Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

teorpolя

.pdf
Скачиваний:
3
Добавлен:
11.05.2015
Размер:
327.6 Кб
Скачать

*, ( D ! A(P) ,

" & P ( D & A(P) .

& :

r

r

r

 

A(P) = Ax (τ, x.y, z)

i

+ Ay (τ, x.y, z) j + Az (τ, x.y, z)k ,

(3.1.1)

.

Ax , Ay , Az - $ ,

rr

i , j , k - & .

" & # & $. .

& # &, " & # %

. $. 1 &

! .

& # & &

''$% # &, - " ! % -+

& :

dx = dy = dz

 

 

 

 

 

 

.

(3.1.2)

Ax Ay Az

 

! ' ! & -

!. . – 1

", – .

" & # .

- : 1) . - ( +

% & L;

2)

 

. (+ - .

!

# %

S,

" + -

( D,

$ $

!

L D.

 

- +%- & # # # .

. .

, ( $. . :

Ax (x, y, z)dx + Ay (x, y, z)dy + Az (x, y, z)dz .

(3.1.3)

L

 

) $. ! # % S :

 

∫∫( Ax (x, y, z) cosα + Ay (x, y, z) cosβ + Az (x, y, z) cosγ)dσ ,

(3.1.4)

S

 

13

 

r

 

 

 

r

r

 

 

 

 

 

 

 

 

.

n

= cos α i + cos β j + cos γ k

- &

! & # S

dσ - 1 # S.

 

& & .

.

 

!

!

 

,

# &

.

&

. (

#

#

( -+ ).

 

 

 

 

 

 

 

# ( ! # ' (3.1.3) (3.1.4) - :

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

r

 

 

 

 

 

 

 

A dl ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫∫ A dσ = ∫∫

A ndσ .

(3.1.5) – (3.1.6)

 

 

 

L

 

 

 

S

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

' $

Ax (x, y, z) ,

Ay ( x, y, z) ,

Az (x, y, z)

 

 

-

! ( x, y, z) D ,

! - # ,

& # &, . .- (

.

.

& & . (3.1.5)

!

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

! A

L

( ! :

 

 

 

 

 

 

A dl .

 

 

 

 

(3.1.7)

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

" 1 ( ! " ( % (" &, !-+ & (# . 4 ( !

, (# % " %,. . -+ & % & , .

& % & , -+ &

# %, . - , " %

- & . 4 # ,

. ! . , " + . &

, " % . (# &

! (- , & # " % &

, & ! & .

) ' ! # &

+ - % .- .$ (# %), ( !

<div>, (# %), & ( ! <rot>, .

<whirl>. ! ., .$ &

" – 1 (/ % (" %)

14

( $%), % , &

. & + " & $ .

. ! , .$ . %

! " - # %,

"-+ -

, (/ v ( 1 & #

,

. & , . . d 1 & (

-:

 

r

r

 

r

∫∫ A dσ

 

div A(P) = lim

S

 

 

 

v

.

(3.1.8)

d → 0

 

 

 

# # .$ -

-+ & ' :

r

A

Ay

 

A

 

 

divA(P) =

x

+

 

+

z

.

(3.1.9)

 

 

 

 

x

y

 

z

 

 

 

 

.$ . & ' $&,

-+ & -+ ":

r

r

r

r

div(C1 A1 (P) + C2 A2 (P)) = C1div( A1 (P)) + C2 div( A2 (P)); div(u(P) A(P)) = u(P)divA(P)) + A(P) gradu(P).

1 # " # 1 2 - , u(P) –

'$ .

. # # . ! ! -

# %1 ( ' * – 3 . .:

r

r

r

 

∫∫A dσ = ∫∫∫divA dv ,

(3.1.10)

S

V

 

 

. S

# %,

.-+

V

& %-.

# # 1 ' ( -+ & :

1 * ! & #, . - -. -

# % ( ! , , ' , -( - # %,

" % .

15

 

A

+

Ay

+

A

∫∫Ax dydz + Ay dzdx + Az dxdy = ∫∫∫

x

 

z

dxdydz, (3.1.11)

 

 

 

 

 

 

 

 

S

V x

 

y

 

z

. # & . . ( % ), . (3.1.4), (3.1.6), # . .

$ -- % #. . ' * – 3 . ., .

! ! - # % &

& . .$ .

(,

. & 1 & # %-.

