Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

teorpol

.pdf
Скачиваний:
6
Добавлен:
11.05.2015
Размер:
2.4 Mб
Скачать

Министерство образования Российской Федерации

Томский государственный университет систем управления

и радиоэлектроники

РЕФЕРАТ

Элементы теории поля

Выполнил:

Проверила:

Студент гр. № 354

Доцент кафедры ВМ

Пугачёв П.Е.

Ганзя Л.В.

Томск 2015г.

1.

1.1. " !

# #, . ' ! & $ , # + &

, # ! & & ( ,

 

. .), ! .

P V , .

& ' $& U=f(P),

P – , V - ( % . .

 

# ' $ U=f(x,y,z);

x, y, z

P. 4 ! τ, U=f(τ,x,y,z) ), ! + , ! ,

- $ .

3( ., ' $

!.

 

*

 

U ( x, y, z) =C ,

(1.1.1)

. C=const, ! . , . U=f(x,y), # & - .

 

U

,

U

,

 

U

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

x

 

 

y

 

 

 

#

!

. .

* ( ! < grad>. ( !,

 

 

 

U

r

U

r

U

r

 

 

grad U=

 

i +

j +

k.

 

(1.1.2)

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y

z

 

 

. (1.2), $ . .

( %) "- ' :

grad xU =

U

,

grad yU =

U

,

grad zU =

U

;

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

U

 

2

 

U

2

 

U

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

grad U

=

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

y

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.1.3)

(1.1.4)

+ ., % , ,

& %-, ! + ( & &

. ) 1 . .

, & ! ! & ( & .

' $ & - 1 . !,

! & ! - ( "). 3 -+ & .:

grad(U1 +U2 ) = gradU1 +gradU2 , grad(U1 U2 ) =U 2 gradU1 +U1 gradU 2 , grad(ϕ(U )) = ϕ′(U )gradU.

' . !, ' $ !

# #, " . %

. %, ''$ , # (, & !

''$ %

-+ & & . , $#

# (ρ,φ,z)

 

U

r

 

1

 

U

r

 

U

r

 

gradU =

 

eρ

+

 

 

 

eϕ

+

 

ez

,

∂ρ

ρ

∂ϕ

z

 

 

 

 

 

 

 

 

' # # (r,θ,φ)

 

U

r

 

1

 

U

r

 

1

 

U

r

 

gradU =

 

er

+

 

 

 

eθ

+

 

 

 

eϕ

,

r

r

∂θ

r sin θ

∂ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. % & ( ! " %

 

 

 

,

 

 

 

 

 

-+ & .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) ! &

' $

 

 

U=f(x,y,z)

 

-

 

 

 

r

+ cos β

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

= cos α i

j + cos γ k

 

!

 

 

+ ' $ +-

l , .

+ -:

 

 

 

 

 

 

 

 

U

= lim

 

U

=

U

 

x

+

U

 

y

+

U

 

z

=

U

cosα +

U

cosβ +

U

cos γ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

l →0

l x l y l

 

z l x

 

y

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3- , ! - $

. ! :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= gradU l .

 

 

 

 

 

(1.1.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) 1

. . 4 l

-+ & :

U

l

! ! &

, '

r

 

= gradrU l .

(1.1.6)

l

+ . .

1.2. " #

$

1

! ' $& U(x,y,z)=z/(x2+y2+z2)1/2. &

# & . ! 1 # # & #

! A(2;0;-2/ 3 )?

,. ) ' (2.1.1), # & :

z

x 2 + y 2 + z 2

= C.

4 # % # ! A,

C =

 

 

 

− 2 / 3

 

 

 

 

= −

1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

+ 0

2

+ (−2 /

3)

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

2

+ y

2

= 3z

2

 

z

 

= −

1

x

 

 

.

 

 

 

 

 

z < 0

 

x 2 + y 2 + z 2

 

 

2

 

 

 

# % . . . , , ! #

&.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

! ' $& U(x,y,z)=xyz. &

. 1 &

' $ M0(x0;y0;z0). . %?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,.

