Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

teorpolя

.pdf
Скачиваний:
3
Добавлен:
11.05.2015
Размер:
327.6 Кб
Скачать

 

 

 

 

1

4−4 y

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ∫∫(52 − 10x − 52 y )dxdy = dy (52 − 10x − 52 y )dx = (52x − 5x

2

− 52xy)

x =0

 

dy =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x =4−4 y

 

 

 

D

 

 

0

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

128

 

128

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (128 − 256y +128y 2 )dy = 128 −128 +

=

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

& (. )$ S % YOZ . % D1

 

 

(0;0;0),

(0;1;0),

(0;0;4), ZOX

 

 

. %

D2

 

 

(0;0;0),

(0;0;4),

(4;0;0),

 

XOY

 

 

 

. %

D3

c

 

(0;0;0),

(4;0;0), (0;1;0).

.

 

 

 

r

r

 

 

r

 

!

# %

S

 

 

a

= (2 z x) i + ( x + 2 z)

j + 3z k

# & # .:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Π = ∫∫axdydz+ aydzdx+ az dxdy= ±∫∫ax

x=4−4yz dydz± ∫∫ay

y=1−

z+x

dzdx± ∫∫az

 

z=4−x−4y dxdy.

 

 

 

 

S

 

 

 

D

 

D

4

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

) -

!

% &

 

r

r

r

 

 

(.

 

%

 

nS = i + 4 j + k

 

( ! ( % " % &!),

. " ( % <+>. ,

 

 

 

1

 

4−4 y

 

4

 

 

4− z

 

1

4−4 y

 

 

 

 

 

 

 

Π = dy

(4 y + 3z − 4)dz + dz (x + 2z)dx + dy

3(4 − x − 4 y)dx =

 

 

 

 

0

 

0

 

0

 

 

0

 

 

0

0

 

 

 

 

 

1

 

3

 

 

 

 

 

4

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

=

 

16(1

y) 2 − 16(1 − y) 2

dy +

 

(4 − z) 2

+ 2z(4 − z) dz

+ 38(1 − y) 2 dy =

 

 

0

 

2

 

 

 

 

 

0

 

2

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4

 

 

 

3

 

 

 

1

 

8

 

128

 

 

 

 

= 8

(1 − y) 2 dy + 8

+ 4z

 

z 2

dz + 24(1 − y) 2 dy =

 

+ 32 + 8 =

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

2

 

 

 

0

 

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, & ( ( % ,

&, %.

6

% (

 

.

 

 

 

 

r

 

r

 

 

r

 

 

 

 

a = x i + y j + z k % .

& x=Rcost, y=Rsint, z=bt, 0 ≤ t ≤ 2π.

,. , ( .

 

 

r r β

 

 

 

dx

 

 

 

 

dy

 

 

 

dx

A =

adl =

a

x

 

 

+ a

y

 

 

 

+ a

z

 

 

dt,

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

dt

 

 

dt

 

L

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23

. L – ., & + % , " &

# & .

%

! t. ax ,

a y , a z

a

- # . L.

 

 

 

 

 

 

 

 

2 %

 

 

 

 

 

 

 

 

ax = x = R cos t, a y = y = R sin t, az = z = bt;

dx

= −R sin t,

dy

= R cos t,

dz

= b;

 

 

 

 

dt

dt

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

A = (R cos t (−R sin t) + R sin t R cos t +bt b))dt = b 2tdt = b 2t 2 / 2

0= 2π2 b 2 .

0

0

 

 

 

 

 

 

7

%

$ $ -

r

r

r

%

a

= y i x j + b k

" x 2

+ y 2 = 1, z = 0 " % .

 

,. $ $ " (.

) & ( ( $ $ ).

) . :

x = cost

L : y = sin t , 0 ≤ t ≤ 2π.

z = 0

a # :

ax = y = sin t, a y = −x = − cos t, az = b.

% . :

dx

= − sin t,

dy

= cos t,

dz

= 0.

 

 

 

dt

dt

dt

$ $ :

 

 

r

r

β

 

 

dx

 

 

 

dy

 

 

 

dx

2 π

(− sin 2

t − cos 2 t )dt = −

2 π

 

C =

adl =

a

x

 

 

+ a

y

 

 

+ a

z

 

 

dt =

dt = −2π.

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

dt

 

 

dt

 

 

 

 

L +

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

24

& ( ( ' ).

