Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

teorpolя

.pdf
Скачиваний:
3
Добавлен:
11.05.2015
Размер:
327.6 Кб
Скачать

- !" #$ % "& ' ($ " #' # #) % * " (+ # #, '(+ + %-% #$

. . /

.

* / /

0 1 2

0 .

/- 2010

3

518(07.07)

. ., . ., . .

. .

! " # $% &

# ' ( . – )(.: )(* ), 2010. – 32 .

! " ! !

& , + . ) !

( " # ! # %$#, "

% & ( .

,$!

# # , '. . . %.

, !- $ -! % .

-) ( . & . &

! #

+ # # . &, 2010

4

1. !

) " # ! ! ( % %

' ! . . ! & %

(/. , ! + &

( % " " & . !

# ! #. # ! - ' !

. (+ ' ! ( &

- # ' ! & , !-+ & ( %

, & # $ .

) ' ! & ! % $ ! , +%- #

. 0 ! . –

.

 

- , !

 

&

.

)

# &:

 

 

&

 

! &

&

', .$.

1 . $ . .

 

 

 

 

 

-

.

.

(.$ , 1 .), &

" . !, . $ $ # . . . !

: 1 & . & $&.

0 ! & & # # +

,

!- - ( % .

 

2 % -

' ! #

& – ' $

.

0 $ - . &,

( ., "

''$ & - (

, !

-

% # , & # &. -%

" !- ( . .

5

0 $ ! &. 3

$ , , -, ! .

1 ( #, ! & ' ! # ( . , ( ! ! ' $ ( ! ! # . .

3 . -

# , . ! -.

# ! $ , "

" " % # " & –

% . + % . . ., (+,

" . . . $ . $ ( !

" . . , , & #

& " % "

# ! .$& & & " #

$ (# %- & ), 1 .$

& &. + % " !

. & " & $ , &, ( " ,

! & . ) .$

! . ,

, " ., ( . , $ $

! ! # %.

!% + ' * – 3 . .

.

 

 

. %! - &

# . 2-. .

) . &

(-&

" # $% & # ! & .

1 ! ! ! « ».

6

2.1." !

# #, . ' ! & $ , # + &

, # ! & & ( ,

 

. .), ! .

 

& ' $& U=f(P),

P V , .

P – , V - ( % . .

 

# ' $ U=f(x,y,z);

x, y, z

P. 4 ! τ, U=f(τ,x,y,z) ), ! + , ! ,

- $ .

3( ., ' $

!.

 

*

 

U ( x, y, z) = C ,

(2.1.1)

. C=const, ! . , . U=f(x,y), # & - .

 

U

,

U

,

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

y

 

z

 

 

#

!

. .

* ( ! < grad>. ( !,

 

 

 

U r

U r

U r

 

 

grad U=

 

 

i +

 

 

 

j +

 

 

k.

 

(2.1.2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y

z

 

. (1.2), $ . .

( %) "- ' :

grad U =

U

,

grad U =

U

 

,

grad

 

U =

U

;

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

 

 

 

 

y

 

y

 

 

 

 

z

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

2

U

2

 

 

U

2

 

 

 

 

 

 

=

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

grad U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

y

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.1.3)

(2.1.4)

7

+ ., % , ,

& %-, ! + ( & &

. ) 1 . .

, & ! ! & ( & .

' $ & - 1 . !,

! & ! - ( "). 3 -+ & .:

grad(U1 + U2 ) = gradU1 + gradU2 , grad(U1 U2 ) = U 2 gradU1 + U1 gradU 2 , grad(ϕ(U )) = ϕ′(U )gradU.

' . !, ' $ !

# #, " . %

. %, ''$ , # (, & !

''$ %

-+ & & . , $#

# (ρ,φ,z)

 

 

 

U

r

 

 

1

 

 

U

r

 

U

r

 

 

gradU =

 

 

eρ

+

 

 

 

 

eϕ

+

 

 

 

ez

,

 

 

∂ρ

 

ρ

∂ϕ

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

' # # (r,θ,φ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

r

 

1

 

U

r

 

 

1

 

 

 

U

r

 

gradU =

 

 

er

+

 

 

 

 

 

 

 

eθ

+

 

 

 

 

 

 

eϕ

,

r

 

r

 

∂θ

 

 

 

 

∂ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

r sin θ

 

 

. % & ( ! " %

 

 

 

,

 

 

 

 

 

-+ & .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) ! &

' $

 

 

U=f(x,y,z)

 

-

 

 

 

r

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

= cos α i

+ cos β

j + cos γ k

 

!

 

 

+ ' $ +-

l , .

+ -:

 

 

 

 

 

 

 

 

U

= lim

 

U

=

U

 

x

+

U

 

y

+

U

 

z

=

U

cosα +

U

cosβ +

U

cos γ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

l →0

l x l y l

 

z l x

 

y

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3- , ! - $

. ! :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= gradU l .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

(2.1.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

) 1

. . 4 l

-+ & :

U

l

! ! &

, '

 

 

 

r

 

=

grad

 

rU l

.

 

 

 

(2.1.6)

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ . .

