2. Критерий устойчивости Гурвица

Вычисление корней характеристического уравнения реальной системы большого порядка весьма проблематично, поэтому были разработаны некие правила, основанные на приведенных выше вычислениях и называемые критериями устойчивости, которые позволяют оценивать устойчивость системы, не вычисляя корней характеристического уравнения.Системы первого и второго порядка устойчивы, если все коэффициенты a₀, a₁…a_n характеристического уравнения положительны. Для систем более высокого порядка положительность коэффициентов является необходимым, но не достаточным условием устойчивости. Если все коэффициенты характеристического уравнения положительные, то все его вещественные корни будут отрицательными, но среди комплексных корней могут быть и корни с положительной вещественной частью. Если хотя бы один из коэффициентов отрицательный, система заведомо неустойчива. При равенстве нулю коэффициента a₀ система находится на границе устойчивости, при равенстве нулю коэффициента a_i при i0 система находится на границе устойчивости, или неустойчива.

Критерий устойчивости Гурвица находит широкое применение при анализе систем третьего и четвертого порядков, когда известны параметры системы. Кроме того, он позволяет получить аналитическое выражение (выражения) для границ области возможных значений какого-либо параметра (параметров) системы, при которых сохраняется устойчивое состояние системы.

Это алгебраический критерий, который предполагает рассмотрение характеристического уравнения в стандартной форме

.

Из его коэффициентов по следующему правилу составляется матрица Гурвица: на главной диагонали сверху вниз вписываются коэффициенты характеристического уравнения от a_n-1 до a₀ включительно. В каждом столбце вниз от диагонали записывают коэффициенты при возрастающих степенях оператора Лапласа  р, вверх  при убывающих степенях р. Недостающие элементы в столбце заполняются нулями.

dim H=n × n.

Формулировка критерия. Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы при a_n>0 все n определителей, получаемых из матрицы Гурвица Н, были положительны.

Где ;

; ;

.

Границы устойчивости по критерию Гурвица определяются при значениях определителей, равных нулю.

4 (5.12) .3 Оценка устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам (критерий Найквиста)

Для проверки устойчивости замкнутой системы можно использовать логарифмические частотные характеристики разомкнутой, которые определяются экспериментально или строятся почти без вычислений Правила построения ЛАЧХ см.выше.

Формулировка критерия Найквиста. Для замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы на частотах, где ЛАЧХ положительна (т.е. (ω) > 0), фазовая частотная характеристика разомкнутой системы не пересекала ось  180⁰ или пересекала ее четное число раз.

Рис. 33  Логарифмические частотные характеристики,

иллюстрирующие критерий Найквиста

Замкнутая система будет находиться на границе устойчивости, если на той же частоте, где (ω)=0, фазовая частотная характеристика разомкнутой системы пересекает ось – 180^о.