2.2 Операции над четкими множествами

Теперь рассмотрим некоторые операции над множествами. Прежде рассмотрим отношение вложения множеств. Вводится понятие подмножества. Если элементы множества являются в тоже время элементами множества , то говорят, что является подмножеством , что обозначается как

.

Значок употребляется в случае, если не исключена возможность совпадения множеств и . Если такая возможность исключена, то употребляется значок , а множество называется собственным подмножеством . Все множество и пустое множество называются несобственными подмножествами. Множества и будут равными, если одновременно выполняются условия

и .

Если определить отношение вложения через характеристические функции, то получим следующее неравенство

, для . (2.12)

Суммой (объединением) множеств и называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному множеству. Другими словами, элементы принадлежащие одновременно и , входят в сумму только один раз. Отсюда следует, что

где - знак суммы. Можно определить сумму любого числа множеств

.

Геометрически (диаграмма Венна) сумму двух множеств можно представить в виде заштрихованной области на рис.1.

Рис.1

С помощью характеристических функций операцию объединения можно представить следующим образом (алгебраическая форма)

, для (2.13)

В результате получим четыре класса элементов:

- элементы, не входящие ни в множество , ни в множество ;

- элементы, принадлежащие только множеству и не принадлежащие множеству ;

- элементы, принадлежащие только множеству и не принадлежащие множеству ;

- элементы, принадлежащие одновременно множествам и .

Логически операцию объединения двух множеств можно охарактеризовать словами: элемент принадлежит множеству или множеству . При этом связка или одновременно означает и связку и. Поэтому то, что элемент принадлежит множеству или/и множеству , выражается формулой

, (2.14)

где - символ логической связки или, которая называется дизъюнкцией.

С точки зрения логики, вместо одной предметной переменной удобно ввести две логичиские переменные: характеристические функции и , которые принимают только два логических значения: 1 для истинного значения и 0 для ложного.

Допустим, что элемент принадлежит классу , то значения логических переменных будут: и . Пусть теперь элемент принадлежит классу , то логические переменные примут значения: и . Существуют еще два варианта, когда элемент принадлежит либо классу , либо классу .

Переменные и в это случае определяют некоторую логическую функцию:

, (2.15)

которая, в случае дизъюнкции, записывается как . При использовании в качестве логических переменных характеристические функции и символ логической связки или имеет смысл взятия максимума, то есть значение логической функции равно максимальному значению характеристических функций для данного элемента .

Удобно построить таблицу истинности

Таблица 1. Таблица истинности

		.
0	0	0
1	0	1
0	1	1
1	1	1

Из таблицы истинности легко усмотреть, что четыре комбинации логических переменных и отвечают четырем классам

Пересечением или общей частью множеств и является множество, состоящее из элементов, которые одновременно принадлежат как множеству так и множеству . Пересечение, обозначаемое следующим образом,

схематически представлено на рис.2 заштрихованной областью.

Рис. 2

Через характеристические функции операция пересечесния запишется следующим образом (алгебраичекая форма)

, для (2.16)

С точки зрения логики, это означает, что элемент одновременно принадлежит множествам и можно представить выражением

. (2.17)

Здесь - символ логической связки и, которая называется конъюнкцией.

При использовании в качестве логических переменных характеристические функции и символ логической связки и имеет смысл взятия минимума, то есть значение логической функции равно минимальному значению характеристических функций для данного элемента .

Таблица истинности в случае конъюнкции имеет вид

Таблица 2.

Таблица истинности для конъюнкции

		.
0	0	0
1	0	0
0	1	0
1	1	1

Если в таблице истинности для конъюнкции все нули заменить единицами, а все единицы – нулями, то получим таблицу для дизъюнкции. Этот факт определяет взаимную двойственность конъюнкции и дизъюнкции. Для любой логической операции можно найти двойственную, о чем будет сказанно в дальнейшим.

Стрелка Пирса, штрих Шеффера и разность. Рассмотрим две новые операции – стрелка Пирса и штрих Шиффера на конкретном примере. Пусть задано фундаментальное множество и два подмножества и . Тогда операция – стрелка Пирса на этих множествах выглядит следующим образом

.

