5.2 Булевы функции

Функция , принимающая два значения: 0 или 1 и зависящая от переменных, каждая из которых может принимать значения 0 или 1, называется булевой или переключательной. Из самого определения булевой функции следует, что область определения является совокупность всевозможных - мерных наборов из нулей и единиц, а для ее задания достаточно указать, какие значения функции соответствуют каждому из наборов (см. табл.).

Таблица 14

		…
0 0 0 … 1 1	0 0 0 … 1 1	… … … … .... …	0 0 1 … 1 1	0 1 1 … 0 1	……………..

Порядок расположения наборов, принятый в таблице, называется стандартным или естественным. При таком порядке каждому набору , где есть 0 или 1, ставится в соответствие число

.

Наборам (0,0,…,0,0), (0,0,…,0,1),…,(1,1,…,1,1) в этом случае будут соответствовать числа 0, 1,…,. Естественным порядком будет расположение наборов в порядке возрастания соответствующих им чисел. Десятичное число, соответствующее входному набору, является его номером. Поэтому очевидно, что количество входных наборов для булевой функции переменных равно . Количество же различных функций переменных можно определить из следующих соображений. Каждая функция задается набором своих значений (для входных наборов), которому также можно поставить в соответствие разрядное двоичное число. Располагая теперь в таблице функции в порядке возрастания соответствующих им чисел, получим все возможные различные функции. Количество таких функций будет равно. Количество таких функций будет равно .

Рассмотрим другие способы задания булевых функций. Но сначала рассмотрим функции одной и двух переменных, которые часто употребляются в математической логике и кибернетике, их можно считать элементарными функциями (см. табл.).

Таблица 15

Булевы функции одной переменной

0 1	0 0	0 1	1 0	1 1

Из этой таблицы следует, что функции одной переменной и являются константами, функция =, а функция = (отрицание ).

Таблица 16

Таблица булевых функций двух переменных

0 0 1 1	0 1 0 1	0 0 0 0	0 0 0 1	0 0 1 0	0 0 1 1	0 1 0 0	0 1 0 1	0 1 1 0	0 1 1 1

0 0 1 1	0 1 0 1	1 0 0 0	1 0 0 1	1 0 1 0	1 0 1 1	1 1 0 0	1 1 0 1	1 1 1 0	1 1 1 1

Следует отметить, что к функциям двух переменных относятся и такие, которые в действительности зависят от одной переменной или не зависят ни от одной. Так функции: - константы 0 и 1 и не зависят существенно ни от одной переменной.

, , , завися существенно только от одной переменной.

- конъюнкция или логическое умножение (знак можно опустить или заменить на обычный знак умножения).

- дизъюнкция или логическое сложение.

- эквивалентность, .

или - сложение по модулю два.

- импликация, и .

- штрих Шеффера, .

- стрелка Пирса, (другое название – функция Вебба).

- функции запрета , соответственно. , .

Исходя из элементарных функций можно строить формулы, то есть рассматривать функции от функций.