5.4 Равносильные формулы логики предикатов

Рассматривая формулы логики предикатов над полем можно говорить о формулах, равносильных над данным полем, то есть о таких формулах, которые принимают одно и то же значение при замене свободных предметных переменных предметами и всех переменных предикатов – определенными.

Пример. Рассмотрим формулы и над полями и .

Пусть и даны над полем . Значениями переменного предиката могут быть два определенных предиката и (см. табл.)

Предикаты над полем

x
	0	1

Равносильность над полем

	0	0
	1	1

Пусть теперь формулы и даны над полем . В качестве значений переменного предиката нужно взять определенные предикаты над полем . Таких предикатов существует четыре (см. табл.). Составив истинностную таблицу формул и , легко убедиться в них неравносильности над полем .

Предикаты над .

	0	0	1	1
	0	1	0	1

Неравносильность над .

	0	0
	0	1
	0	1
	1	1

Формулы предикатов называются равносильными, если они равносильны над любым полем. Приведем примеры равносильных формул:

1) И ;

2) И ;

3) И ;

4) И .

Докажем равносильность первой пары формул. Пусть - произвольное поле, а - некоторый определенный предикат над этим полем. Подставим вместо переменного предиката определенный предикат . Пусть высказывание истинное, тогда высказывание ложное. Следовательно, существует предмет из поля , что ложно, тогда - истинно. Значит, высказывание истинно. Аналогичными рассуждениями получим, что из предположения ложности высказывания следует ложность высказывания .

Среди всех формул логики предикатов можно выделить формулы, истинные над любым полем, их называют тождественными. Например, формула является тождественно-истинной.

В общем случае выяснить вопрос, является ли данная формула тождественно-истинной, сложно, так как приходится использовать понятие бесконечности.

5.5 Нечеткая логика

Так же как в основе теории четких множеств лежит четкая логика, в случае нечетких множеств существует нечеткая логика – основа для операций, рассмотренных выше. В случае двузначной четкой логики существуют полные системы, образованные операциями НЕ-И-ИЛИ, НЕ-И и НЕ-ИЛИ. С их помощью можно записать все другие логические операции. В случае нечеткой логики можно создать неограниченное число операций, поэтому нет смысла говорить о записи всех операций с помощью некоторого числа базовых операций, поэтому рассмотрим только наиболее важные из них.

Нечеткие высказывания и операции над ними

Нечеткая истинность. Особое место в нечеткой логике занимает лингвистическая переменная «истинность» относительно некоторого нечеткого высказывания.

Определение. Нечетким высказыванием называют предложение, относительно которого можно судить о степени его истинности или ложности , принимающей значение из интервала [0,1]

В классической логике истинность может принимать только два значения: истинно и ложно. В нечеткой логике истинность размыта. Нечеткая истинность определяется аксиоматически, причем разными авторами по-разному. Интервал [0,1] используется как универсальное множество для задания лингвистической переменной «истинность». Четкая истинность может быть представлена функцией принадлежности следующего вида

, ,

где .

Обозначим нечеткие логические переменные через и , а функции принадлежности, задающие истинностные значения этих переменных - через и , . Нечеткие логические операции: конъюнкция «И» - (); дизъюнкция «ИЛИ» - ; отрицание «НЕ» - (); импликация () выполняются по следующим правилам.

1. конъюнкция двух нечетких высказываний и обозначается как и имеет степень истинности ;

2. дизъюнкция двух нечетких высказываний и обозначается как и имеет степень истинности ;

3. отрицание нечеткого высказывания - есть высказывание степенью истинности ;

4. импликация двух нечетких высказываний есть нечеткое высказывание со степенью истинности ;

Истинность импликации не меньше чем степень ложности ее посылки или степени истинности ее следствия.

Пример. Пусть нечеткое высказывание имеет степень истинности , а нечеткое высказывание имеет степень истинности . Импликация этих высказываний будет иметь степень истинности

5. Эквивалентность двух нечетких высказываний и есть нечеткое высказывание , степень истинности, которого определяется, как

Из определения эквивалентности следует, что истинность эквивалентности совпадает с менее истинной из импликаций и .

Определение. Два нечетких высказывания и называются нечетко близкими, если степень истинности их эквивалентности больше или равна 0.5. В последнем случае высказывания и называют взаимно нечетко индифферентными.

Порядок выполнения операций над высказываниями таков: скобки, отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквивалентность.

Пример. Вычислить степень истинности составного нечеткого высказывания

, если , и