5.6 Нечеткие логические формулы и их свойства

Определение. Нечеткая высказывательная переменная - это нечеткое высказывание, степень истинности которого может принимать значения из интервала [0,1].

Определение. Нечеткой логической формулой называется:

а) любая нечеткая высказывательная переменная или константа из [0,1];

б) выражение , полученное из нечетких логических формул и применением к ним любого конечного числа логических операций.

В частности, составные нечеткие высказывания также являются логическими формулами, если образующие их нечеткие высказывания рассматривать как нечеткие высказывательные переменные.

Определение. Степень равносильности формул и обозначается, как и определяется следующим образом

=).

Если степень равносильности нечетких логических формул и на всех определенных наборах степеней истинности высказывательных переменных больше или равно 0.5, то такие формулы называются нечетко близкими на этих наборах и обозначаются как . Если , то формулы не являются нечетко близкими.

Отметим, что при формулы одновременно являются и не являются нечетко близкими и их называют индифферентными. Равносильность четких логических формул является частным случаем нечеткой близости.

Пример. Определить степень равносильности формул:

и ,

где принимает степени истинности из набора дискретных значений {0.8,0.6,0.7}, а - из {0.3,0.4}.

Выбирая все возможные наборы степеней истинности и , получим

Отсюда следует, что формулы нечетко близки.

Проверить самостоятельно будут ли эти формулы нечетко близкими, если принимает степени истинности из набора дискретных значений {0.2,0.4}, а - из {0.6,0.7,0.8}.

Определение. Если при всех определенных значениях степеней истинности нечетких переменных значение степени истинности логической формулы больше или равно 0.5, то формула является нечетко истинной на данном наборе переменных и обозначается через . Если значение степени истинности меньше или равно 0.5, то логическая формула называется нечетко ложной и обозначается .

Пусть нечетко истинные и нечетко ложные формулы на одних и тех же наборах переменных, тогда справедливы следующие соотношения:

,

,

,

.

Если произвольные ложные формулы, то справедливы соотношения:

,

,

где определены на одних и тех же наборах переменных.

Пример. Простейшие примеры нечетко истинных и нечетко ложных формул

и

Это следует из определения операций отрицания, конъюнкции и дизъюнкции.

Если одна нечеткая логическая формула имеет представление , а другая - , где нечеткие формулы от переменных , то можно утверждать, что такие формулы нечетко близкие .

Доказательство:

продолжить доказательство.

Запишем соотношения, справедливые для любых наборов значений истинности нечетких переменных. Пусть - нечеткие логические формулы, тогда имеет место

1. ,

2. ,

3. , ,

4. ,

,

5. ,

,

6. ,

,

7. , ,

8. ,

9. ,

10. ,

11. ,

12. , ,

13. ,

14. ,

15. ,

16. .

Пусть - константы и , тогда имеют место следующие соотношения:

, .

, .

,

.

Для доказательства каждого из приведенных выражений необходимо показать, что степень равносильности формул больше или равно 0.5. Это возможно тогда, когда формулы принимают одни и те же значения степени истинности на одинаковых наборах переменных, либо имеют степень истинности одновременно меньшую или равную 0.5 или большую или равную 0.5.

В качестве примера докажем формулу (6) . Для доказательства обозначим и . Тогда

, .

Пусть на всех наборах одновременно выполняется , тогда , а .

Степень истинности определится как

Показать истинность этой формулы при .

В четкой логике логические операции могут быть заданы таблицами истинности. В нечеткой логике количество возможных значений истинности может быть бесконечным, поэтому представление в табличном виде логических операций невозможно. Однако в табличном виде можно представить нечеткие логические операции для ограниченного количества истинностных значений, например, для терм-множества {«истинно», «очень истинно», «не истинно», «более-менее ложно», «ложно»}. Для трехзначной логике с нечеткими значениями истинности: - «истинно», - «ложно», - «неизвестно» Л. Заде предложил такие лингвистические таблицы истинности, которые легко получить, исходя из выше приведенных формул.

Таблица 17

Применяя правила выполнения нечетких логических операций, определенных выше, можно расширить таблицу истинности для большого числа термов. Как это сделать рассмотрим на следующем примере.

Пример. Заданы следующие нечеткие истинностные значения:

Истинно = 0/0+0/0.2+0.25/0.4+0.5/0.6+0.9/0.8+1/1;

Более – менее истинно

= 0/0+0/0.2+0.5/0.4+0.7/0.6+0.95/0.8+1/1;

Почти истинно

= 0/0+0.05/0.2+0.4/0.4+0.7/0.6+1/0.8+0.8/1.

Применяя правила выполнения нечетких логических операций, найдем значение выражения «почти истинно ИЛИ истинно»:

Почти истинно истинно

= 0/0+0.05/0.2+0.4/0.4+1/0.8+1/1.

Из сравнения полученного нечеткого множества с нечетким множеством «более – менее истинно», видно, что они почти равны. Значит

Почти истинно истинно более – менее истин.

В результате выполнения логических операций часто получаются нечеткие множества, которые не эквивалентны ни одному из ранее введенных нечетких значений истинности. В этом случае необходимо среди нечетких значений истинности найти такое, которое соответствует результату выполнения логической операции в максимальной степени. Другими словами, необходимо провести так называемую лингвистическую аппроксимацию, которая может рассматриваться как аналог аппроксимации эмпирического статистического распределения стандартными функциями распределения случайных величин. В качестве примера рассмотрим предложенные Балдвином лингвистические таблицы истинности для нечетких значений истинности

Таблица 18

ложно		ложно
истинно		ложно
истинно		истинно
неопределенно		ложно
неопределенно		истинно
неопределенно		неопределенно
истинно		очень истинно
истинно		более-менее истинно
	ложно		ложно
	ложно		истинно
	истинно		истинно
	ложно		неопределенно
	неопределенно		истинно
	неопределенно		неопределенно
	истинно		очень истинно
	более-менее истинно		истинно

Вначале рассмотрим расширения НЕ, И, ИЛИ до нечетких операций. Эти расширения называются соответственно нечетким отрицанием называются -нормой и - нормой. В нечетком мире число состояний неограниченно велико, поэтому невозможно описать эти операции с помощью таблицы истинности, как в случае двузначной логики. Поясним эти операции, используя функции и несколько аксиом.