 

 

) ' (2.1.2), (2.1.4),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

r

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gradU

 

= y

0

z

i + z

0

x

0

j + x

0

y

0

k ,

gradU

 

 

=

 

( y

0

z

0

) 2 + ( z

0

x

0

) 2

+ ( x

0

y

0

) 2 .

 

M 0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

%

! - ' $

 

 

 

U=(x2+y2+z2)1/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M(2;-1;-2), l = 4i − 2 j − 4k .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,.

 

3(+ " . & ' $ :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

r

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gradU = −

x

i + y

j + z

k

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 + y 2 + z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 . M(2;-1;-2):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

r

 

 

 

r

 

 

 

 

 

r

 

r

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gradU

 

M = −

2 i + (−1) j + (−2)

k

=

2i j − 2k

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22 + (−1)2 + (−2)2

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- ! - M - l #

' (2.1.6):

U

 

M

=

1

 

2 4 +

(−1) (−2) + (−2)

(−4)

= 1.

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

42 + (−2) 2 + (−4) 2

2.

2.1. " !

#, ' $ ,

%! - ' $ % # #.

' $ ! % . ) #

&: (.$ ) 2 . # #

(/, & " . ! # #, 1 1 . . ' $ ! %(+ ! # #: #

# x, y, z τ, $#

& - % x, y, z.

*, ( D ! A(P) ,

" & P ( D & A(P) .

& :

r

 

r

r

 

 

 

A(P) = Ax

(τ, x.y, z)

i

+ Ay

(τ, x.y, z) j + Az

(τ, x.y, z)k

,

(2.1.1)

 

 

 

 

 

 

.

Ax , Ay , Az - $ ,

rr

i , j , k - & .

" & # & $. .

& # &, " & # %

. $. 1 &

! .

& # & &

''$% # &, - " ! % -+

& :

dx

=

dy

=

dz

.

(2.1.2)

 

 

 

Ax Ay Az

 

! ' ! & -

!. . – 1

", – .

" & # .

- : 1) . - ( +

% & L; 2) . (+ - .

! # % S, " + - ( D,

$ $ ! L D.

- +%- & # # # .

. .

, ( $. . :

 

 

Ax (x, y, z)dx + Ay (x, y, z)dy + Az (x, y, z)dz

.

 

 

(2.1.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) $. ! # % S :

 

 

 

∫∫( Ax (x, y, z) cosα + Ay (x, y, z) cosβ + Az (x, y, z) cosγ)dσ

(2.1.4)

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

r

r

 

 

 

 

 

 

 

.

n

= cos α i + cos β j + cos γ k

- &

 

! & # S

dσ - 1 # S.

 

& & .

.

 

!

!

,

# &

.

&

. (

#

#

( -+ ).

 

 

 

 

 

 

 

# ( ! # ' (2.1.3) (2.1.4) - :

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

r

 

 

 

 

 

 

 

A dl ,

 

 

 

 

 

 

 

 

∫∫ A dσ = ∫∫

A ndσ

 

(2.1.5) – (2.1.6)

 

 

 

L

 

 

 

 

S

S

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, ' $

Ax (x, y, z) ,

Ay ( x, y, z) ,

 

Az (x, y, z)

 

 

-

! ( x, y, z) D , ! - # ,

& # &, . .- (

.

. & & . (2.1.5)

!

L

r

 

 

! A

L ( ! :

A dl

(2.1.7)

.

L

" 1 ( ! " ( % (" &, !-+ & (# . 4 ( !

, (# % " %,. . -+ & % & , .

& % & , -+ &

# %, . - , " %

- & . 4 # ,

. ! . , " + . &

, " % . (# &

! (- , & # " % &

, & ! & .

) ' ! # &

+ - % .- .$ (# %), ( !

<div>, (# %), & ( ! <rot>, .

<whirl>. ! ., .$ &

" – 1 (/ % (" %)

( $%), % , &

. & + " & $ .

