7),(6,7),(1,5)}
Нарисуйте его, двойственный ему граф, плоский и планарный , дайте полную характеристику, задайте матрицей смежности.
2. Задан граф G=(X,U), X={x1,x2,x3,x4,x6,x5}, U={(x1,x2), (x2,x3), (x4,x3), (x5,x1), (x3,x6), (x3,x2), (x1,x5), (x3,x1), (x6,x5), (x6,x1), (x3,x5), (x5,x4)}. Дайте определения: маршрута, цепи, цикла, связности. Постройте на заданном графе маршрут, цепь, цикл, покрывающее его дерево
3. определить число неизоморфных деревьев двудольного графа К2,3.
20
1. Задан граф G=(X,U),
X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, U={(1,4), (1,8), (2,7), (3,6), (2,3), (1,3), (2,5), (6,8), (5,6), (1,9), (9,3), (2,7), (7,7), (3,7)}
Нарисуйте его, Нарисуйте двойствегнный ему граф. Дайте полную характеристику двойственного графа,задайте матрицей смежности, постройте плоский и планарный графы.
Дайте определение цикла, маршрута. Приведите пример, используя граф заданный таблицей:
|
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X5 |
X1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
X2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
X3 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
X4 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
X5 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
Найдите хроматическое число и диаметр заданного графа.
3. Доказать, что удаление одного ребра, которое принадлежит какому-то циклу связного графа, не делает этот граф несвязным.
21
1. Задан граф G=(X,U),
X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, U={(1,4), (1,8), (2,7), (3,6), (2,3), (1,3), (2,5), (6,8), (5,6), (1,9), (9,3), (2,7), (7,7), (3,7)}
Нарисуйте его, найдите подграф, суграф, дополненние до полного графа.
Задан граф G=(X,U),|X|=6 (6 вершин) и степень каждой вершины 3. Нарисовать такой граф и построить все его простые циклы.
3. доказать, что эйлеров граф не имеет мостов.
22
1. Задан граф G=(X,U),
X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, U={(1,4), (2,7), (3,6), (2,3), (1,3), (2,5), (4,6), (3,4), (5,6), (2,7), (3,7),(6,7),(1,5)}
Нарисуйте его, задайте матрицей инциденций, постройте подграф, суграф, дополнение до полного графа..
2. Дайте определение и назначение решетчатого графа. Приведите пример основных соотношений. Найдите расстояние между вершинами x5 и x27 (решетку взять из лекций).
3. Построить примеры графов, для которых алгоритм последовательного раскрашивания строит не минимальную раскраску.