- •Часть 1
- •Содержание
- •Введение
- •1. Введение в теорию множеств
- •Операции над множествами
- •Диаграммы Эйлера – Венна
- •Понятие алгебры
- •Упражнения
- •2. Отношения
- •Операции над отношениями
- •Свойства бинарных отношений
- •Задачи и упражнения
- •3. Нечеткие множества
- •Операции над нечеткими множествами.
- •Задачи и упражнения
- •Элементарные функции k-значных логик и соотношение между ними
- •Разложение функций k-значных логик в первую и вторую формы
- •Замкнутые классы и полнота в k-значных логиках
- •Задачи и упражнения
- •5. Логика высказываний
- •Тождества в алгебре высказываний
- •Булевы формулы
- •Интерпретации
- •6. Булевы функции
- •Способы задания булевой функции
- •Равносильные преобразования формул
- •Нормальные формулы Совершенные нормальные формулы
- •Разложение Шеннона Декомпозиция булевых функций
- •Представление булевой функции картами Карно (Вейча)
- •Минимизация булевых функций
- •Классы булевых функций
- •7. Комбинаторика Введение
- •8. Кодирование
- •Алфавитное кодирование
- •Кодирование с минимальной избыточностью
- •Помехоустойчивое кодирование
- •Сжатие данных
- •Шифрование
- •Криптография
- •Цифровая подпись
- •9. Графы Определение графа
- •Задание графов
- •Связность графа
- •Эйлеровы и гамильтоновы графы
- •Деревья
- •Понятие метрики графа
- •Цикломатическое число, раскраска
- •Изоморфизм графов
- •Орграфы
- •Сети Петри
- •Контрольная работа №1 (варианты заданий)
- •Контрольная работа № 2.
- •Контрольная работа №3
- •Список литературы
Операции над нечеткими множествами.
Пусть М- базовое множество, Р = [0,1 ] - множество принадлежности , А и В два нечетких подмножества. К нечетким множествам применимы те же операции, чтои к обычным множествам.
Дополнение. А и В дополняют друг друга А = В или А = В, если
( х М) ( А (х) = 1 - В (х) )
Пример.
М ={1, 2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7}. А = {(0.3/1), (0.7/3), (0.9/6)}.
Тогда Ā = {(0.7/1), (1/2), (0.3/3) (1/4), (1/5), (0.1/6), (1/7)}.
Пересечение. Пересечение А ∩ В определяют как наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в А и В.
( х М) ( А∩В (х) = min (А (х), В (х) ).
Объединение. Определим объединение А В как нечеткое множество, которое содержит как А, так и В.
( х М) ( АВ (х) = max (А (х), В (х) ).
Введенные операции дополнения, объединения, пересечения удовлетворяют законам:
Коммутативности объединения и пересечения:
АВ = ВА, АВ = ВА.
Закон ассоциативности:
А (ВС) = (АВ) С;
А (ВС) = (АВ) С.
Закон дистрибутивности пересечения относительно объединения и объединения относительно пересечения:
А (ВС) = А ВАС;
А (ВС) = (АВ) (АС).
Закон идемпотентности:
А А = А; А А = А.
Законы де Моргана:
Закон двойного дополнения:
Действия с универсальным и пустым множествами:
А = А, А = , А 1 = 1, А 1 = А.
- пустое множество. ( х А) ( (х) = 0 ).
1 – универсальное множество 1 ( х А) ( 1 (х) = 1 ).
Необходимо заметить, что соотношения А Ā = , А Ā = 1 с нечеткими множествами не выполняется. Рассмотрим пример. Пусть М = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A = {(0.3/1), (0.4/2), (0.5/3), (0.8/4), (0.9/5),(1/6)}.
Тогда Ā = {(0.7/1), (0.6/2), (0.5/3), (0.2/4), (0.1/5), (0/6)}.
А Ā = {(0.3/1), (0.4/2), (0.5/3), (0.2/4), (0.1/5), (0/6)}.
А Ā = {(0.7/1), (0.6/2), (0.5/3), (0.8/4), (0.9/5), (1/6)}.
В силу несправедливости выше приведенных соотношений не выполняются законы склеивания:
ВАВĀ В, В АВĀ В.
Так же не выполняются законы Порецкого:
АВĀ ВА , А(ВĀ) АВ.
Ряд задач информационной математики сводятся к определению «близости» нечеткого подмножества к подмножеству , выполняющему роль эталона. При решении этих задач используется понятие метрического пространства.
Метрическим пространством называется множество (M, D), состоящее из элементов множества М (точек) и определенного в нем расстояния d(mi, mj)D между любыми двумя точками mi, mj удовлетворяющего условиям:
Неотрицательности:
Симметричности:
d(mi, mj) = d(mj, mi).
Транзитивности:
d(mi, mj) + d(mj, mk) = d(mi, mk).
Расстоянием Хэминга dh(A,B) между подмножествами А, В (обыкновенные детерминированные подмножества, в этом случае А (х) принимает значения из {0,1}) называется число, равное
,
где n размерность пространства.
Относительным расстоянием Хеминга dhо(A,B) между подмножествами А и В называется число, равное n-1 dh(A,B).
Рассмотрим пример. Пусть А ={10110}, B={01101}.
Расстояние Хемминга dh(A,B) = 4. Относительное расстояние Хеминга dhо(A,B) = 5-14 = 0.8.
Обобщенное расстояние Хэминга (линейное расстояние) dл(А, В) между нечеткими подмножествами А, В определяется значением
,
где n размерность пространства.
Здесь А (х) принимает значения на интервале [ 0, 1 ].
Пример.
А={(0.2/1), (0.8/2), (1.0/3), (0.0/4), (0.7/5), (0.8/6)},
B={(0.3/1), (0.9/2), (0.8/3), (0.6/4), (1.0/5), (0.0/6)}.
dл(А, В) =|0.2-0.3| + |0.8-0.9| +|1.0-0.8| +|0.0-0.6| +|0.7-1.0|+|0.8-0.0|=2.1.
Относительное линейное расстояние d ол(А, В) определяется как
d ол(А, В) = n-1dол(A,B).
Евклидовым (квадратным) расстоянием de(А,В) между нечеткими подмножествами А и В называется число
где n – размерность пространства. Очевидно, что
Относительное евклидово расстояние deo(А, В) определяется как
в этом случае 0 ≤ deo ≤ 1 .
Рассмотрим еще два определения «расстояние»: – линейный индекс нечеткости (А'), вычисляемый через относительное линейное расстояние doл(А', А) и квадратичный индекс нечеткости Χ (А'), определяемый посредством относительного евклидова расстояния deo(А', А)
где n – размерность пространства,
2 – коэффициент, обеспечивающий соотношения
0 (А') 1, 0 Х(А') 1.