3.5 Операции над нечеткими множествами

Над нечеткими множествами можно производить различные операции, при этом необходимо определить их так, чтобы в частном случае, когда множества являются четкими, эти операции переходили в обычные операции четких множеств, рассмотренных выше. Другими словами, операции над нечеткими множествами должны обобщать соответствующие операции над четкими множествами. При этом обобщение может быть реализовано различными способами, из-за чего какой-либо операции над обычными множествами может соответствовать несколько операций в теории нечетких множеств.

Если в теории четких множеств понятие характеристической функции играет второстепенную роль, то для нечетких множеств функция принадлежности становится единственно возможным средством их описания. С формальной точки зрения нет необходимости различать нечеткое множество и его функцию принадлежности. Поэтому все операции над нечеткими множествами проводятся с соответствующими функциями принадлежности.

Логические операции.

- Включение. Пусть - нечеткие множества на универсальном множестве . Говорят, что , если

. (3.5)

Включение обозначается, как . Иногда используют термин доминирование, то есть в случае, когда , говорят, что .

Помимо определенной выше операции включения, которую можно назвать четким включением, вводится операция нечеткого включения.

- Определение. Степень включения нечеткого множества в нечеткое множество определяется по формуле

(3.6)

Если , то нечеткое множество нечетко включается в нечеткое множество . Если , то нечетко не включается в . Нечеткое включение обозначается как , а не включение – как .

Пример. Пусть даны два нечетких множества

,

.

Требуется определить степень нечеткого включения множества во множество .

Решение. Согласно определению возьмем операцию конъюнкции по всем возможным парам элементов

Таким образом, множество нечетко включается в нечеткое множество .

Самостоятельно вычислить степень включения множества во множество . Ответ .

Имеет место следующее утверждение: если нечеткое множество включается в нечеткое множество , то выполняется и нечеткое включение; обратное утверждение не выполняется.

Доказательство. Пусть на универсальном множестве определены два нечетких множества , докажем, что .

Если , то

Из определения операции конъюнкции следует, результат будет минимальным из всех . Поскольку по условию

, то .

Рассмотрим второй случай, когда

.

Тогда .

Если выполняется только условие , то из этого не следует, что

.

- Равенство. Множества равны, если

. (3.7)

Равенство записывается как .

Вводится понятие нечеткого равенства.

- Определение. Степень нечеткого равенства определяется как

. (3.8)

Если , то множества нечетко равны и обозначается как .

Если , то множества нечетко не равны и обозначается как .

Если , то множества взаимно индифферентны .

Пример. Пусть на универсальном множестве определены два нечетких множества

,

Определить степень равенства. Согласно определению имеем

Отсюда следует, что множества нечетко равны .

Преобразуем степень равенства следующим образом:

(3.9)

При преобразовании использовано свойство коммутативности конъюнкции.

Из формулы (3.9) следует, что степень равенства нечетких множеств равна минимальной из степеней их взаимного включения.

Если , то есть множества нечетко равны, тогда

и

Отсюда следует метод доказательства равенства нечетких множеств, основанный на доказательстве из взаимного включения.

Утверждение, что если нечеткие множества равны, то есть выполняется условие , то эти множества являются и нечетко равными, доказать самостоятельно.

- Дополнение. Пусть нечеткие множества, заданные на универсальном множестве . дополняют друг друга, если

. (3.10)

Обозначение: или . Очевидно выполнение следующего равенства.

Обычно для определения пересечения, объединения используют следующие операции:

- Пересечение. Пересечением двух нечетких множеств называется наибольшее нечеткое, содержащееся одновременно в . Для определения пересечения используют следующие операции:

1) максиминные

. (3.11)

Пересечение соответствует союзу и, более компактно записывается как

(3.12)

где символ обозначает взятие min.

2) ограниченные

. (3.13)

- Объединение. Объединением двух нечетких множеств называют нечеткое множество , включающее как так и . Для определения объединения так же используют операции:

1) максиминные

; (3.14)

Объединение по максиминному типу соответствует союзу или и более компактно записывается как

. (3.15)

где символ обозначает операцию взятия max.

2) ограниченные

. (3.16)

- Разность. Разность определяется как максиминная операция

, (3.17)

с функцией принадлежности

. (3.18)

- Дизъюнктивная сумма

, (3.19)

с функцией принадлежности

(3.20)

Примеры. Пусть

;

;

.

Здесь:

1) , то есть содержится в или доминирует ; несравнимо ни с , ни с , другими словами, пары и -пары недоминируемых нечетких множеств.

2) .

3) ; ; .

4) == =.

5) ==

=

6) = ==

=;

= ==

=.

7) = .

Логические операции над нечеткими множествами можно изобразить геометрически. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значение , а на оси абсцисс элементы универсального множества . Графическое представление делает более наглядным простые логические операции над нечеткими множествами.

А

Х

Свойство операций объединения и пересечения.

Пусть - нечеткие множества, тогда выполняются следующие свойства:

1) коммутативность ; (3.21)

2) ассоциативность ; (3.22)

3) идемпотентность ; (3.23)

4) дистрибутивность

; (3.24)

5) , где - пустое множество, то есть

; (3.25)

6) ; (3.26)

7) ; (3.27)

8) ; (3.28)

9) теоремы де Моргана . (3.29)

В отличие от четких множеств, для нечетких в общем случае имеет место:

; . (3.30)

Следует отметить, что введенные выше операции и свойства основаны на использовании операции min и max.

Алгебраические операции над нечеткими множествами.

Алгебраическим произведением нечетких множеств называется нечеткое множество , определяемое как

. (3.31)

Алгебраическая сумма этих множеств называется множество , определяемое как

. (3.32)

Для алгебраических операций произведения и суммы выполняются следующие свойства:

1. коммутативность ; (3.33)

2. ассоциативность (3.34)

3. , , , ;

4. Теоремы де Моргана . (3.35)

Не выполняются:

1. идемпотентность ; (3.36)

2. дистрибутивность ; (3.37)

3. а также , . (3.38)

При совместном использовании логических операций и алгебраических выполняются следующие свойства:

1) ; (3.39)

2) ; (3.40)

3) ; (3.41)

4) . (3.42)

На основании алгебраического произведения определяется операция возведение в степень нечеткого множества, где - положительное число. Нечеткое множество определяется функцией принадлежности . Частным случаем возведения в степень являются:

1. операция концентрирования (уплотнения) - ;

2. операция растяжения - ,

которые используются при работе с лингвистическими неопределенностями.

Умножение на число. Если - положительное число, такое, что , то нечеткое множество имеет функцию принадлежности

.

Выпуклая комбинация нечетких множеств. Пусть - нечеткие множества универсального множества , а - неотрицательные числа, сумма которых равна 1. тогда выпуклой комбинацией называется нечеткое множество с функцией принадлежности

. (3.43)

Декартово (прямое) произведение нечетких множеств. Пусть - нечеткие множества соответствующих универсальных множеств . Декартово (прямое) произведение является нечеткое подмножество множества c функцией принадлежности

(3.44)

Оператор увеличения нечеткости используется для преобразования четких множеств в нечеткие и для увеличения нечеткости нечеткого множества.

Пусть - нечеткое множество, - универсальное множество и для всех определены нечеткие множества . Совокупность всех называется ядром увеличения нечеткости . Результатом действия оператора на нечеткое множество будет нечеткое множество следующего вида

, (3.45)

где - произведение числа на нечеткое множество.

Пример.

; ; ; ; ; .

Тогда