teorpolя

1

4−4 y

1

= ∫∫(52 − 10x − 52 y )dxdy = ∫dy ∫ (52 − 10x − 52 y )dx = ∫(52x − 5x

2

− 52xy)

x =0

dy =

x =4−4 y

D

0

0

0

1

128

128

= ∫(128 − 256y +128y 2 )dy = 128 −128 +

=

.

0

3

3

& (. )$ S % YOZ . % D1

(0;0;0),

(0;1;0),

(0;0;4), ZOX

. %

D2

(0;0;0),

(0;0;4),

(4;0;0),

XOY

. %

D3

c

(0;0;0),

(4;0;0), (0;1;0).

.

r

r

r

!

# %

S

a

= (2 z − x) i + ( x + 2 z)

j + 3z k

# & # .:

Π = ∫∫axdydz+ aydzdx+ az dxdy= ±∫∫ax

x=4−4y−z dydz± ∫∫ay

y=1−

z+x

dzdx± ∫∫az

z=4−x−4y dxdy.

S

D

D

4

D

1

2

3

) -

!

% &

r

r

r

(.

%

nS = i + 4 j + k

1

4−4 y

4

4− z

1

4−4 y

Π = ∫dy

∫ (4 y + 3z − 4)dz + ∫dz ∫ (x + 2z)dx + ∫dy

∫3(4 − x − 4 y)dx =

0

0

0

0

0

0

1

3

4

1

1

= ∫

16(1

− y) 2 − 16(1 − y) 2

dy +

∫

(4 − z) 2

+ 2z(4 − z) dz

+ 3∫8(1 − y) 2 dy =

0

2

0

2

0

1

4

3

1

8

128

= 8∫

(1 − y) 2 dy + ∫ 8

+ 4z −

z 2

dz + 24∫(1 − y) 2 dy =

+ 32 + 8 =

.

0

0

2

0

3

3

% (

.

r

r

r

a = x i + y j + z k % .

& x=Rcost, y=Rsint, z=bt, 0 ≤ t ≤ 2π.

,. , ( .

r r β

dx

dy

dx

A =

∫

adl =

∫

a

x

+ a

y

+ a

z

dt,

dt

dt

dt

L

α

# & .

–

%

! t. ax ,

a y , a z

a

- # . L.

2 %

ax = x = R cos t, a y = y = R sin t, az = z = bt;

dx

= −R sin t,

dy

= R cos t,

dz

= b;

dt

dt

dt

2π

2π

A = ∫(R cos t (−R sin t) + R sin t R cos t +bt b))dt = ∫b 2tdt = b 2t 2 / 2

02π = 2π2 b 2 .

0

0

%

$ $ -

r

r

r

%

a

= y i − x j + b k

" x 2

+ y 2 = 1, z = 0 " % .

dx

= − sin t,

dy

= cos t,

dz

= 0.

dt

dt

dt

r

r

β

dx

dy

dx

2 π

(− sin 2

t − cos 2 t )dt = −

2 π

C =

∫

adl =

∫

a

x

+ a

y

+ a

z

dt =

∫

∫

dt = −2π.

dt

dt

dt

L +

α

0

0

3.3.4.

r

r

r

r

r

a = yz i + zx j + xy k .

& div a ,

rot a ,

% . . .

3.3.5.

& div(

r

r

r

r

r

r

r

(i + j + k ) × r ),

. r

= x i + y j + z k .

3.3.6.

r

r

r

a = zx i + y j + ψ( z) k . 3 % ψ(z)

v

, ( div a = 0 .

r

r

3.3.7.

r

r

r

a

b -

& rot (( r

a )b ), .

r = x i + y

j + z k .

r

r

r

a

= yz(2x + y + z) i + zx(x + 2 y + z) j + xy( x + y + 2z) k ?

3.3.11.

& div grad(x2+y2+z2) .

3.3.12.

$% %

r

r

r

a = (2x + 5 yz) i + (2 y + 5zx) j + (2z + 5xy) k ?

3.3.13.

& div grad(arctg(y/(x-z))) .

3.3.14.

& .$ - .

r

r

r

r

=

x i + y j + z k

a

.

3

r

r

r

a

= (2x + 3 yz) i + (2 y + 3zx) j + (2z + 2xy) k .

3.3.16.

#

r

r

r

r

r

r

a

= i

+ j + k ,

r = x

i

+ y j + z k .

r

r

r

r

& div (a

× r ), rot (a

× r ).

r

r

3.3.17.

&

r

a

= ( y + z) i − x j − x k .

! 1 # & # !

M(1;2;-3)?

3.3.18.

&

r

r

r

a = (z − y)

i + (x − z) j + ( y − x) k.

! 1 # & # !

M(-1;2;4)?

3.3.19.

&

r

r

r

.

r = −wy i + wx

j + h k ,

w h – . ! 1 # & # !

M(3;1;-2)?

r

r

r

3.3.20.

2 ) k.

a = (y

2 + z 2 ) i + (z 2 + x2 )

j + (x2 + y

r

r

M(5;0;-4).

& div a ,

rot a

r

r

3.3.21.

r

2

a = 3x(y + z)

i + y

j + (z 2 − 2x) k.

3.3.22.

r

r

r

a

= (3x − 2z) i + sin y

j + (z − 2x) k.

) %, $% ,

, & . $ .

