Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

А.В.Шатина МО 2012 версия 20.09.2013

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

5.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 209 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Метод «северо-западного угла» нахождения начального плана перевозок

Назначим максимально возможную перевозку из пункта от-

правления A1	в пункт назначения				B1,	т.е. заполняем верхний ле-
вый элемент	матрицы	X	x	i 1,...,m		первоначальной крайней
			ij	j	1,...,n
				j	1,...,n

точки. При этом либо пункт отправления A1, либо пункт назначения B1, либо оба эти пункта окажутся полностью обслуженными.

Если пункт A1 оказался полностью обслуженным, то выводим из рассмотрения первую строку матрицы X и рассматриваем только оставшуюся часть матрицы. Если пункт назначения B1 оказался полностью обслуженным, то выводим из рассмотрения первый столбец матрицы X . Если оба пункта A1 и B1 оказались полностью обслуженными, то вывести из рассмотрения следует или первый столбец, или первую строку матрицы X . Для определенности условимся выводить из рассмотрения первый столбец матрицы X . В этом случае в число базисных элементов на следующем этапе введем элемент с нулевым значением перевозки, стоящий в северо-западном углу оставшейся матрицы X .

Эту процедуру продолжаем до тех пор, пока все пункты отправления и пункты назначения не будут обслужены. Последней перевозкой будет перевозка из пункта отправления Am в пункт назначения Bn .

Вкачестве примера найдем первоначальный план перевозок

взадаче, представленной платежной матрицей в виде таблицы 7.2. Назначим максимально возможную перевозку из пункта от-

правления A1 в пункт назначения B1: x11 20 . Пункт A1 оказался полностью обслуженным. Первую строку матрицы X выводим из рассмотрения. В оставшейся матрице назначаем максимально

возможную перевозку из пункта	A	в пункт	B	: x	21	10	. Тогда
	2		1		21

пункт B1 оказывается обслуженным, и первый столбец выводим из рассмотрения. В оставшейся матрице назначаем максимально

возможную перевозку из пункта A2 в пункт B2 : x22 30 . Тогда оба пункта A2 и B2 оказываются полностью обслуженными. Второй столбец матрицы X выводим из рассмотрения. Назначаем максимально возможную перевозку из пункта A2 в пункт B3 : x23 0. В оставшийся элемент матрицы X записываем максимально возможную перевозку из пункта A3 в пункт B3 : x33 20. Полученный план перевозок представлен в таблице 7.3.

Таблица 7.3

Первоначальный план перевозок

			b	30	b	30	b	20
			1		2		3
a		20		20
1
a	2	40		10		30		0
	2

a3		20						20

Для краткости в матрице плана перевозок не пишем нулевые значения небазисных перевозок.

Вычислим значение функционала

c, x	3	3	ij
	ij
		c	x
	i 1 j 1

для

найденного плана перевозок:

c, x 1 20 1 10 3 30 3 0 0 20

120

Метод «северо-западного угла» не учитывает стоимости перевозок. Поэтому начальный план может оказаться далеко не оптимальным. Следующий метод стоимости перевозок учитывает.

Метод минимума по матрице нахождения начального плана перевозок

В платежной матрице выберем минимальный элемент ci0 j0

и назначим максимально возможную перевозку из пункта			Ai	0	в
				0
пункт B j	0	. Если минимальная стоимость перевозки достигается
	0

на нескольких элементах, то выберем любой из них. Тем самым

пункт отправления

Ai0

или пункт назначения

B j0

(или оба пунк-

та одновременно) будут обслужены. В платежной матрице соответствующая строка или столбец выводятся из дальнейшего рассмотрения. Если и пункт отправления, и пункт назначения одновременно обслужились, то для определенности будем выводить из рассмотрения столбец матрицы X .

В оставшейся части платежной матрицы вновь ищется минимальный элемент, и процедура повторяется до тех пор, пока первоначальный план перевозок не будет получен. В качестве примера обратимся к платежной матрице, задаваемой таблицей

7.2.

В качестве минимального элемента возьмем

c	0
31

и назна-

чим максимально возможную перевозку из пункта

в пункт

x31

. Тогда пункт

окажется полностью обслуженным, и

третью строку матрицы

выводим из рассмотрения. В остав-

шейся платежной матрице выбираем минимальный элемент c21 1 и назначаем максимально возможную перевозку из пункта A2 в пункт B1: x21 10. Тогда пункт B1 окажется полностью обслуженным. Выводим из рассмотрения первый столбец матрицы X . В оставшейся платежной матрице выбираем элемент c12 2 и назначаем максимально возможную перевозку из пункта A1 в пункт B2 : x12 20 . Тогда полностью обслуженным оказывается

пункт

A1, и первую строку матрицы

ния. В оставшейся платежной матрице

выводим из рассмотре-

c22 c23 3

. Выбираем

c22

та

3 и назначаем максимально возможную перевозку из пунк-

A2 в пункт B2 :

x22 10

. Тогда пункт B2 оказывается полно-

стью обслуженным, и из рассмотрения выводится второй столбец матрицы X . В оставшийся элемент x23 матрицы X назначаем максимально возможную перевозку из пункта A2 в пункт B3 : x23 20 . Полученный план перевозок представлен таблицей 7.4.

