Минимизация булевых функций

Импликантой функции f (x₁, . . . ,x_n) называется такая элементарная конъюнкция К над множеством переменных { x₁, . . . ,x_n }, что К  f (x₁, . . . ,x_n) = f (x₁, . . . ,x_n). Импликанта называется простой, если при отбрасывании любой буквы из К получается элементарная конъюнкция , не являющаяся импликантой функции f. Дизъюнкция всех простых импликант функции f называется сокращенной ДНФ функции f.

Дизъюнктивная нормальная форма называется:

минимальной, если она имеет наименьшее число букв среди всех эквивалентных ей ДНФ;

кратчайшей, если она имеет наименьшую длину среди всех эквивалентных ей ДНФ;

тупиковой, Если отбрасывание любого слагаемого или буквы приводит к неэквивалентной ДНФ.

Тупиковая ДНФ функции f (x₁, . . . ,x_n) получается из сокращенной ДНФ этой функции путем отбрасывания некоторых элементарных конъюнкций. Среди тупиковых ДНФ ищется минимальная и кратчайшая ДНФ функции.

Существует несколько методов получения сокращенной ДНФ (получения простых импликант).

Метод Квайна. Для того, чтобы можно было применить метод Квайна, необходимо, чтобы функция была приведена к виду СДНФ. Основой метода является закон склеивания.

a b  a  = а , (a  b)  (a  ) = а;

1. Просматриваем поочередно пары конъюнкций, если возможно – производим склеивание и результат записываем отдельно. Пары, участвовавшие в склеивании, помечаем.

2. После выполнения всевозможных склеиваний в результат добавляем те конъюнкции, которые не участвовали в склеивании.

3. Если не было элементарных конъюнкций, которые можно было склеивать, то алгоритм закончен. В противном случае переходим к пункту1.

Пример.

Пусть задана функция F(x₁,x₂,x₃,x₄) = x₁ x₂ x₃ x₄  x₁ x₂ ¬x₃ x₄  x₁ x₂¬x₃¬x₄  x₁ ¬x₂¬x₃ x₄  ¬x₁¬x₂ x₃¬x₄  ¬x₁x₂ x₃¬x₄  x₁ x₂x₃¬x₄  x₁¬ x₂x₃¬ x₄

Произведем всевозможные склеивания, в результате получим:

F(x₁,x₂,x₃,x₄) = x₁ x₂ x₄  x₁ x₂ x₃  x₁ x₂ ¬x₃  x₁ ¬x₃ x₄  x₁ x₂ ¬ x₄  ¬x₁ x₃¬x₄  ¬x₂ x₃¬x₄  x₂ x₃¬x₄  x₁ x₃¬x₄

Все конъюнкции исходной функции участвовали в склеивании.

Произведем склеивание еще раз. Конъюнкция x₁ ¬x₃ x₄ в склеивании не участвовала, поэтому записываем ее в результат.

F(x₁,x₂,x₃,x₄) = x₁ x₂  x₃¬x₄ x₁ ¬x₃ x₄

Метод Блейка.

Метод Блейка позволяет получить сокращенную ДНФ из произвольной ДНФ и состоит в применении правил обобщенного склеивания ( xK₁  ¬xK₂ = xK₁  ¬xK₂  K₁K₂ ) и поглощения (K₁ K₁K₂ = K₁).

На первом этапе производятся операции обобщенного склеивания до тех пор пока это возможно. На втором – операции поглощения.

Пример.

Получить сокращенную ДНФ для функции

F( x₁,x₂,x₃) = x₁ x₂  ¬ x₁x₃ ¬x₂ x₃

После первого этапа получим:

F( x₁,x₂,x₃) = x₁ x₂  ¬ x₁x₃ x₂ x₃ ¬x₂ x₃  x₁x₃ x₃

После второго:

F( x₁,x₂,x₃) = x₁ x₂  x₃

Если функция задана в КНФ, для получения сокращенной ДНФ нужно сначала раскрыть скобки, пользуясь законом дистрибутивности, затем из полученной ДНФ вычеркнуть буквы и слагаемые, используя законы: ¬ x₁x₁ =0, x₁x₁ = x₁, x₁x₁ = x₁, K₁ K₁K₂ = K₁ .

Для небольших значений n сокращенную ДНФ функции f (x₁, . . . ,x_n) можно находить с помощью карт Карно. Объединяя клетки соответствующие единичным значениям функции f , в максимальные интервалы, и сопоставляя им элементарные конъюнкции, получим сокращенную ДНФ.

Рассмотрим на примере функции от четырех переменных объединение в максимальные интервалы.

Пусть функция принимает единичное значение на всех наборах переменных. Функция тождественно равна единице.

При объединении необходимо придерживаться правил:

• в объединение включаются только клетки «зеркально» симметричные относительно какой-либо их осей;

• количество клеток соответствует степени 2 (2,4, 8, 16, . . .).

В первом случае результат объединения равен x₁ , во втором - x₂

						x1
						x2
					
					
					
					
x3	x4

						x1
						x2
				
				
				
				
x3	x4

						x1
						x2
					
					
x3	x4

						x1
						x2
					
					
x3	x4

Результат - ¬ x₄ ¬ x₂¬x₄

						x1
						x2
				
				
x3	x4

						x1
						x2
				
				
x3	x4

x₂¬x₄ x₂¬x₃

						x1
						x2
		
		
x3	x4

						x1
						x2
				
				
x3	x4

¬x₁¬x₂¬x₃ x₁x₂x₄

Пусть задана функция от пяти переменных.

