4 Нечеткие числа
4.1 Понятие нечеткого числа
Нечеткие
числа
– это нечеткие переменные на числовой
оси, другими словами, нечеткое число
определяется как нечеткое множество 
на множестве действительных чисел 
с функцией принадлежности 
,
где 
.
Нечеткое
число называется нормальным,
если 
и выпуклым,
если для любых
выполняется
.
Множество
- уровня нечеткого числа 
определяется как четкое множество
.
Подмножество
называется носителем нечеткого числа
,
если
.
Нечеткое
число унимодально,
если условие 
справедливо только для одной точки
действительной оси.
Выпуклое
нечеткое число называется нечетким
нулем,
если 
.
Нечеткое
число положительно,
если 
и отрицательно,
если 
.
4.2 Операции над нечеткими числами
Расширенные бинарные арифметические операции (сложение, умножение и пр.) для нечетких чисел определяются через соответствующие операции для четких чисел с использованием принципа обобщения следующим образом:
-
сложение
,
;
-
вычитание
,
;
-
умножение
,
;
-
деление
,
.
Использовать
определенные таким образом алгебраические
операции над нечеткими числами
нецелесообразно, ввиду большого объема
вычислений. Поэтому часто используют
представление нечетких чисел в 
-
форме, что соответствует описанию левой
(left)
и правой (right)
частей функции принадлежности.
Нечеткое
число в 
-
форме имеет представление
где
и 
- функции, обладают свойствами:
,
.
Функция
монотонно убывает на промежутке 
.
Здесь 
- среднее значение нечеткого числа, 
- отклонение от среднего значения слева,
- отклонение справа. Если 
=
=0,
то нечеткое число 
переходит в четкое число 
.
Таким
образом, нечеткое число в 
-
форме можно представить в виде тройки
чисел 
.
Тогда арифметические операции над
нечеткими числами можно определить
через операции над соответствующими
им тройками:
- сложение
- вычитание
- умножение
На
практике 
-
представление упрощается за счет
применения линейных функций, что приводит
к треугольным нечетким числам, которые
функцию принадлежности следующего вида
.
Кроме того, получили распространение трапециевидные формы функций принадлежности, которые имеют вид
.
Решение задач математического моделирования сложных систем с применением аппарата нечетких множеств требует выполнения большого объема операций над различного рода лингвистическими и другими нечеткими переменными. Для удобства выполнения операций, а также для ввода-вывода и хранения данных, желательно работать с функциями принадлежности стандартного типа.
К сожалению, даже при сведении нечетких чисел до понятия треугольных чисел, остаются нерешенными проблемы противоположного и обратного элементов и свойство дистрибутивности. Еще один существенный недостаток такого подхода. Размытость произведения зависит не только от размытости сомножителей, но и от того, какое место данные нечеткие числа занимают на числовой оси. Например, пусть
А=(1, 2, 3), В=(2, 3, 4), тогда АВ=(2, 6, 12)
и С=(99, 100, 101), Е=(100, 101, 102),
тогда СЕ=(9 900, 10 100, 10 302).
Из этого примера следует, что СЕ более размыто, чем АВ.
Нечеткие
множества, которые приходится применять
в большинстве задач, являются, как
правило, унимодальными и нормальными.
Одним из возможных методов аппроксимации
унимодальных нечетких множеств является
аппроксимация с помощью 
-
представлении.