Отсюда следует, что в результате применения операции стрелки Пирса к двум подмножествам фундаментального множества получаем множество, которое является дополнением объединения подмножеств до фундаментального множества.

Операция штрих Шиффера выглядит следующим образом

В результате операции штриха Шиффера получаем множество, которое дополняет пересечение подмножеств до фундаментального множества.

Разностью множеств и называется множество, содержащее все элементы множества , не входящие в множество , и не содержащее никаких других элементов. Разность и обозначается

или .

Обозначение употребляется в тех случаях, когда является собственным подмножеством рис.3.

A-B

Рис. 3.

В остальных случаях употребляется рис.4.

Рис. 4.

Если является собственным подмножеством , то выполняется равенство , а в остальных случаях нет. Разность двух множеств также можно записать в виде

Через характеристические функции операция разности запишется как

, для (2.18)

Приведем таблицу истинности для разности, исходя из формулы (2.18)

Таблица 3.

Таблица истинности для разности

0	0	0
1	0	1
0	1	0
1	1	0

Введем понятие импликации как дополнение к разности, то есть

(2.19)

или через характеристические функции

. (2.20)

Таблица истинности для импликации, согласно (2.20) имеет вид

Таблица 4.

Таблица истинности для импликации

0	0	1
1	0	0
0	1	1
1	1	1

Используя операцию разности стрелку Пирса можно представить как

, (2.21)

а через характеристические функции

.

Тогда таблица истинности для стрелки Пирса будет иметь вид

Таблица 5.

Таблица истинности для стрелки Пирса

0	0	1
1	0	0
0	1	0
1	1	0

Операция разности позволяет представить штрих Шиффера как

, (2.22)

а через характеристические функции

.

Приведем табдицу истинности для штриха Шиффера

Таблица 6.

Таблица истинности для штриха Шиффера

0	0	1
1	0	1
0	1	1
1	1	0

На языке логических формул для стрелки Пирса имеет место

, , (2.23)

а для штриха Шиффера –

, . (2.24)

Иногда вводится понятие симметрической разности

,

представленной на рис.5 заштрихованной частью.

Рис. 5

Симметрическую разность можно представить и другим образом

.

Исходя из этого выражения, симметричную разность легко записать через характеристические функции в алгебраическом виде

, для . (2.25)

Операции объединения и пересечения могут быть записаны с точки зрения логики:

, для , (2.26)

, для . (2.27)

Здесь и называются операциями взятия максимума (дизъюнкция) и минимума (конъюнкция), то есть взятие наименьшего и наибольшего значений.

Рассмотрим операцию эквивалентности, дополняющую операцию симметрической разности. Эквивалентность определяется общими элементами подмножеств . Элементы, не входящие ни в , также считаются эквивалентными:

. (2.28)

Через характеристические операция эквивалентности примет вид

, для (2.29)

Таблица 7.

Таблица истинности для симметрической разности

0	0	0
1	0	1
0	1	1
1	1	0

Таблица 8.

Таблица истинности для эквивалентности

0	0	1
1	0	0
0	1	0
1	1	1

Введем еще одну операцию дополнения некоторого множества до полного (универсального множества ). Это будет множество , которое можно определить как

или , для . (2.30)

Для введенных выше операций над множествами можно сравнительно легко доказать следующие свойства:

1) закон идемпотенции

; (2.31)

2) закон коммутативности относительно пересечения и суммы

, (2.32)

3) закон ассоциативности

, (2.33)

. (2.34)

4) закон абсорбции

, (2.35)

5) закон дистрибутивности

, (2.36)

.

6) закон комплементарности

, . (2.37)

Аналогичные равенства выполняются и для логических функций, которые имеют соответствующие названия:

- противоречие,

- тавтология.

Отметим еще два важных свойства, справедливых в булевой алгебре:

1. двойное отрицание

; (2.38)

2. закон де Моргана

, . (2.39)