. ' :

 

r

 

r r

 

 

 

a d l

= ∫∫ rot a d σ ,

 

 

 

L +

 

σ +

 

 

 

. . $ $

r

!

 

 

 

a

! # % σ+, - 1 .

(

% .

 

r

 

" % -

 

 

n

# – - " % (#.

rr

& ! n = k ,

 

 

 

r

 

r

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

j

k

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

r

r

r

r

rot a

=

 

 

 

 

 

 

 

= 0

i

− 0 j − 2 k

= − 2 k ,

x

 

y

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

x

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C = ∫∫(−2)dxdy = −2

∫∫dxdy = −2π.

 

D: x2 + y 2 1

D: x 2 + y 2 1

).

' +

%

- – ' *.

3.3. % ! " ! & ' (

3.3.1.

 

 

 

r

 

r

r

a

= yz cos( xy) i + zx cos( yz) j + sin( xy) k .

 

&

r

r

% . . .

 

diva,

rota ,

3.3.2.

 

 

 

r

r

r

a

= (x2 xy) i + (zx y2 ) j + (zx yz) k .

 

&

r

r

M(1;-2;1)

 

 

d iv a ,

rot a

 

3.3.3.

 

 

 

r

 

r

r

! %,

a

= y i + x j + e z k .

$% & . $ .

25

3.3.4.

 

r

r

r

 

r

r

a = yz i + zx j + xy k .

& div a ,

rot a ,

 

% . . .

 

 

3.3.5.

& div(

 

r

r

r

r

r

r

r

 

 

 

(i + j + k ) × r ),

. r

= x i + y j + z k .

 

3.3.6.

 

r

r

r

 

 

 

a = zx i + y j + ψ( z) k . 3 % ψ(z)

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

, ( div a = 0 .

 

 

r

r

 

 

3.3.7.

 

 

 

r

r

 

r

a

b -

& rot (( r

a )b ), .

r = x i + y

j + z k .

.

3.3.8.# u(x, y, z), v(x, y, z). ! %,

gradu × gradv - %.

3.3.9.# u(x, y, z), v(x, y, z). ! %,

gradv rot (ugradv) = 0.

3.3.10.> $%

 

r

 

r

r

 

a

= yz(2x + y + z) i + zx(x + 2 y + z) j + xy( x + y + 2z) k ?

3.3.11.

& div grad(x2+y2+z2) .

 

3.3.12.

$% %

 

r

r

r

 

 

a = (2x + 5 yz) i + (2 y + 5zx) j + (2z + 5xy) k ?

 

3.3.13.

& div grad(arctg(y/(x-z))) .

 

3.3.14.

& .$ - .

 

 

 

r

r

r

r

=

x i + y j + z k

a

 

 

 

.

 

 

3

(x 2 + y 2 + z 2 ) 2

3.3.15.3 % .

 

r

 

r

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

a

= (2x + 3 yz) i + (2 y + 3zx) j + (2z + 2xy) k .

 

 

 

3.3.16.

 

#

r

 

r

r

r

r

r

 

a

= i

+ j + k ,

r = x

i

+ y j + z k .

 

 

r

r

r

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

& div (a

× r ), rot (a

× r ).

 

 

r

r

 

 

3.3.17.

&

r

 

 

 

a

= ( y + z) i x j x k .

 

! 1 # & # !

M(1;2;-3)?

 

 

 

3.3.18.

&

 

 

 

 

r

r

 

r

 

 

a = (z y)

i + (x z) j + ( y x) k.

 

! 1 # & # !

M(-1;2;4)?

 

3.3.19.

&

 

 

 

r

r

 

r

.

r = −wy i + wx

j + h k ,

 

w h – . ! 1 # & # !

 

 

M(3;1;-2)?

 

 

r

 

 

r

 

r

 

3.3.20.

 

 

 

 

 

 

2 ) k.

a = (y

2 + z 2 ) i + (z 2 + x2 )

j + (x2 + y

 

 

r

r

M(5;0;-4).

 

 

 

 

 

& div a ,

rot a

r

 

r

 

3.3.21.

 

 

 

 

r

 

2

 

 

a = 3x(y + z)

i + y

j + (z 2 − 2x) k.

) %, $% ,

, & . $ .

26

3.3.22.

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

r

 

r

 

 

 

 

 

 

a

= (3x − 2z) i + sin y

j + (z − 2x) k.

 

) %, $% ,

 

, & . $ .