3.3.23.

r

2zx + y

r

2 yz − x

r

r

a

=

i +

j + ln(x 2

+ y 2 ) k .

x

2

+ y 2

x 2 + y 2

r

,

r

M(7;-1;0).

& div a

rot a

3.3.24.

r

= e x + y (z

r

r

+ y + y 2 e z ) k .

a

+ x + 1) i + (( z + x)e x+ y

+ 2 ye z ) j + (e x

% . , $%,

% . $ .

r

3.3.25.

%

!

% #

a = z i

( z = x 2 + y 2

$

x 2 + y 2

= 1

x ≥ 0,

z ≥ 0 ,

( ! -+ & %- OZ

&

..

r

3.3.26.

%

j

! # % ! 3.3.25.

a

= z

" .

3.3.27.

%

r

= z

k

! # % ! 3.3.25.

a

" .

3.3.28.

%

r

! % #

a = z i

. ( .

(

z = x y

$

x 2 + y 2 = 2

x ≥ 0, z ≥ 0

,

( ! -+ & %- OZ &

..

3.3.29.

%

r

= x

j

! # % ! 3.3.28.

a

" .

3.3.30. %

r

= xy k

!

# %

!

a

3.3.28. " .

3.3.31.

%

(

.

r

k

"

a = z

% & % . ", ( ! &

' x 2 + y 2 + z 2 = 1 %-

z = 1/ 2 ,

y ≥ 0,

z ≥ 0 .

3 %

OX

(- ,

. & " + . &

" .

r

3.3.32.

%

!

%

a = y i + x j

# . ( . (

z = x y

$ x 2 + y 2 = 9 x ≥ 0,

y ≥ 0

,

( ! -+ & %- OZ &

..

3.3.33.

%

r

= x k !

% '

a

x 2 + y 2 + z 2

= 1

x ≥ 0, z ≥ 0

,

( ! -+ & %- OZ &

..

r

3.3.34.

% (

r

"

. a

= x i + y k

% & % . 1, ( ! .

$ x 2 + y 2 = 1

%-

x − z = 1,

x ≥ 0,

y ≤ 0 . 3 % OZ .

3.3.35.

%

r

r

!

%

a

= z j + x k

$&

#

y 2 + z 2 = 1

2 x 2

+ y 2 ≤ z 2

x ≥ 0,

y ≥ 0, z ≥ 0

,

( ! -+ & %- OZ &

..

3.3.36.

% (

.

r

"

a = x 2 y k

% &

%

,

( ! .

$

x 2 + y 2 = 1

y 2 + z 2 = 1

x ≥ 0 .

3 %

OX

(- ,

3.3.37.

&

r

r

r

!

a = ( y − z) i + (2x + y) j + (x + y + z) k

- . % 1, . .

%- 2x+y+z-2=0,

, ( ! -+ & %- OZ &

..

3.3.38.

&

r

r

r

!

a = 4z

i + (x + y − 2z)

j + (3y + 2z) k

- . % 1, . .

%- 2x-y-z+4=0,

, ( ! -+ & %- OY &

..

3.3.39.

%

$ $ -

r

r

a

= −z 3 i + y 3 k

!

,

( !

$

x2 + y2 = 2, y2 + z 2 = 1

x > 0.

3 %

OX

. & (- ,

(# + . & .

r

3.3.40.

%

= x i + y3 j

!

'

a

x 2 + y 2 + z 2

= 2 & .

3.3.41.

%

r

r

r

!

'

a = x3

i + y 3

j + z 3 k

x 2 + y 2 + z 2

= 4 & .

3.3.42.

%

$ $ -

r

1 ,

a = −z 3 i

( !

. (

2x2 + 3y 2 − 4z 2 =1

%-

y − 2z = 0.

3 %

OZ

. & (- , (# + . &

.

r

3.3.43.

%

2 (z +1) k

! # %

a = x

x 2 + y 2 + z 2

≤ 2 ∩ z ≥ 0

&

. & .

! '

" .

z =

2 − x 2 − y 2

r

3.3.44.

%

r

!

a

=2 (x + y). j + z k

# %

x 2 + y 2 + z 2

≤ 7 ∩ z ≤ 0

& . & . !

'

" .

z = −

2 − x 2

− y 2

3.3.45.

r

r

r

% $ $ - a = (y − z) i +(z − x) j +(x − y) k

",

'

x 2 + y 2 + z 2

= 1

x + y + z = 0.

"

!

#

&

.

& (- , (# + . & .

3.3.46.

&

r

= xy2

r

r

!

'

a

i + yz2 j + zx2 k

x 2 + y 2 + z 2

= 5

& .

3.3.47.

r

= z 3 k

! 1

% a

x 2

y 2

z 2

+

+

= 1

3

2

3

& .

3.3.48.

% $ $ -

r

= y2

r

r

a

i + z2 j + x2 k

'

x 2 + y 2 + z 2

= 4

$

x2 + y 2

= 2x

z ≥ 0 .

(# ,

(-%,

# + & , 1 (#

# + & .

div(rota) = ( a ) = a ( ) = 0.

(4.6)

rot(gradu) = × ( u) = ( × )u = 0.

(4.7)

r

r

r r

r

r

rotb. (4.8)

div(a

b ) = (a

b ) = b ( a) − a

( b ) = b rota

− a