- •Часть 1
- •Содержание
- •Введение
- •1. Введение в теорию множеств
- •Операции над множествами
- •Диаграммы Эйлера – Венна
- •Понятие алгебры
- •Упражнения
- •2. Отношения
- •Операции над отношениями
- •Свойства бинарных отношений
- •Задачи и упражнения
- •3. Нечеткие множества
- •Операции над нечеткими множествами.
- •Задачи и упражнения
- •Элементарные функции k-значных логик и соотношение между ними
- •Разложение функций k-значных логик в первую и вторую формы
- •Замкнутые классы и полнота в k-значных логиках
- •Задачи и упражнения
- •5. Логика высказываний
- •Тождества в алгебре высказываний
- •Булевы формулы
- •Интерпретации
- •6. Булевы функции
- •Способы задания булевой функции
- •Равносильные преобразования формул
- •Нормальные формулы Совершенные нормальные формулы
- •Разложение Шеннона Декомпозиция булевых функций
- •Представление булевой функции картами Карно (Вейча)
- •Минимизация булевых функций
- •Классы булевых функций
- •7. Комбинаторика Введение
- •8. Кодирование
- •Алфавитное кодирование
- •Кодирование с минимальной избыточностью
- •Помехоустойчивое кодирование
- •Сжатие данных
- •Шифрование
- •Криптография
- •Цифровая подпись
- •9. Графы Определение графа
- •Задание графов
- •Связность графа
- •Эйлеровы и гамильтоновы графы
- •Деревья
- •Понятие метрики графа
- •Цикломатическое число, раскраска
- •Изоморфизм графов
- •Орграфы
- •Сети Петри
- •Контрольная работа №1 (варианты заданий)
- •Контрольная работа № 2.
- •Контрольная работа №3
- •Список литературы
Задачи и упражнения
Пример 1.
Докажите справедливость неравенства
Доказательство:
получаем 2 случая:
а) получаемое число становится менее нуля,
из определения разности по модулю k: .
б) получаемое число становится равным нулю,
.
С другой стороны: .
Таким образом, в случаях а) и б) формулы приобретают одинаковые значения, что и требовалось доказать.
Пример 2.
Для k=3 представить функцию в первой и второй формах (полученные выражения упростить)
Для представления функции в первой форме:
Для представления функции во второй форме:
I. Докажите справедливость следующих неравенств
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
, i=1, 2, …, k-1
II. При каких значениях k (k3) функции x2, x3 и x4 попарно различны?
III. Для заданного k представить функцию f в первой и второй формах (полученные выражения упростить)
f=~ x, k=4;
f=-j0(x), k=5;
f=2J1(x), k=6;
f=J2(x2+x), k=5;
f=(~x)2+x, k=4;
f=3j1(x) - j3(x), k=4;
f=x1+2x2, k=3;
f=max (x1, x2), k=3;
f= x1 x22, k=3;
f= x12 x2, k=3.
5. Логика высказываний
Логика высказываний является разделом математической логики в котором рассматриваются сложные предложения, получающиеся из предложений, принимаемых за элементарные высказывания, соединенных союзами “И”, “ИЛИ”, “ИЛИ…ИЛИ”, “ЕСЛИ…, ТО”, “ТОГДА И ТОЛЛЬКО ТОГДА, КОГДА” и присоединением к ним частицы “НЕ”.
Высказывание – это предложение, которое может оцениваться по его истинности, а не с точки зрения его содержания.
Неделимое высказывание называется элементарным.
Сложные высказывания соединяются логическими связями или связками “И”, “ИЛИ”, “ИЛИ…ИЛИ”, “ЕСЛИ…, ТО”, “ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА” и частицей “НЕ”.
Логика высказываний занимается не смыслом высказывания, а анализирует, истинно оно или ложно.
Про истинное предложение говорят, что его логическим значением является истина, а про ложное – что его логическим значением является ложь.
Примеры элементарных высказываний:
“пять – нечетное число”, “трава голубая”, “Томск – столица Сибири”.
Следующие предложения не являются высказываниями: “Уходя, гасите свет”, “сколько Вам лет?” и т.п. Такого типа выражения в логике высказываний не рассматриваются.
В естественном языке союзы и частица “НЕ” имеют не вполне отчетливое значение, а некоторые из них могут употребляться в различных смыслах. Например, союз “ИЛИ” может быть разделительным (как в фразе “выбирай, он или я”) или неразделительным (как в фразе “от шума или света я проснулся”, в которой не исключается, что "я проснулся" от общих причин).
В логике высказываний принято ставить в соответствие высказываниям буквы и называть их логическими переменными.