 

, . # #

"

-+ & ' &:

 

r

 

A

 

Ay

 

 

z

 

 

rotA(P) =

y

z

 

 

 

ri

A

 

A r

Ay

z

 

x

j

 

 

x

 

+

x

 

z

 

 

 

r

 

Ax

 

y

k

. (3.1.12)

 

 

 

, & ' $&, , , (

-+ &:

rot(C1 A1 (P) + C2 A2 (P)) = C1rot( A1 (P)) + C2 rot( A2 (P)); rot(u(P) A(P)) = u(P) rotA(P)) + gradu(P) × A(P),

. 1 2 - , u(P) – ' $ .

& # %- ! # %,

" % ! " & &

" . 1 . - . , &

1 & #. ! :( &. '$ . ( ! ! & # .

%. . & (. " &) & #

+ - # . % . ,

- . - . )

! -- # %, . - !

 

( ,

. %

 

" %-),

 

$ $

# .

.

 

1

 

" % . ) " !

, ' :

 

r

 

A dl = ∫∫rotA dσ,

(3.1.13)

L

s

 

, ! ,

16

Ax dx + Ay dy + Az dz =

L

 

A

 

Ay

 

A

 

A

 

Ay

 

A

 

 

 

z

 

 

 

x

z

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. (3.1.14)

= ∫∫

y

 

dydz+

 

x

dzdx+

x

 

dxdy

S

 

z

z

 

 

 

 

y

 

4 ' $ A(P) = A( x, y) , '

+,

# '

*:

 

 

 

 

 

 

 

Ay

 

A

 

Ax dx + Ay dy = ∫∫

 

 

dxdy,

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

L

D

x

 

y

 

. D – ( %

 

XOY,

.

L

% k .

 

,

.

.$ "

-, , %, ! -( - ! - # %, " + - -( & ! & ( ,

" -, ! %. 4.

( ! - ( #. ) % # &:

& " & " ( ! ,

1 & " (, " + & !,

. & $ .

4 . & ' $ ,

! $%, ' $ (( " -1) - $ . .

$% . , . ( %

(/, & + , $ .

', ! 1 . .

" rot(gradU (P)) ≡ 0,

, . – $% - ( ! #. 3 ( ! # $%: 1 .

$ $ !

. " ( %

-, 1, (+ .,

( ! # # &.

, - " % ! " % ,

& ! ; 1 '

( & , " + # . - " %.

4

 

$%

%,

 

. !- . ,

 

 

17

$ . & &

( ! # .. "

. ! $ 1 &

" (, " + & !. )$

. . :

divgrad( U (P )) ≡

2U

+

2U

+

2U

= 0.

 

 

 

x 2

y 2

z 2

 

 

 

 

; – ! " & # & &

' !.

3.2. " #

$

1

& ( ) . . , " .

1 & J, + (

& , " % OZ.

& ' $& " % . .

r

2J

r r

H ( x, y, z) =

(− yi + xj ) ,

ρ2

 

 

. ρ – (x,y,z) OZ.

,. )$ :

H x

= −

2J

y;

H y

=

2J

x; H z = 0.

ρ2

ρ2

 

 

 

 

 

 

3 (+ & " % 2J/ρ2,

''$% # & # &:

dx

=

dy

=

dz

.

(*)

y

x

 

 

0

 

 

18

(*) :

dz = 0 z = H ; xdx + ydy = 0 x 2 + y 2 = R 2 .

%, -

$ x2 +y2 = R2 & z=H - &

" & 1 # # $ OZ.

2

 

r

r

r

%

r

r

a

= xy 2 i + yz 3

j + zx 4 k .

diva,

rota

(2; -1; 5). ) % $% % % %

. .

,. . ! ' ,

 

r

=

 

∂(xy 2 )

+

∂( yz 3 )

+

∂( zx 4 )

= y

2

diva

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

y

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

r

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

j

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

=

 

 

 

 

 

 

= (

∂(zx

4 )

∂( yz 3 )

 

rota

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y

 

z

 

y

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xy 2

yz 3

zx 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ z 3

+ x 4

r

(2;−1;5)

= (−1)2 + 53 + 24 = 142;

; diva

r

∂( zx

4

)

 

∂( xy

2

)

r

∂( yz

3

)

 

∂(xy

2

)

r

) i (

 

 

) j + (

 

 

) k =

x

 

 

z

 

 

x

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

r

r

 

r

 

 

r

r

r

= −3yz2i − 4zx3 j − 2xyk;

rota(2;−1;5) = −3 (−1) 52

i − 4 5 23

j − 2 2 (−1) k = 75i −160j + 4k.

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

$%

0 )

%

( rota

( diva 0 ).

3

 

r

r

r

a

= (2 x + 4 z 2 ) i + cos y j + ( z 2 + 8zx) k . ( %

, $%, % . $ .

,. .

