дизъюнкция a ۷ b, (a или b). Операция логического сложения.
a b
a ۷ b
Л Л
Л И
И Л
И И
Л
И
И
И
Импликация a → b (если a, то b).
a b
a → b
Л Л
Л И
И Л
И И
И
И
Л
И
Эквивалентность a ~ b, (a эквивалентно b), (a если и только если b)
a b |
a ~ b |
Л Л Л И И Л И И |
И Л Л И |
6. дизъюнкция с исключением ; (или a или b)
a b |
a b |
Л Л Л И И Л И И |
Л И И Л |
Рассмотрим предыдущий пример. В соответствии с введенными операциями он будет выглядеть:
а ۸ ¬ b → c ۷ d.
Вычислим истинность этого высказывания. Для этого необходимо построить таблицу истинности от четырех переменных, в которой будет 24 строк и вычислить значение на каждом наборе переменных.
a |
b |
c |
d |
a ۸ ¬ b → c ۷ d |
Л |
Л |
Л |
Л |
И |
Л |
Л |
Л |
И |
И |
Л |
Л |
И |
Л |
И |
Л |
Л |
И |
И |
И |
Л |
И |
Л |
Л |
И |
Л |
И |
Л |
И |
И |
Л |
И |
И |
Л |
И |
Л |
И |
И |
И |
И |
И |
Л |
Л |
Л |
Л |
И |
Л |
Л |
И |
И |
И |
Л |
И |
Л |
И |
И |
Л |
И |
И |
И |
И |
И |
Л |
Л |
И |
И |
И |
Л |
И |
И |
И |
И |
И |
Л |
И |
И |
И |
И |
И |
И |
Это высказывание ложно только в одном случае, когда высказывания а = И, b = Л, c = Л, d = Л.
Логика высказываний не дает методов вычисления истинности элементарных высказываний, но хорошо определяет истинность сложных высказываний.
Если высказывание сложное и стоит задача определить истинность высказывания, то необходимо построить формулу или систему формул. Далее необходимо определить множество правильных формул, затем выполнить действия и получить ответ.
Определим алфавит, т.е. символы, которыми можно пользоваться:
a, b, c,…, x, y, z, ۸, ۷, ¬, →, , ), (.
Будем утверждать, что a, b, c,…, x, y, z – формулы.
Если a, b – формулы, то формулами являются выражения:
(¬а), (ab), (ab), (aB), (a~b), (ab).
Других формул нет.
Примеры:
((a b) (¬(с а))), ((а (¬b)) a) – формулы.
(а¬b)- не является формулой.
Введем правила упрощенного написания формул.
Прежде всего, определим приоритетность выполнения операций. Для этого разобьем их на группы и запишем в порядке уменьшения приоритета.
¬; ; ; ; ; ~;
Если перед нами формула, то, прежде всего, выполняются операции в скобках и операция отрицания, затем – конъюнкция. Операции дизъюнкция и дизъюнкция с исключением имеют одинаковый приоритет. Если необходимо какую-либо из них выполнять первой, то надо уточнить, используя скобки. То же самое касается операций импликации и эквивалентности, которые имеют наиболее низкий приоритет.
Для упрощения написания можно опускать знак конъюнкции.
И последнее. Символ отрицания можно помещать над переменной, скобкой в виде черты.
Пример:
Рассмотрим формулы А и В. Визуально формулы могут быть различны, но может оказаться, что для каждого набора значений переменных значения ложь и истина совпадают, тогда говорят, что формулы А и В равносильны, т.е. А=В; А = И – формула истинна, если через И обозначить формулу, которая всегда истинна. А=Л – формула всегда ложна. Необходимо заметить, что под символом = понимается отношение равенства.