Рассмотрим выражение: Если в следующее воскресенье будет плохая погода и я не достану билет на концерт, то я схожу в кино или буду готовиться к зачету. Разобьем это высказывание на элементарные высказывания и обозначим их буквами:
а – в следующее воскресенье будет плохая погода;
b – я достану билет на концерт;
c – я схожу в кино;
d – буду готовиться к зачету.
Выражение примет следующий вид:
Если a и не b, то c или d
Для сокращения письма связки обозначаются соответствующими знаками: ¬, ۸, ۷, ~, , . Смысл операций (связок) устанавливается соответствующими таблицами, поскольку определить операцию – это значит определить истинность высказывания для каждого значения логических переменных.
отрицание ¬а, ā, не а; Ложь обозначим буквой Л, истину – И.
а
ā
Л
И
И
Л
конъюнкция а ۸ b , (a и b, (a & b), (a конъюнкция b) . Эту операцию называют логическим умножением.
a b |
a ۸ b |
Л Л Л И И Л И И |
Л Л Л И |
Пример: 5 > 2 и 7 четное число. Оценим истинность данного высказывания. 5 > 2 – истина; 7 четное число – ложь; в результате исходное выражение ложно.
дизъюнкция a ۷ b, (a или b). Операция логического сложения.
a b
a ۷ b
Л Л
Л И
И Л
И И
Л
И
И
И
импликация a → b (если a, то b).
a b
a → b
Л Л
Л И
И Л
И И
И
И
Л
И
Эквивалентность a ~ b, (a эквивалентно b), (a если и только если b)
a b |
a ~ b |
Л Л Л И И Л И И |
И Л Л И |
6. дизъюнкция с исключением ; (или a или b)
a b |
a b |
Л Л Л И И Л И И |
Л И И Л |
Рассмотрим предыдущий пример. В соответствии с введенными операциями он будет выглядеть:
а ۸ ¬ b → c ۷ d.
Вычислим истинность этого высказывания. Для этого необходимо построить таблицу истинности от четырех переменных, в которой будет 24 строк и вычислить значение на каждом наборе переменных.
a |
b |
c |
d |
a ۸ ¬ b → c ۷ d |
Л |
Л |
Л |
Л |
И |
Л |
Л |
Л |
И |
И |
Л |
Л |
И |
Л |
И |
Л |
Л |
И |
И |
И |
Л |
И |
Л |
Л |
И |
Л |
И |
Л |
И |
И |
Л |
И |
И |
Л |
И |
Л |
И |
И |
И |
И |
И |
Л |
Л |
Л |
Л |
И |
Л |
Л |
И |
И |
И |
Л |
И |
Л |
И |
И |
Л |
И |
И |
И |
И |
И |
Л |
Л |
И |
И |
И |
Л |
И |
И |
И |
И |
И |
Л |
И |
И |
И |
И |
И |
И |
Это высказывание ложно только в одном случае, когда высказывания а = И, b = Л, c = Л, d = Л.
Логика высказываний не дает методов вычисления истинности элементарных высказываний, но хорошо определяет истинность сложных высказываний.
Если высказывание сложное и стоит задача определить истинность высказывания, то необходимо построить формулу или систему формул. Далее необходимо определить множество правильных формул, затем выполнить действия и получить ответ.
Определим алфавит, т.е. символы, которыми можно пользоваться:
a, b, c,…, x, y, z, ۸, ۷, ¬, →, , ), (.
Будем утверждать, что a, b, c,…, x, y, z – формулы.
Если a, b – формулы, то формулами являются выражения:
(¬а), (ab), (ab), (aB), (a~b), (ab).
Других формул нет.
Примеры:
((a b) (¬(с а))), ((а (¬b)) a) – формулы.
(а¬b)- не является формулой.
Введем правила упрощенного написания формул.
Прежде всего, определим приоритетность выполнения операций. Для этого разобьем их на группы и запишем в порядке уменьшения приоритета.
¬; ; ; ; ; ~;
Если перед нами формула, то, прежде всего, выполняются операции в скобках и операция отрицания, затем – конъюнкция. Операции дизъюнкция и дизъюнкция с исключением имеют одинаковый приоритет. Если необходимо какую-либо из них выполнять первой, то надо уточнить, используя скобки. То же самое касается операций импликации и эквивалентности, которые имеют наиболее низкий приоритет.
Для упрощения написания можно опускать знак конъюнкции.
И последнее. Символ отрицания можно помещать над переменной, скобкой в виде черты.
Пример:
Рассмотрим формулы А и В. Визуально формулы могут быть различны, но может оказаться, что для каждого набора значений переменных значения ложь и истина совпадают, тогда говорят, что формулы А и В равносильны, т.е. А=В; А = И – формула истинна, если через И обозначить формулу, которая всегда истинна. А=Л – формула всегда ложна. Необходимо заметить, что под символом = понимается отношение равенства.