2.2 Передаточная функция систем радиоавтоматики

Применив к дифференциальному уравнению (2.1) операторную форму записи с использованием оператора дифференцирования , получим

,

где ;

;

Y(p) – преобразование Лапласа для выходного сигнала;

X(p) – преобразование Лапласа для входного сигнала системы;

M_н – многочлен, отображающий начальные условия.

Введя следующие обозначения, получим:

; .

Тогда выражение (3.3) примет вид

.

Это уравнение связывает изображение выходного сигнала системы. Функция W(p) характеризует динамические свойства системы РА, она не зависит от управляющего воздействия и полностью определяется параметрами системы a_i и b_i. Эту функцию называют передаточной, а W_н(p) – передаточной функцией относительно начального состояния системы РА.

При нулевых начальных условиях передаточная функция системы РА равна отношению изображения по Лапласу выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала. Передаточная функция является дробно рациональной функцией относительно оператора преобразования Лапласа

.

Степень полинома знаменателя передаточной функции определяет порядок системы РА. В реальных системах степень полинома числителя передаточной функции не превышает степени полинома знаменателя. Это условие называется физической реализуемостью системы РА; оно означает, что нельзя создать систему РА, передаточная функция которой не удовлетворяла бы этому условию.

Корни полинома числителя передаточной функции _i называются нулями, а корни знаменателя _i – полюсами системы РА. Так как коэффициенты передаточной функции – действительные числа, то невещественные нули и полюсы могут быть только комплексно-сопряженными величинами. При анализе систем РА нули и полюсы (особенности передаточной функции) удобно изображать точками на плоскости комплексного переменного p (рис. 6).

Рис. 6 Расположение нулей и полюсов передаточной функции

на плоскости комплексного переменного

Если передаточная функция системы не содержит особенностей в правой части плоскости p, то систему называют минимально-фазовой, в противном случае ее считают неминимально-фазовой.

2.3 Переходная и импульсная характеристика систем ра

При исследовании переходного процесса, происходящего в системах РА, используют единичный сигнал вида

,

где 1(t) – единичная функция, удовлетворяющая условию

Преобразование Лапласа для выходного сигнала системы в соответствии с выражением при нулевых начальных условиях имеет вид

.

Переходной процесс в системе РА, вызванный входным сигналом в виде единичной функции, называют переходной функцией:

,

где 1/p – преобразование Лапласа для единичной функции. Обычно для выполнения преобразования используются таблицы.

Переходная функция может быть вычислена по формуле обращения

,

где _i – полюсы подынтегрального выражения; n – число полюсов.

При исследовании реакции на импульсный сигнал на вход систем РА подают единичный мгновенный импульс в виде - функции

x(t) = (t),

который удовлетворяет следующим условиям

; .

Так как преобразование Лапласа для  - функции равно единице, то для выходного сигнала

.

Переходной процесс, возникающий в системе РА при воздействии единичного импульса, называют импульсной переходной функцией. Из выражения следует, что

.

Импульсная переходная функция системы РА должна удовлетворять следующим условиям

при t<0, .

Первое условие называют условием физической реализуемости системы; оно показывает, что в реальной системе переходной процесс не может возникнуть раньше подачи на вход системы единичного импульса. Второе условие является условием устойчивости системы РА.

Импульсная переходная функция может быть определена по переходной характеристике:

.