2.1. Четкие множества

Успехи современной математики в значительной мере принадлежит усилиям Аристотеля и философов, которые ему предшествовали. Их усилиями была создана четкая теория логики и позднее математики создали так называемые «Законы Мысли». Один из них – «Закон Исключения Середины», установил, что каждое суждение должно быть Истинно или Ложно, А или НЕ-А, это или не это. Каждое утверждение или предположение истинно или ложно или имеет значение 1 или 0. Следовательно, логику компьютера, который имеет дело с 1 и 0, называют четкой логикой, а обычные множества четкими множествами.

Введем основные термины и обозначения. Прописными буквами (например, X) будем обозначать совокупность объектов, с которыми будем иметь дело, а строчными буквами обозначим (например, x) – отдельные структурные элементы. Введем обозначение

(2.1)

Фигурные скобки означают совокупность объектов. Совокупность объектов (здесь ) называется предметной областью или универсальное (вспомогательное) множество. Отдельные структурные элементы назовем просто элементами или объектами. Тот факт, что элемент x принадлежит универсальному множеству , обозначается следующим образом

(2.2)

Пусть универсальное множество, - некоторое свойство. Тогда четкое подмножество множества , элементы которого удовлетворяют свойству , будем обозначать прописными буквами . Например, универсальное множество состоит из десяти цифр

, (2.3)

- свойство быть четным. Тогда множество - четные цифры будет

. (2.4)

Число структурных элементов определяет мощность множества и называется кардинальным числом. Для него вводится обозначение , тогда в приведенных выше примерах

, (2.5)

Множества с конечным кардинальным числом называются конечными и их можно записать как в формулах (2.3) и (2.4), то есть перечислить все его элементы. Если множество состоит из одного элемента, то есть , то такое множество называется синглетоном.

В случае бесконечных множеств, например, множество натуральных или вещественных чисел, этого сделать нельзя. В этом случае используется способ записи, при котором справа от вертикальной черты записываю свойство, которому удовлетворяют элементы множества. Например, формулу (2.4) можно записать в виде

. (2.6)

В общем случае можно записать

.

Кроме того, для обозначения множества в виде рисунка часто используют диаграммы Венна. Они будут приведены ниже, когда речь пойдет об алгебраических операциях с множествами.

Помимо приведенных способов задания четкого множества, существует способ их определения с помощью характеристической функции. Характеристическая функция , определяющая множество в универсальном множестве, представляет собой отображение, для которого множество есть область определения, а {0,1} (двузначное множество из элементов 0 и 1) есть область значений:

(2.7)

При этом , если элемент универсального множества , удовлетворяет свойству множества и , если не удовлетворяет. В универсальном множестве можно рассматривать различные множества, отвечающие различным свойствам . Объединение всевозможных множеств, которые можно организовать из элементов и пустого множества называется степенным множеством и обозначается как . Например, пусть

(2.8)

Тогда степенное множество есть

. (2.9)

Вводится понятие пустого множества, которое не содержит ни одного элемента и обозначается . Не следует путать пустое множество и нулевой элемент. Множество, состоящее из одного нулевого элемента, не является пустым. Характеристическая функция пустого множества есть

, для . (2.10)

Здесь называется квантором всеобщности, его можно читать словом «всех». Кроме того есть квантор существования в смысле «существует …».

В отличии от пустого множества характеристическая функция универсального множества имеет вид

, для . (2.11)