F(x₁,x₂,x₃,x₄,x₅) = x₃¬x₄x₅  ¬x₁x₂¬x₃¬x₄  ¬x₁x₂¬x₄¬x₅  x₁¬x₄¬x₅  x₁x₂ ¬x₃x₄  x₁x₂ ¬x₄x₅  ¬x₁¬ x₂x₃¬x₄¬ x₅

										x1
										x2
										x3
									
								
						
						
x4	x5

Заданная функция отображена на карте Карно. Получим следующие интервалы: x₂¬x₄ (показан заштрихованной областью).

Интервал x₃¬x₄ показан ниже вертикальными полосами. Ниже представлены еще два интервала x₁¬x₄¬x₅ , x₁x₂¬x_{3 .}

										x1
										x2
										x3
									
								
						
						
x4	x5

В результате сокращенная функция эквивалентная исходной запишется: F(x₁,x₂,x₃,x₄,x₅) = x₂¬x₄  x₃¬x₄  x₁¬x₄¬x₅  x₁x₂¬x₃

										x1
										x2
										x3
									
								
						
						
x4	x5

Простая импликанта называется ядерной, если удаление ее из сокращенной ДНФ приводит к ДНФ, которая не эквивалентна исходной. Для каждой ядерной импликанты элементарной конъюнкции существует такой набор значений переменных, который обращает конъюнкцию в единицу а остальные слагаемые сокращенной ДНФ в ноль. Простая импликанта входит во все тупиковые ДНФ тогда и только тогда, когда она входит в ядро функции.

Для поиска импликант, входящих в ядро функции используется условие, состоящее в том, что импликанта, которая обращается в единицу на тех же наборах переменных, что и дизъюнкция ядерных импликант в тупиковую ДНФ не входит.

Метод поиска минимальной ДНФ состоит в нахождении минимального покрытия булевой матрицы. Булева матрица строится следующим образом. В качестве строк берутся простые импликанты. В качестве столбцов – полные элементарные конъюнкции соответствующие СДНФ исходной функции. На пересечении строки и столбца ставится единица, если на наборе, обращающем полную элементарную конъюнкцию в единицу простая импликанта также обращается в единицу.

Далее подсчитывается количество единиц в столбце. выбирается столбец количество единиц в котором минимально и строка с максимальным количеством единиц. Простая импликанта. соответствующая выбранной строке входит в покрытие (в ядро функции). Далее она не рассматривается. Из рассмотрения удаляются также столбцы, в которых присутствует единица в выбранной строке.

Выбор осуществляется до тех пор, пока все столбцы не будут покрыты.

Пример

Пусть задана функция:

F(x₁,x₂,x₃,x₄) = x₁ x₃  x₂x₃  x₁ x₂  ¬x₁ ¬x₂x₄  ¬x₂ x₃x₄  x₁ x₃x₄

Найдем все полные конъюнкции и перенумеруем их/

x1x3	1	¬x1x2x3x4
	2	¬x1x2x3¬x4
	3	¬x1¬x2x3x4
	4	¬x1¬x2x3¬x4

x2x3	5	x1x2x3x4
	6	x1x2x3¬x4
	1	¬x1x2x3x4
	2	¬x1x2x3¬x4

x1x2	5	x1x2x3x4
	6	x1x2x3¬x4
	7	x1x2¬x3x4
	8	x1x2¬x3¬x4

¬x1¬x2x4	3	¬x1¬x2x3x4
	9	¬x1¬x2¬x3x4

¬x2 x3x4	10	x1¬x2x3x4
	3	¬x1¬x2x3x4

x1 x3x4	5	x1x2x3x4
	10	x1¬x2x3x4

Построим булеву матрицу.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
x1 x3	1	1	1	1
x2x3	1	1			1	1
x1x2					1	1	1	1
¬x1¬x2x4			1						1
¬x2 x3x4			1							1
x1 x3x4					1					1
	2	2	3	1	3	2	1	1	1	2

В покрытие обязательно войдет четвертый столбец и импликанта x₁ x₃ . Удалим первую строку и с первого по пятый столбцы. В результате получим матрицу:

	5	6	7	8	9	10
x2x3	1	1
x1x2	1	1	1	1
¬x1¬x2x4					1
¬x2 x3x4						1
x1 x3x4	1					1
	3	2	1	1	1	2

В оставшейся части матрицы выберем 7 столбец и импликату x₁x₂ . Удалим выбранную строку и столбцы с 5 по 8. В полученной матрице выберем 9 столбец.

	9	10
x2x3
¬x1¬x2x4	1
¬x2 x3x4		1
x1 x3x4		1
	1	2

¬x₁¬x₂x_4. В оставшейся части можно выбрать любую из строк.

В покрытие войдут импликанты:

x₁ x₃  x₁x₂  ¬x₁¬x₂x₄  x₁ x₃x₄

Полученное решение и есть минимальная ДНФ.

	10
x2x3
¬x2 x3x4	1
x1 x3x4	1
	2