Таблица 7.4

Первоначальный план перевозок

			b	30	b	30	b	20
			1		2		3
a		20				20
1
a	2	40		10		10		20
	2

a3		20		20

Для найденного плана перевозок
	c, x 1 10 0 20 2 20 3 10 3 20 140 .
Перейдем непосредственно к методу потенциалов решения
транспортной задачи.
						Метод потенциалов
1) Привести задачу к замкнутой модели.
2)	Найти			первоначальный план				перевозок x		(начальную
крайнюю точку множества допустимых элементов).
3) Провести исследование плана перевозок x . Для найден-
ного	плана						перевозок	построить		матрицу
C c	i 1,...,m	,	c	u	i	v	j . Переменные	ui ,	v j называются потен-
ij			ij
	j 1,...,n								n m 1
циалами. Они определяются из системы										уравнений
ui v j cij для базисных индексов i,								j . Для однозначного опре-

деления потенциалов положим один из потенциалов равным заданной величине, например, u1 0 .

4) Провести исследование матрицы

			C		ij cij			ij i 1,..., m, j 1,..., n .
				C
				C			c
Если 0			, то исследуемый план перевозок x является решением
задачи. Если среди элементов матрицы									есть отрицательные, то
выберем			наименьший			элемент.			Пусть,	например,
i	j min ij 0.
0	0	i, j
		i, j

5) Построить новый план перевозок, являющийся крайней

точкой множества допустимых элементов: x x t , где

ij ij ij

							85
		i i	0		j j	0
	t,	i i		,	j j		;
tij					для базисных индексов i, j ;
tij	t или 0				для базисных индексов i, j ;
		для		всех остальных индексов.
	0	для		всех остальных индексов.

Здесь t 0 выбирается так, чтобы одна из базисных компонент обратилась в ноль, а остальные были по-прежнему неотрицательны. Тогда вектор матрицы A, соответствующий этой компоненте, выводим из числа базисных, а вектор матрицы A, соот-

ветствующий переменной xi		0	j	0	, вводим в число базисных векто-

ров. Здесь под матрицей A понимается матрица ограничений за-
дачи, задаваемых уравнениями (1), (2).
Далее вновь начинаем			исследование полученной крайней
	, т.е. возвращаемся к пункту 3).
точки x

В невырожденной задаче в ноль может обратиться только одна из компонент вектора x . В вырожденной задаче в ноль может обратиться несколько компонент. В этом случае из числа базисных векторов исключается любой вектор с нулевым значением, как правило, исключается вектор с наибольшей стоимостью перевозок.

Пример 2. Решить транспортную задачу, заданную платежной матрицей (табл. 7.1).

Решение:

1)В примере 1 задача была приведена к замкнутой модели. Соответствующая платежная матрица представлена таблицей 7.2.

2)В качестве первоначального плана перевозок возьмем план, полученный методом «минимум по матрице» и представленный таблицей 7.4.

3)Построим матрицу C :

	v1 0	v2 2	v3 2
u 0	0	2	2
1
u2 1	1	3	3
u3 0	0	2	2

4) Найдем матрицу C C :
	1	0	1

	0	0	0	.
	0	2	2
	0	2	2

В качестве наименьшего отрицательного элемента матрицы возьмем 32 2.

5) Построим новый план перевозок, добавляя в предыдущий

план перевозок на место нулевого небазисного элемента																	x32	ве-
личину t 0 :
								20

				10 t			10 t					20

				20 t				t
t10
t10

								20

				20								20

				10				10


Перейдем к пункту 3 ).


3 ) Построим матрицу C :
					v	2			v	2	2			v	3	4
					1					2					3
	u		0			2					2					4
		1
	u	2	1			1					1					3
		2
	u3		2			0					0					2

4 ) Найдем матрицу C C :
								1	0			1

								0	2			0	.
								0	0			2
								0	0			2

Наименьший отрицательный элемент полученной матрицы: 33 2 . Добавляя в предыдущий план перевозок на место

нулевого небазисного элемента x33 величину t 0 , получим тре-

тий план перевозок. Вычислим значение функционала второго плана перевозок:

c, x 1 20 0 10 2 20 0 10 3 20 120.

5 ) Построим новый план перевозок:

c, x

для

					20													20
	20 t							20 t			t10				30				10
	20 t							20 t							30				10

	10 t				10			t										10	10
	) Построим матрицу C								:
3	) Построим матрицу C								:

								v 0			v	2	2			v	3	2
								1				2					3
			u				0	0					2					2
		1
			u	2			1	1					3					3
				2
		u3				2		-2					0					0
4	) Найдем матрицу C									C		:
4	) Найдем матрицу C									C		:
									1	0			1
									0	0			0
									0	0			0	.
									2	0			0
									2	0			0

Так как 0 , то третий план перевозок, полученный в пункте 5 ), является оптимальным. Найдем значение функционала c, x :

c, x 1 30 2 20 0 10 3 10 0 10 100 .