2.2. " #

$

1

! ' $& U(x,y,z)=z/(x2+y2+z2)1/2. &

# & . ! 1 # # & #

! A(2;0;-2/ 3 )?

,. ) ' (2.1.1), # & :

z

x 2 + y 2 + z 2

= C.

4 # % # ! A,

C =

 

 

 

− 2 / 3

 

 

 

 

= −

1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

+ 0

2

+ (−2 /

3)

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

2

+ y

2

= 3z

2

 

z

 

= −

1

x

 

 

 

 

 

 

 

 

z < 0

.

 

 

 

 

x 2 + y 2 + z 2

2

 

 

 

 

 

# % . . . , , ! #

&.

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

! ' $& U(x,y,z)=xyz. &

. 1 &

' $ M0(x0;y0;z0). . %?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,.

 

 

) ' (2.1.2), (2.1.4),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

r

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gradU

 

= y

0

z

i + z

0

x

0

j + x

0

y

0

k ,

gradU

 

 

=

 

( y

0

z

0

) 2 + ( z

0

x

0

) 2

+ ( x

0

y

0

) 2 .

 

M 0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

%

! - ' $

 

 

 

U=(x2+y2+z2)1/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M(2;-1;-2), l = 4i − 2 j − 4k .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,.

 

3(+ " . & ' $ :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

r

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gradU = −

x

i + y

j + z

k

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 + y 2 + z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 . M(2;-1;-2):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

r

 

 

 

r

 

 

 

 

 

r

 

r

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gradU

 

M = −

2 i + (−1) j + (−2)

k

=

2i j − 2k

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22 + (−1)2 + (−2)2

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- ! - M - l #

' (2.1.6):

U

 

M

=

1

 

2 4 +

(−1) (−2) + (−2)

(−4)

= 1.

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

42 + (−2) 2 + (−4) 2

10

2.3.% ! " ! & ' (

2.3.1.% & u=4-x2-y2.

2.3.2.% # &

u=ln(x2+y2 +z2).

2.3.3.% # &

u=ln(x2+y2 -4z-4).

2.3.4.% . " , -+ ! grad u

x

u = arcsin x + y ,

# M(1;1) N(3;4).

2.3.5.u=x2y+y2x v=x-6y+5xy. & . " gradu gradv M(2;-1;0).

2.3.6.& . , # %

. u=( x2+y2)3/2 2.

2.3.7.% , # .

 

1

 

 

 

 

u = ln x +

 

 

 

y

r

16 r

i

 

j.

9

 

 

2.3.8.& ! - ' $ u=arctg(x+y) M(2;-1)

- ( . . ..

2.3.9.% ! - ' $ u=xyz+ (2 − 1) x

M(1;1;1)

-

a ,

-+ .

Ox, Oy Oz

 

 

., π/4, 2π/3 π/3.

2.3.10. & % . u=xy2z M(1;1;-2).

2.3.11. & ! ' $& - l M0 .

 

z = x3 y − 5xy2 + 8,

 

 

 

r

r

 

 

 

2.3.11.1.

 

 

 

l = i + j ,

 

M0 (1;1).

 

 

x

2

 

+ y

2

 

r

r

r

 

 

 

2.3.11.2.

z = ln

 

 

 

,

l

= 6i + 8 j ,

 

M 0 (1;2).

 

 

xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

r

r

r

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3.11.3.

z = arccos

 

 

 

 

 

 

,

l = 2i

+ j + 2k ,

M 0 (1;1;1).

 

 

 

 

 

 

x 2 + y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

2.3.12. % gradz

 

gradz

 

, z =

 

xy

 

,

M0 (0;3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

+ y 2

 

 

 

 

 

 

+ 1

 

 

 

 

 

2.3.13. % ! - ' $ u=ln(x2+y2+z2)

r

M0(1;2;1) - M0 M , . M(3;6;5).

2.3.14. ) % # %

 

u =

x 2

+

y 2

+

z 2

,

a 2

b 2

c 2

 

 

 

 

 

 

 

% gradu M0(a;b;c).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3.15. % gradz

gradz

M0 .

 

 

 

 

 

 

 

xy

2.3.15.1. z = x 2 + y 2 + 1 ,

2.3.15.2. z = ( x y) 2 ,

2.3.15.3. u = x 2 + y 2 z 2 , 2.3.15.4. u = 4 − x 2 y 2 z 2 ,

2.3.15.5. u = x 2 + y 2 + z 2 ,

2.3.15.6. u =

x 2

y 2

+

z 2

,

a 2

b 2

c 2

 

 

 

 

M0(0;3).

M0(1;1). M0(2;0;3). M0(3;2;1). M0(3;-1;2).

M0(a;b;c).

2.3.16.

%

gradz

M0(4;2), z 2 = xy.

2.3.17.

% ! - ' $ u = ln(e x + e y ) M0(0;0)

- ( % . . ..

3.1." !

#, ' $ ,

%! - ' $ % # #.

' $ ! % . ) #

&: (.$ ) 2 . # #

(/, & " . ! # #, 1 1 . . ' $ ! %(+ ! # #: #

# x, y, z τ, $#

& - % x, y, z.

12

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]