Цикломатическое число, раскраска

Наименьшее число ребер, которое необходимо удалить из графа G, чтобы он стал ациклическим, называется цикломатическим числом графа. Для графа G=(X, U), |X| = n, |U| = m цикломатическое число j(G) = m – n + k, где m – число ребер графа, n – число вершин, k – число компонент связности графа. Для графа, состоящего из одной компоненты связности j(G) = m – n + 1; например, на рис.26 j(G) = 7 – 5 = 2; т.е. после удаления двух ребер граф становится ациклическим, в примере это ребра, (например, (х₄, х₂), (х₄, х₃)). Чтобы узнать, какие ребра удалять, необходимо каждый раз удалять ребро, которое разрушает хотя бы один цикл.

Рисунок 7.26

Раскраской вершин графа называется разбиение множества вершин графа на l непересекающихся классов (подмножеств)

таких, что внутри каждого подмножества Х_i не должно быть смежных вершин.

Если каждому подмножеству Х_i поставить в соответствие определенный цвет, то вершины внутри подмножества можно окрасить в один цвет, вершины другого – в другой и т.д. до полной раскраски. В этом случае граф называется l-раскрашиваемым. Наименьшее число подмножеств, на которое разбивается граф при раскраске, называется хроматическим числом K(G).

Очевидно, полный граф K_n можно раскрасить только в n цветов K(Kn)=n.

Для связного графа G = (X, U) с n-1  m  n(n-1)/2 верхняя оценка хроматического числа:

Нижней оценкой K(G) является число вершин в наибольшем полном подграфе графа G.

Хроматическое число обычно определяется с помощью методов линейного программирования.

Важное практическое применение имеют 2-раскрашиваемые или двудольные (граф Кёнига) (бихроматические) графы. Обозначается двудольный граф G_n1,n2 =(X₁, X₂, U), где X₁X₂=X, X₁X₂=, а ребра соединяют только подмножества X₁ и X₂ между собой.

Пример двудольного графа.

G_n1,n2 =(X₁, X₂, U); |X₁| = n₁ = 4;

|X₂| = n₂ = 3; X₁ = {x₁, x₂, x₃, x₄};

X₂ = {x₅, x₆, x₇}.

Рисунок 7.27. Двудольный граф

Граф K_{n1, n2} называется полным двудольным графом, если любая вершина x_iX₁ смежна каждой вершине x_jX₂ (ij).

В двудольном графе множество X₁ можно раскрасить одним цветом, Х₂ – другим цветом.

Рисунок 7.28. Полный двудольный граф К₃₂.

При разработке алгоритмов компоновки, размещения и трассировки возникает необходимость определения двудольности некоторого графа или выделения в этом графе максимальных непересекающихся двудольных частей.

Теорема 4. Граф G_{n1, n2} является двудольным тогда, и только тогда, когда он не имеет простых циклов нечетной длины.

Рассмотрим число внутренней устойчивости. Если любые вершины в графе G = (X, U) X’X, не смежны, то это подмножество называется внутренне устойчивым.

Тождественные преобразования графов, сводимые только к переобозначению вершин и ребер, приводят к получению изоморфных графов.

Изоморфизм графов

Два графа G=(X, U) и G’=(X’, U’) называют изоморфными, если можно установить взаимно-однозначное соответствие XX’ , UU’ такое, что если (x_i, x_j) X  (x_i, x_j) X’ , то ребро u = (x_i, x_j)U  u’ = (x’_i, x’_j) U’. Изоморфизм есть отношение эквивалентности на графах. Изоморфные графы могут быть получены один из другого при помощи перенумерации их вершин. Если изоморфные преобразования проводятся с графом, заданным матрицей смежности, то они сводятся к перестановке местами соответствующих строк и столбцов.

а б

в

Рисунок 29. Граф G и изоморфные ему

В общем случае для определения изоморфизма необходимо сделать n! сравнений.

При покрытии функциональной схемы набором стандартных модулей или при решении задачи типизации необходимо устанавливать изоморфизм между графом G и какой-либо частью другого графа G’.

При конструировании схем к их топологическому чертежу предъявляются требования получения плоского изображения схем.

Граф G=(X, U) называется плоским, если он расположен на плоскости таким образом, что ребра имеют общие точки лишь в вершинах. Граф, изоморфный плоскому расположенный на плоскости и имеющий пересечения ребер, называется планарным.

Область плоскости, ограниченная ребрами плоского графа внутри которой нет ни вершин, ни ребер, называется гранью.

а б

Рисунок 30. Планарный граф (а) и изоморфный ему плоский граф (б)

Ребра грани образуют простой цикл. Плоский граф имеет всегда одну бесконечную грань, не ограниченную ребрами. Существует формула Эйлера, позволяющая установить связь между числом вершин и числом ребер плоского графа:

n – m + f = 2 , где f – число граней плоского графа.

Определить планарность можно с помощью различных критериев.

Пусть задан граф G=(X, U). Подразбиением ребра u_k = (x_i, x_j) называют замену его двумя ребрами u_р1 = (x_i, x_р) и u_р2 = (x_р, x_j) с введением новой вершины x_р . Два графа называют гомеоморфными, если они обладают изоморфными подразбиениями.

Теорема (Понтрягина-Куратовского). Граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов, гомеоморфных полному графу К₅ и полному двудольному графу К_3,3.

Граф планарен тогда и только тогда, когда планарны все его связные компоненты.

Распространенная методика определения планарности заключается в нахождении в графе G максимального цикла С, лучше Гамильтонова и размещение его на плоскости в виде замкнутой самопересекающейся кривой. Далее в оставшейся части определяют пересекающиеся по ребрам пути и предпринимают попытки разместить каждый из путей либо внутри С, либо полностью вне С. если таким образом размещается весь граф, следовательно, он планарен, в противном случае – не планарен.

Заметим, что если граф связный и плоский, то и двойственный ему граф G_s также будет плоским и связным.