teorpol

divgrad( U (P )) ≡

∂ 2U

+

∂ 2U

+

∂ 2U

= 0.

∂x 2

∂y 2

∂z 2

r

2J

r r

H ( x, y, z) =

(− yi + xj ) ,

ρ2

H x

= −

2J

y;

H y

=

2J

x; H z = 0.

2

2

ρ

ρ

dx

=

dy

=

dz

.

(*)

− y

x

0

r

r

r

i

j

k

r

∂

∂

∂

r

r

r

rot a

=

= 0

i − (8 z − 8 z ) j + 0 k = 0 .

∂x

∂y

∂z

2 x + 4 z 2

cos y

z 2 + 8 zx

,

a

$%,

. . + ' $

&

grad

U = a .

' $

%-

. . ..

$% .

& & . 2-.

!

(

.

"

x

y

z

U ( M ) = ∫ 2 tdt

+ ∫ cos tdt

+ ∫ ( t 2 + 8 xt ) dt +C =

0

0

0

= x 2

+ sin y +

z 3

+ 4z 2 x + C.

3

∂U r

∂U r

∂U r

r

r

r

gradU =

i +

j +

k = (2x + 4 z 2 ) i + cos y j + (z 2 + 8zx) k .

∂x

∂y

∂z

%

r

r

r

a

= x i − yz 2

j + z k ! ( -

# %

x 2 + y 2 ≤ z 2 ,

0 ≤ z ≤ 1,

&

.

Π = ±

∫∫

(a

z

− a

x

x

− a

y

y

z′

z′ )dxdy,

D

. z(x, y) = x 2

+ y 2 ,

ax = x,

a y

= − yz 2 = − y (x 2

+ y 2 ) ,

az

= z =

x 2 + y 2 .

2 . % <+>, %

% &

. OZ.

,

x

y

2

2

2

2

Π = ∫∫

x

+ y

− x

− (− y (x

+ y

))

dxdy =

x

2

+ y

2

x

2

+ y

2

D

x

2

2

2

2

2

2

= ∫∫

x

+ y

−

+ y

x

+ y

dxdy =

x

2

+ y

2

D

2π

1

2π

1

2π

1

2π

π

π

8π

= ∫dϕ∫ρ2 dρ − ∫cos2 ϕdϕ∫ρ2 dρ + ∫sin 2 ϕdϕ∫ρ4 dρ =

−

+

=

.

0

0

0

0

0

0

3

3

5

15

r

∂a x

∂a

y

∂a z

(

2

)

+

+

− z

Π T = −∫∫∫divadxdydz = −∫∫∫

∂x

∂y

∂z

dxdydz = −∫∫∫ 1

+1 dxdydz =

V

V

V

1

1

2π

π

7π

= −2∫∫∫dxdydz + ∫∫∫z 2 dxdydz = −2

π 12 1 + ∫z 2 πz 2 dz = −

+

= −

.

3

3

5

15

V

V

0

) Π T

= Π + Π o , . ! z=1

Π = Π T − Π o

= −

7π

− (−π) =

8π

.

15

15

%

r

r

r

a

= (2 z − x) i + ( x + 2 z) j + 3z k !

Π =

∫∫

(a

z

− a

x

x

y

y

z′ − a

z′ )dxdy,

D

1

4−4 y

1

= ∫∫(52 − 10x − 52 y )dxdy = ∫dy ∫ (52 − 10x − 52 y )dx = ∫(52x − 5x

2

− 52xy)

x =0

dy =

x =4−4 y

D

0

0

0

1

128

128

= ∫(128 − 256y +128y 2 )dy = 128 −128 +

=

.

0

3

3

& (. )$ S % YOZ . % D1

(0;0;0),

(0;1;0),

(0;0;4), ZOX

. %

D2

(0;0;0),

(0;0;4),

(4;0;0),

XOY

. %

D3

c

(0;0;0),

(4;0;0), (0;1;0).

.

r

r

r

!

# %

S

a

= (2 z − x) i + ( x + 2 z)

j + 3z k

# & # .:

Π = ∫∫axdydz+ aydzdx+ az dxdy= ±∫∫ax

x=4−4y−z dydz± ∫∫ay

y=1−

z+x

dzdx± ∫∫az

z=4−x−4y dxdy.

S

D

D

4

D

1

2

3

) -

!

% &

r

r

r

(.

%

nS = i + 4 j + k

1

4−4 y

4

4− z

1

4−4 y

Π = ∫dy

∫ (4 y + 3z − 4)dz + ∫dz ∫ (x + 2z)dx + ∫dy

∫3(4 − x − 4 y)dx =

0

0

0

0

0

0

1

3

4

1

1

= ∫

16(1

− y) 2 − 16(1 − y) 2

dy +

∫

(4 − z) 2

+ 2z(4 − z) dz

+ 3∫8(1 − y) 2 dy =

0

2

0

2

0

1

4

3

1

8

128

= 8∫

(1 − y) 2 dy + ∫ 8

+ 4z −

z 2

dz + 24∫(1 − y) 2 dy =

+ 32 + 8 =

.

0

0

2

0

3

3

% (

.

r

r

r

a = x i + y j + z k % .

& x=Rcost, y=Rsint, z=bt, 0 ≤ t ≤ 2π.

,. , ( .

r r β

dx

dy

dx

A =

∫

adl =

∫

a

x

+ a

y

+ a

z

dt,

dt

dt

dt

L

α

# & .

–

%

! t. ax ,

a y , a z

a

- # . L.

2 %

ax = x = R cos t, a y = y = R sin t, az = z = bt;

dx

= −R sin t,

dy

= R cos t,

dz

= b;

dt

dt

dt

2π

2π

A = ∫(R cos t (−R sin t) + R sin t R cos t +bt b))dt = ∫b 2tdt = b 2t 2 / 2

02π = 2π2 b 2 .

0

0

%

$ $ -

r

r

r

%

a

= y i − x j + b k

" x 2

+ y 2 = 1, z = 0 " % .

dx

= − sin t,

dy

= cos t,

dz

= 0.

dt

dt

dt

r

r

β

dx

dy

dx

2 π

(− sin 2

t − cos 2 t )dt = −

2 π

C =

∫

adl =

∫

a

x

+ a

y

+ a

z

dt =

∫

∫

dt = −2π.

dt

dt

dt

L +

α

0

0

∫

r

r r

a d l

= ∫∫ rot a d σ ,

L +

σ +

. . $ $

r

!

a

! # % σ+, - 1 .

(

% .

r

" % -

n

r

r

r

i

j

k

r

∂

∂

∂

r

r

r

r

rot a

=

= 0

i

− 0 j − 2 k

= − 2 k ,

∂x

∂y

∂ z

y

− x

b

C = ∫∫(−2)dxdy = −2

∫∫dxdy = −2π.

D: x2 + y 2 ≤1

D: x 2 + y 2 ≤1

).

' +

%

- – ' *.

3. $&

3 % . ! % , 1

* % (2)

&

, ! .

∂

r

∂

r

∂

r

=

i +

j +

k ,

∂x

∂y

∂z

(3.1)

x

=

∂

,

y

=

∂

,

z

=

∂

(3.2)

∂z .

∂x

∂y

∂u

r

∂u

r

∂u

r

grad u =

i +

j +

k = u

∂y

(3.3)

∂x

∂z

,

r

a

∂ay

a

r

diva

=

∂ x

+

+

∂ z

= a

∂y

∂z

(3.4)

∂x

,