Заметим, что в исходной задаче, задаваемой платежной матрицей в виде таблицы 7.1, пункт отправления A3 отсутствовал,

он был искусственно введен для сведения задачи к замкнутой модели. Тот факт, что в полученном плане перевозок x32 10 0,

x	10 0 , означает, что пункты назначения	B	, B	не будут
33		2	3

полностью обслужены. Выпишем ответ для поставленной задачи.

	0	20	0			100
Ответ: x				, S	min	100	. ●
ˆ	30	0	10		min
	30	0	10

Пример 3. Решить транспортную задачу, заданную платежной матрицей (табл. 7.5).

										Таблица 7.5

			b	11	b	2	b	6	b	7
			1		2		3		4
a		7		2		3		4		1
	1
a	2	8		3		4		2		5
	2
a3		5		1		7		5		7
a	4	6		5		2		8		2
	4

Решение:

1) В данной задаче

4	4		j
i		b	j
a		b
i 1	j 1

, т.е. имеем замкнутую

модель транспортной задачи.

2) Методом северно-западного угла найдем начальный план перевозок:

						b	11			b		2				b		6	b		7
						1			2							3			4
	a				7		7
			1
	a		2		8		4					2						2
			2
	a3				5													4			1
	a		4		6																6
			4

3) Построим матрицу C :

						v	2			v	2		3			v		1	v	4	3
						1					2					3				4
	u				0		2					3						1			3
			1
	u			2	1		3					4						2			4
				2
	u3				4		6					7						5			7
	u	4			1		1					2						0			2
		4

4) Найдем матрицу C													C	:
								0				0			3	2
								0				0			0	1
								0				0			0	1
								5				0			0	0	.

								4				0			8	0
								4				0			8	0

Наименьший отрицательный элемент матрицы

5 0 .

равен

5) Построим новый план перевозок, добавляя в предыдущий план перевозок на место нулевого небазисного элемента x31 ве-

личину t 0 :

						7
						4 t				2							2 t
						t											4 t				1
	t 4																				6
	t 4

						7
						0				2								6
						4															1
																					6
	Заметим, что здесь обратились в ноль два элемента
x33	. Исключим из числа базисных компонент элемент
большей стоимостью перевозки.

	Перейдем к пункту 3 ).
												C	:
	3 ) Построим матрицу												:
							v		2				v	2		3			v 1			v	4		8
							1							2						3			4
		u1 0							2						3					1				8
		u		2		1			3						4					2				9
				2
		u3			1				1						2					0				7
		u	4		6			-4						-3						-5				2
			4

	4 ) Найдем матрицу C C :
											0		0		3				7
											0		0		0				4
											0		0		0				4
											0		5		5			0		.
											0		5		5			0

											9		5		13			0
											9		5		13			0

Наименьший отрицательный элемент матрицы

14 7 0 .

x21	и
x33	с

равен

										90

5 ) Построим новый план перевозок, добавляя в предыду-
щий план перевозок на место нулевого небазисного элемента																				x14
величину t 0 :

					7 t										t
					0			2				6
					4 t										1 t
															6
		t 1

					6										1
					0			2				6
					5
															6
	) Построим матрицу								C :
3	) Построим матрицу								C :
						v	2		v	2	3		v 1			v	4		1
						1				2				3			4
		u		0			2				3			1				1
		1
		u	2		1		3				4			2				2
			2

		u3		1			1				2			0				0

		u4 1					3				4			2				2
4		) Найдем матрицу C C										:
4		) Найдем матрицу C C										:
									0		0	3	0
									0		0	0	3
									0		0	0	3
									0		5	5	7

									2	2		6	0
									2	2		6	0

Наименьший отрицательный элемент матрицы равен

2 0.

5 ) Построим новый план перевозок, добавляя в предыдущий план перевозок на место нулевого небазисного элемента x42 величину t 0 :

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 209 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.04.2019188.42 Кб3zachet_po_ivt.doc
#
10.05.2015741.01 Кб225Zadachi_po_khimii.pdf
#
10.05.2015785.84 Кб33Zadachi_s_resh.pdf
#
10.05.2015844.92 Кб9zadanie_111.docx
#
10.11.201928.12 Кб3«Бюджетирование» - как метод финансового планир...docx
#
10.05.20155.05 Mб90А.В.Шатина МО 2012 версия 20.09.2013.pdf
#
25.08.20192.81 Mб8аис-лекц.doc
#
10.05.2015381.01 Кб52Аморфизация поверхности кристалла.docx
#
10.05.20151.36 Mб63Архитектура ВМ и систем.pdf
#
27.08.2019109.42 Кб31БДЗ_Часть_2_МЕНЕДЖЕРЫ.docx
#
10.05.2015282.62 Кб23БЖД_ЛР_1.doc