$% . , ( . - ( . ):

19

 

 

 

r

 

r

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

j

 

k

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

r

r

r

 

 

 

 

 

 

 

 

rot a

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0

i − (8 z − 8 z ) j + 0 k = 0 .

 

x

 

y

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x + 4 z 2

cos y

z 2 + 8 zx

 

 

 

 

 

 

,

 

 

a

$%,

. . + ' $

U(x,y,z), ! $% & $ ,

&

grad

U = a .

' $

%-

. . ..

 

 

 

 

 

$% .

& & . 2-.

 

!

(

.

"

 

' - $ . ) 1

$% ' $ ' :

M r r

U ( M ) = a d l + C .

M 0

) % . ( , ( .

% . . %. 1 & !, ( %! % & M0M1M2M, M0(0;0;0), M1(x;0;0), M2(x;y;0), M(x;y;z), . & . " ! % &

. ! & &:

x

y

z

U ( M ) = 2 tdt

+ cos tdt

+ ( t 2 + 8 xt ) dt +C =

0

0

 

0

= x 2

+ sin y +

z 3

+ 4z 2 x + C.

 

 

3

 

# . & ' $ :

 

U r

U r

U r

r

r

r

gradU =

 

i +

 

j +

 

k = (2x + 4 z 2 ) i + cos y j + (z 2 + 8zx) k .

 

 

 

 

x

y

z

 

 

 

, grad U = a , &

! %.

). 4 . %! %

& ! # & # ! -

M, &, $

. ".

20

4

%

 

 

r

r

r

a

= x i yz 2

j + z k ! ( -

# %

 

x 2 + y 2 z 2 ,

0 ≤ z ≤ 1,

&

.

 

 

 

 

 

,. " ! (: 1)

. , 2) %! ' 3 . . – * .

) & (. # % $ %

XOY . D: x 2 + y 2 ≤ 1 , & " % &

.:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Π = ±

∫∫

(a

z

 

a

x

 

x

a

y

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

z′ )dxdy,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. z(x, y) = x 2

+ y 2 ,

 

 

 

ax = x,

 

a y

= − yz 2 = − y (x 2

+ y 2 ) ,

 

 

az

 

 

= z =

 

 

x 2 + y 2 .

2 . % <+>, %

 

% &

 

. OZ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Π = ∫∫

 

x

 

+ y

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− (− y (x

 

+ y

 

))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dxdy =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

+ y

2

 

 

 

 

 

 

x

2

 

+ y

2

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ∫∫

 

x

 

+ y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ y

 

 

 

x

 

 

+ y

 

 

dxdy =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

+ y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

π

 

 

 

 

= dϕρ2 dρ − cos2 ϕdϕρ2 dρ + sin 2 ϕdϕρ4 dρ =

+

=

.

 

 

 

 

0

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

3

3

 

5

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

& (. , ( % V, . - &

# %- %- z=1. ) a ( % 1 & () # ' 3 . . – * :

r

 

 

a x

 

a

y

 

a z

 

(

 

2

)

 

 

 

+

 

+

 

z

 

 

 

 

 

 

 

Π T = −∫∫∫divadxdydz = −∫∫∫

x

y

z

dxdydz = −∫∫∫ 1

 

+1 dxdydz =

V

V

 

 

 

 

V

 

 

 

21

 

 

1

1

 

π

 

 

= −2∫∫∫dxdydz + ∫∫∫z 2 dxdydz = −2

π 12 1 + z 2 πz 2 dz = −

+

= −

.

3

3

5

15

V

V

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) Π T

= Π + Π o , . ! z=1

, " OZ, . :

Π o = −∫∫ az z =1 dxdy = −1 π 12 = −π.

D

3- & ! ( - # % :

Π = Π T − Π o

= −

− (−π) =

.

 

 

 

15

15

 

5

%

r

r

r

a

= (2 z x) i + ( x + 2 z) j + 3z k !

. % S, ! & ! x+4y+z-4=0

, , ( ! -+ & %- OZ &

..

,. , ( !:

1)$ S - %,

2)$ S # .

) & (. # % $ %

XOY . % D M0(0;0;0), M1(4;0;0), M2(0;1;0). .

& " ( % ' :

Π =

∫∫

(a

z

a

x

x

y

y

 

 

 

z′ − a

 

z′ )dxdy,

 

D

 

 

 

 

 

 

 

.

z(x, y) = 4 − x − 4y, ax = 2z x =8 − 3x −8y, ay = x + 2z =8 − x −8y, az = 3z =12− 3x −12y.

%! 1 , #

Π = ∫∫((12 − 3x − 12 y) − (8 − 3x − 8 y) (−1) − (8 − x − 8 y) (−4))dxdy =

D

22

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]