 

 

 

 

 

 

 

3.3.23.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

2zx + y

r

 

 

2 yz x

 

r

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

a

=

 

 

 

 

i +

 

 

 

 

j + ln(x 2

+ y 2 ) k .

 

 

 

 

 

 

 

x

2

+ y 2

 

x 2 + y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

,

 

 

r

M(7;-1;0).

 

 

 

 

 

 

 

& div a

rot a

 

 

 

 

 

 

3.3.24.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

= e x + y (z

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

r

+ y + y 2 e z ) k .

 

 

 

a

+ x + 1) i + (( z + x)e x+ y

+ 2 ye z ) j + (e x

 

 

 

% . , $%,

 

% . $ .

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.3.25.

%

 

 

 

 

!

% #

a = z i

 

( z = x 2 + y 2

 

$

x 2 + y 2

= 1

 

 

x 0,

z 0 ,

( ! -+ & %- OZ

 

&

..

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.3.26.

%

j

! # % ! 3.3.25.

a

= z

 

" .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.3.27.

%

r

= z

k

! # % ! 3.3.25.

a

 

" .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.3.28.

%

r

 

 

! % #

a = z i

 

. ( .

 

(

 

z = x y

 

$

 

x 2 + y 2 = 2

 

 

 

 

 

x 0, z 0

 

 

 

 

,

 

( ! -+ & %- OZ &

..

 

 

 

 

 

 

3.3.29.

%

r

= x

j

! # % ! 3.3.28.

a

 

" .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.3.30. %

 

 

 

 

r

= xy k

!

# %

!

 

 

a

 

3.3.28. " .

 

 

 

 

 

3.3.31.

%

 

(

 

 

.

 

r

k

 

"

 

 

 

a = z

 

% & % . ", ( ! &

 

' x 2 + y 2 + z 2 = 1 %-

z = 1/ 2 ,

 

y 0,

z 0 .

 

3 %

OX

 

(- ,

 

. & " + . &

 

" .

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

3.3.32.

%

 

 

 

 

 

 

!

%

 

 

a = y i + x j

 

# . ( . (

z = x y

 

 

$ x 2 + y 2 = 9 x 0,

y 0

,

 

( ! -+ & %- OZ &

..

 

 

 

 

 

27

3.3.33.

%

 

 

r

= x k !

% '

a

 

x 2 + y 2 + z 2

= 1

 

x ≥ 0, z ≥ 0

 

 

,

 

( ! -+ & %- OZ &

 

..

r

 

 

3.3.34.

% (

 

 

r

"

. a

= x i + y k

 

% & % . 1, ( ! .

 

 

$ x 2 + y 2 = 1

%-

x z = 1,

 

x ≥ 0,

y ≤ 0 . 3 % OZ .

& (- , & " &

" .

3.3.35.

%

 

 

r

r

 

!

%

a

= z j + x k

 

 

$&

#

 

y 2 + z 2 = 1

 

 

 

2 x 2

+ y 2 z 2

 

x ≥ 0,

y ≥ 0, z ≥ 0

,

 

( ! -+ & %- OZ &

..

 

 

 

3.3.36.

% (

.

r

"

a = x 2 y k

 

% &

 

%

 

,

( ! .

 

 

$

x 2 + y 2 = 1

 

y 2 + z 2 = 1

 

 

x 0 .

3 %

OX

 

 

(- ,

. & " + . &

" .

3.3.37.

&

r

 

r

 

 

 

r

 

 

!

a = ( y z) i + (2x + y) j + (x + y + z) k

 

- . % 1, . .

 

%- 2x+y+z-2=0,

 

, ( ! -+ & %- OZ &

..

 

 

 

3.3.38.

&

r

r

 

 

 

 

r

 

 

!

a = 4z

i + (x + y − 2z)

j + (3y + 2z) k

 

- . % 1, . .

 

%- 2x-y-z+4=0,

 

, ( ! -+ & %- OY &

 

..

 

 

 

3.3.39.

%

$ $ -

 

r

 

r

 

 

 

a

= −z 3 i + y 3 k

 

!

,

( !

 

 

$

x2 + y2 = 2, y2 + z 2 = 1

 

 

 

x > 0.

3 %

OX

 

. & (- ,

 

(# + . & .

 

r

 

 

 

 

 

 

 

3.3.40.

%

 

 

= x i + y3 j

!

'

a

 

x 2 + y 2 + z 2

= 2 & .

 

 

3.3.41.

%

 

r

 

r

 

r

 

!

