Тождества в алгебре высказываний

Пусть формула А зависит от списка переменных х₁, х₂, …,х_k. Формула А называется тавтологией (тождественно-истинной), если при любом значении переменных х₁, х₂, …,х_k формула А принимает значение истина. То есть, тождества – это такие формулы, которые обращаются в истину при любой комбинации переменных. Рассмотрим основные тождества (законы).

1. Закон тождества. Всякое высказывание является логическим следствием самого себя:

х→х

2. Закон противоречия. Для всякого высказывания х неверно, что истинно само высказывание и его отрицание:

3. Закон исключенного третьего. Для каждого высказывания х истинно само высказывание или его отрицание:

х¬х

4. Закон двойного отрицания. Каково бы ни было высказывание х, отрицание его отрицания эквивалентно самому высказыванию:

¬¬х~х

5. Истина из чего угодно. Если х истина, то каково бы ни было у высказывание у→х – истина:

х→ (у→х)

6. Из ложного – что угодно. Если х истина, то ¬х – ложь. Ложь имплицирует все, что угодно:

¬х→ (х→у)

7. Modus ponens ( правило отделения). Если х истина и х→у – истина, то у – истина:

(х(х→у)) →у

8. Modus tollens (правило устранения). Если х имплицирует у и у ложно, то х ложно:

((х→у) ¬у) →¬х

9. Закон силлогизма. Если из х следует у и из у следует z, то из х следует z:

(x→y)  (y→z) → (x→z)

10. Тривиальные тождества:

Л→А, А→И.

Булевы формулы

Булевыми формулами назовем такие формулы, в которых отсутствуют знаки операций ; ~; . Рассмотрим основные равносильности булевых формул. Эти равносильности носят название законов. Доказательство законов можно провести с помощью таблиц истинностей. Пусть А, В и С – формулы. Тогда для них справедливы следующие законы:

1. Коммутативные:

АВ = ВА,

АВ = ВА.

2. Ассоциативные:

А (ВС) = (АВ) С,

А (ВС) = (АВ) С.

3. Идемпотентности:

АА = А,

АА = А.

4. Дистрибутивные:

(АВ)С = АС  ВС,

АВС = (АВ)(АС).

5. Де Моргана:

6. Двойного отрицания:

7. А  Ā = И, А  Ā = Л,

А  Л = А, А  Л = Л,

А  И = И, А  И = А.

8.

Интерпретации

Определим формальную систему, в которой заданы переменные a, b, c,…; операции над переменными , , ¬; правила построения правильных формул; для придания более общего характера, заменим Л и И на 0 и 1. В результате получим булеву алгебру.

Интерпретации:

1. Булева алгебра высказываний. Считается, что a, b, c,…- высказывания. Значения 0 и 1 кодируем значениями Л и И. Операции рассматриваются как логические связки НЕ, ИЛИ, И.

2. Булева алгебра множеств. Считаем, что a, b, c,…- множества, 0 и 1 интерпретируются как  и Т, а операции: как дополнение ¯, объединение , пересечение .

3. Булева алгебра событий. Переменные a, b, c,…- представляют события. Событие имеет место или нет. Несомненное событие обозначается 1. Если событие не наступило – 0. Операции представляются символами , , . Здесь  - отрицание события,  - сумма событий,  - произведение событий. Операциям придается определенный смысл. Сумма событий – это событие, которое наступает, когда, по крайней мере, наступает одно из этих событий а, b. Произведение событий – событие, которое наступает тогда, когда оба события имеют место. Алгебра событий является фундаментом теории вероятностей.

4. Теория электрических цепей. Используются те же самые булевы формулы. Переменные a, b, c,… ставятся в соответствие электрическим цепям. Интерпретация рассматривается с точки зрения проводит цепь ток или нет. Цепь может находиться в двух состояниях: проводимом и не проводимом

Рисунок 4.1 - дизъюнкция

ab – означает параллельное соединение двух цепей, ток проходит, если проводит a или b.

Рисунок 4.2 - конъюнкция

Последовательное соединение цепей - a  b.

Операция отрицания  - способ построения такой цепи, проводимость которой противоположна основной.

Рисунок 4.3 Инвертирование цепи

Рисунок 4.3 - аc  bā  cb