Орграфы

Орграф G=(X, ) будем обозначать D=(X, U) и называть графом.

Матрицей смежности графа D называется матрица R(D) = ||r_ij|| _nxn, причем

1, если <xi, xj> - дуга D;

r_ij =

0, в противном случае.

	1	2	3	4	5
1	0	0	0	1	0
2	1	0	0	0	0
3	1	0	0	1	1
4	0	0	1	0	0
5	0	1	1	0	0

R(D) =

Рисунок 31. Орграф и матрица смежности

Так как r_ij r_ji, то матрица не симметрична относительно главной диагонали.

Дуга u_i = <x_i, x_j>. Считается положительно инцидентной ее конечной вершине x_j. Число дуг, положительно инцидентных вершине x_j, называется полустепенью захода и обозначается ς⁺(x_j). Число дуг, отрицательно инцидентных x_j, т.е. выходящих из x_j, называется полустепенью исхода и обозначается через ς^-(x_j).

Из матрицы R(D) (рис.31) видно, что суммы элементов по строкам равны полустепеням захода вершин D, а сумма элементов по столбцам – полустепеням исхода.

Элементы матрицы инциденций принимают значения 0, +1, -1. Элемент равен нулю, если вершина не инцидентна дуге, +1, если дуга ориентирована от вершины, +1, если дуга ориентирована к вершине.

Для графа D на рис.31 матрица инциденций имеет вид:

	U1	U2	U3	U4	U5	U6	U7	U8
x1	-1	-1	1	1	0	0	0	0
x2	0	1	0	0	0	0	0	-1
x3	1	0	0	0	-1	-1	1	0
x4	0	0	0	-1	1	0	-1	0
x5	0	0	-1	0	0	1	0	1

Маршрутом графа D считается чередующаяся последовательность вершин и дуг (х₀, u₁, x₁, u₂,…,u_n, x_n) в котором каждая дуга u_i есть кортеж u = <x_i, x_j>. Маршрут, в котором все вершины различны, называется путем. Замкнутый маршрут, у которого все вершины различны, за исключением первой и последней, называется контуром.

Если существует путь из вершины x_i в вершину x_j, то говорят, что x_j достижима из x_i. Граф D называют сильносвязным, если любые две его вершины взаимнодостижимы.

Граф G, полученный из графа D заменой каждой дуги u_i = <x_i, x_j> на соответствующее ребро u_i = (x_k, x_l), т.е. устранением стрелок, называется основанием D.

Два орграфа называются изоморфными, если можно установить изоморфизм между их основаниями при сохранении порядка стрелок на каждой дуге.

Неорграф G называется ориентируемым, если каждое его ребро можно ориентировать так, что полученный граф будет сильно связным. Такой процесс называется заданием ориентации графа G. Очевидно, что произвольный эйлеров граф может быть ориентируемым, так как достаточно пройти по любой эйлеровой цепи, ориентируя ребра в направлении движения.

Граф D называется эйлеровым, если в нем существует замкнутая цепь, содержащая каждую его дугу. Необходимым условием существования эйлерова орграфа является его сильная связность. Связный граф D = (X, U) является эйлеровым, когда x_iХ(⁺(x_i) = ^-(x_i)).

Орграф называется гамильтоновым, если в нем существует контур, содержащий каждую вершину орграфа.

Теорема. Пусть D – сильно связный граф. Если для x_iХ(⁺(x_i)  n/2 n ^-(x_i)  n/2), то D – гамильтонов граф.

Метод Мальгранжа разбиения графа D на максимально связные подграфы.

Определим прямое и обратное транзитивные замыкания. Прямым транзитивным замыканием Г⁺х_i называют подмножество вершин X’X, в которые можно попасть из вершины х_i по некоторому пути. Здесь Г⁺²х_i= Г⁺{Г⁺х_i}, Г⁺³х_i= Г⁺{Г⁺{Г⁺х_i }},… Обратным транзитивным замыканием называют подмножество вершин, из которых можно попасть в х_i по некоторому пути. Обозначается Г^-х_i.

Рисунок 32. Разложение графа на максимально связные графы

Определим обратное и прямое транзитивное замыкание для вершины х₇.

Г⁺х₇ = {x₇,x₄,x₆}, Г⁺²x₇ = Г⁺{Г⁺x₇} = Г⁺{x₇,x₄,x₆} = {x₇,x₄,x₆,x₂,x₅}, Г⁺³x₇ = Г⁺{Г⁺²x₇} = {x₇,x₆,x₄,x₅,x₁,x₂,x₃};

Г^-x₇ = {x₇, x₂}; Г^-2x₇ = {x₇,x₂,x₄}.

Г⁺x₇={x₇} Г⁺x₇ Г⁺²x₇ Г⁺³x₇={x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇}

Г^-x₇={x₇} Г^-x₇ Г^-2x₇ = {x₂, x₄, x₇}

Основная идея алгоритма заключается в следующем. Выбирается произвольная вершина x_iX графа D и для нее определяется Г⁺x_i, Г^-x_i и С(x_i) = Г⁺ x_i Г^-; далее выбирается вершина x_jC(x_i), и процесс продолжается аналогично, пока возможно.

В результате работы алгоритма получим разбиение графа (рис.32) на три части (указаны пунктиром).