Разложение функций k-значных логик в первую и вторую формы

Любую функцию f(x₁, x₂, …, x_n) из P_k (n1) можно представить в первой форме, являющейся аналогом совершенной ДНФ для функции алгебры логики:

,

где максимум берется по всем наборам значений переменныхx₁, x₂, …, x_n.

Справедливо еще одно представление для функции k-значной логики, называемой второй формой:

,

где суммирование ведется по всем наборам значений переменныхx₁, x₂, …, x_n (сумма и произведение берутся по модулю k).

Замкнутые классы и полнота в k-значных логиках

Система S функций f₁, f₂, …, f_n, из P_k называется (функционально) полной, если любая функция из P_k может быть записана в виде формулы через функции этой системы.

Приведем некоторые системы S полных систем.

1. Система S= P_k полна. Очевидно, что множество всех функций из P_k представляет полную систему.

2. Система

S={0, 1, …, k-1, J₀(x), …, J_k-1(x), min (x₁, x₂), max (x₁, x₂)}.

3. Система

S = {, max (x₁, x₂)}.

4. Система

S = { v_k(x₁, x₂)}.

С понятием полноты связано понятие замыкания и замкнутого класса.

Пусть M — произвольное множество функций из P_k. Замыканием M называется множество [M] всех функций из P_k, представимы в виде формул через функции множества М.

Класс (множество) M называется (функционально) замкнутым, если [M]=M.

Функция f(x₁, x₂, …, x_n) из P_k (n0) называется линейной, если она представима в виде a₀+a₁x₁+…+ a_nx_n, где a_j E_k (j=0, 1, …, n) и сумма, и произведение берутся по модулю k. Множество всех линейных функций из P_k образует замкнутый класс линейных функций, который обозначается через L_k (или L). Класс L_k отличен от P_k при всяком k3.

Полиномом (или многочленом) по модулю k от переменных x₁, x₂, …, x_n называется выражение вида a₀+a₁X₁+…+ a_mX_m, где коэффициенты a_i принадлежат множеству E_k и X_j — либо некоторая переменная из {x₁, x₂, …, x_n}, либо произведение переменных этого множества (j=0, 1, …, n).

Говорят, что некоторая функция из P_k представима (или реализуется) полиномом по модулю k, если существует полином по модулю k, равный этой функции. Множество всех функций из P_k, представимых полиномами по модулю k (или, короче, множество всех полиномов по модулю k), является замкнутым классом в P_k.

Теорема (критерий полноты класса полиномов в P_k). Представление каждой функции из P_k полиномом по модулю k возможно в том и только том случае, когда k — простое число (иными словами, система полиномов по модулю k в P_k тогда и только тогда, когда k — простое число).

Необходимо отметить некоторые свойства, связанные с полной. Приведем их без доказательств:

1. Существует алгоритм для распознавания полноты.

2. Из всякой полной в P_k системы S можно выделить конечную подсистему, являющуюся также полной.

3. Класс M всех функций, сохраняющих R, является замкнутым. Функция f(x₁, x₂, …, x_n) сохраняет множество R, если для любых функций h_i1(y₁, y₂, …, y_n), h_i2(y₁, y₂, …, y_n), …, h_in(y₁, y₂, …, y_n) из R

f(h_i1(y₁, y₂, …, y_n), h_i2(y₁, y₂, …, y_n), …, h_in(y₁, y₂, …, y_n))R.

4. (О функциональной полноте). Можно построить систему замкнутых классов в P_k M₁, M₂, …, M_s, каждый из которых целиком не содержит ни одного из остальных классов, и такую, что подсистема функций из P_k полна тогда и только тогда, когда она целиком не содержится ни в одном из классов M₁, M₂, …, M_s.

5. Пусть система функций S функций из P_k, где k3, содержит все функции одной переменной. Тогда для полноты системы S необходимо и достаточно, чтобы S содержала существенную функцию f(x₁, x₂, …, x_n), принимающую все k значений.

6. Для всякого k (k3) существует в P_k замкнутый класс, не имеющий базиса.

7. Для всякого k (k3) существует в P_k замкнутый класс, со счетным базисом.