'

a = x3

i + y 3

j + z 3 k

 

x 2 + y 2 + z 2

= 4 & .

 

 

3.3.42.

%

$ $ -

r

 

 

 

1 ,

a = −z 3 i

 

( !

. (

2x2 + 3y 2 − 4z 2 =1

28

 

 

%-

 

y − 2z = 0.

 

3 %

 

OZ

 

 

 

 

. & (- , (# + . &

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.3.43.

%

 

 

 

2 (z +1) k

! # %

 

 

a = x

 

 

x 2 + y 2 + z 2

≤ 2 ∩ z ≥ 0

 

&

 

. & .

 

 

! '

 

 

 

 

 

" .

 

 

 

 

 

 

 

z =

 

2 − x 2 y 2

 

r

 

 

 

 

3.3.44.

%

 

 

 

 

 

r

 

 

 

!

 

 

 

a

=2 (x + y). j + z k

 

# %

x 2 + y 2 + z 2

≤ 7 ∩ z ≤ 0

 

& . & . !

 

'

 

 

 

 

 

 

" .

 

 

 

 

z = −

 

2 − x 2

y 2

 

 

 

 

3.3.45.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

r

 

r

 

 

 

% $ $ - a = (y z) i +(z x) j +(x y) k

 

",

 

 

 

 

 

 

'

 

x 2 + y 2 + z 2

= 1

 

 

 

x + y + z = 0.

"

!

 

#

&

 

 

 

 

.

 

& (- , (# + . & .

 

 

 

 

3.3.46.

&

 

 

r

= xy2

r

 

 

r

 

!

'

 

a

i + yz2 j + zx2 k

 

x 2 + y 2 + z 2

= 5

& .

 

 

 

3.3.47.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

= z 3 k

! 1

 

 

 

% a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

y 2

 

 

z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

+

 

 

 

= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

& .

 

 

 

 

 

 

3.3.48.

% $ $ -

r

= y2

r

r

 

 

a

i + z2 j + x2 k

 

'

x 2 + y 2 + z 2

= 4

$

x2 + y 2

= 2x

 

z 0 .

 

(# ,

(-%,

 

# + & , 1 (#

 

# + & .

 

 

 

 

 

29

4. $&

 

3 % . ! % , 1

* % (2)

&

, ! .

alted ( delta, ), &, ! 3 ?1 &, ! % (

& & ! % & ).

-+ & :

 

r

r

r

 

=

 

i +

 

j +

 

k ,

(4.1)

x

y

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. « »:

x

=

,

y

=

,

z

=

.

(4.2)

x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

( " & ($

' $ , ! % % ! %

. # ' .

, . . " ( % ! :

 

u r

u

r

u

r

 

grad u =

 

i +

 

j +

 

k = u ,

(4.3)

 

y

z

 

x

 

 

 

. . & ' $ " & &

' % " 1 ' $ -.

. ' !$ . . " &

! % & - ! % & .$

:

r

 

a

y

 

r

 

diva

=

ax

+

 

+

az

= a ,

(4.4)

 

 

 

z

 

 

x

y

 

 

30

 

 

r

r

r

 

 

r

 

i

j

k

=

rot a

 

 

x

y

z

 

 

a x

a y

a z

 

 

 

 

 

r

= × a.

(4.5)

%

! %, , # :

1)) %:

div(rota) = ( a ) = a ( ) = 0.

(4.6)

2) ) . ( ! #:

rot(gradu) = × ( u) = ( × )u = 0.

(4.7)

%, ( ''$%

, 1 ! % . & ' $ , - ! & . :

r

r

r r

r

r

rotb. (4.8)

div(a

b ) = (a

b ) = b ( a) a

( b ) = b rota

a

''$ - !

r

a b , # . #. ) ! #

r

" b , - "

a . ! ., 1

% # . . . , 1

"- # . ! -1.

. % ' % . .

* %.

31

)

1.. ., . . & .

! !. : .1971.735 .

2.. . & ! . 0 ! . !.1962. 132 .

3. ! . . , 0 %. .

$% ' $ . ) ( ! ;. : *

! % ' !-& . 1959. 303 .

4.

! - .

« ».

: @ . 3., # *. .

;: ; ?), 1982. 14 .

 

5.! - !

.

:

. . .,

$ . .

;: ; ?),1979. 25 .

 

 

 

 

6. ). 4., )

.

*.,

" . >.

 

" # ! #.

:

. 1986.

 

32

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]