. ! , .$ . %

! " - # %,

"-+ -

, (/ v ( 1 & #

,

. & , . . d 1 & (

-:

 

r

r

 

r

∫∫ A dσ

 

div A(P) = lim

S

 

 

(2.1.8)

v

.

d → 0

 

 

 

 

# # .$ -

-+ & ' :

r

A

Ay

 

A

 

divA(P) =

x

+

 

+

z

 

(2.1.9)

 

y

z .

 

x

 

.$ . & ' $&,

-+ & -+ ":

r

r

r

r

div(C1 A1 (P) +C2 A2 (P)) = C1div( A1 (P)) +C2 div( A2 (P)); div(u(P) A(P)) = u(P)divA(P)) + A(P) gradu(P).

1 # " # 1 2 - , u(P) –

'$ .

. # # . ! ! -

# %1 ( ' * – 3 . .:

r

r

r

 

∫∫A dσ = ∫∫∫divA dv

(2.1.10)

 

 

,

S V

. S – # %, .-+ V

& %-.

# # 1 ' ( -+ & :

∫∫

 

A

 

Ay

 

A

, (2.1.11)

 

∫∫∫

 

 

 

z

 

 

Ax dydz + Ay dzdx + Az dxdy =

 

x

+

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dxdydz

 

S

 

V x

 

y

 

z

 

. # & . . ( % ), . (2.1.4), (2.1.6), # . .

$ -- % #. . ' * – 3 . ., .

! ! - # % &

& . .$ .

(,

. & 1 & # %-.

 

, . # #

"

-+ & ' &:

 

r

 

A

 

Ay

 

 

z

 

 

rotA(P) =

y

z

 

 

 

ri

A

 

A r

Ay

z

 

x

j

 

 

x

 

+

x

 

z

 

 

 

r

 

Ax

 

y

k

. (2.1.12)

 

 

 

, & ' $&, , , (

-+ &:

rot(C1 A1 (P) + C2 A2 (P)) = C1rot( A1 (P)) + C2 rot( A2 (P)); rot(u(P) A(P)) = u(P) rotA(P)) + gradu(P) × A(P),

. 1 2 - , u(P) – ' $ .

& # %- ! # %,

" % ! " & &

" . 1 . - . , &

1 & #. ! :( &. '$ . ( ! ! & # .

%. . & (. " &) & #

+ - # . % . ,

- . - . )

! -- # %, . - !

 

( ,

. %

 

" %-),

 

$ $

# .

.

 

1

 

" % . ) " !

, ' :

 

r

A dl = ∫∫rotA dσ,

 

(2.1.13)

L

s

, ! ,

Ax dx + Ay dy + Az dz =

L

A

 

 

Ay

A

 

A

 

 

 

Ay

 

A

 

 

= ∫∫

 

 

 

 

dydz+

 

 

 

dzdx+

 

 

 

 

dxdy

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

x

 

z

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

(2.1.14)

 

 

 

 

 

z

 

x

 

 

 

 

 

 

.

S y

 

 

z

 

 

x

 

y

 

 

 

 

 

 

 

4 ' $ A(P) = A( x, y) , '

+,

# '

*:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ay

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ax dx + Ay dy = ∫∫

 

 

dxdy,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

D

x

 

y

 

 

 

 

 

. D

 

( %

 

 

XOY,

.

 

L

% k .

 

 

 

 

 

,

 

.

.$ "

-, , %, ! -( - ! - # %, " + - -( & ! & ( ,

" -, ! %. 4.

( ! - ( #. ) % # &:

& " & " ( ! ,

1 & " (, " + & !,

. & $ .

4 . & ' $ ,

! $%, ' $ (( " -1) - $ . .

$% . , . ( %

(/, & + , $ .

', ! 1 . .

" rot(gradU (P)) ≡ 0,

, . – $% - ( ! #. 3 ( ! # $%: 1 .

$ $ !

. " ( %

-, 1, (+ .,

( ! # # &.

, - " % ! " % ,

& ! ; 1 '

( & , " + # . - " %.

4

 

$%

%,

 

. !- . ,

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]