Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

А.В.Шатина МО 2012 версия 20.09.2013

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

5.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2018 19 20 > Следующая >>>

171

			Рис. 13.3
	Найдем неизвестные		величины
	ˆ	t	и условия
условий для функции x2		t	и условия
t	и t 4 :

C1,C2 ,C3 ,

из краевых

непрерывности в точках

t 4

Откуда находим

x2 0 0 C1 0	,
ˆ
x2 4 0 C3 8	,
ˆ
t 2 2 C2 ,
2 4 C2 2 4 8.
C1 0, C2 4, C3	8, 1. Тогда

2t, t 0;1 ,

, t 0;1 ,

2t 4,

t 1;3 ,

4t D

, t 1;3 ,

t 3;4 .

8t D

, t 3;4 .

2t 8,

Найдем неизвестные величины D1, D2 , D3 из краевых условий для функции xˆ1 t и условия непрерывности в точках t 1 и t 3:

xˆ1 0 xˆ1 4 0 D1 16 D3 0 , t 1 1 D1 3 D2 ,

172

t 3 3 D2

Решая полученную систему линейных уравнений относи-

тельно	D1, D2 , D3	, находим: D1							0, D2 2, D3 16 , следова-
тельно,
					t		2	,	t 0;1 ,
					t			,	t 0;1 ,
		ˆ	ˆ			t	2	4t 2,		t 1;3 ,
		ˆ	ˆ				2
		x x
			1
						t	2	8t 16,		t 3;4 .
						t		8t 16,		t 3;4 .

Проведем исследование полученного решения. Рассмотрим
допустимую функцию							ˆ
допустимую функцию				x t x t h t . Из ограничений задачи

получим условия на функцию

h 0 h 4 0, h 0 0, h 4 0,		x h

		ˆ

Последнее неравенство перепишем в виде:

	2 x h 2

			ˆ
Тогда
	4	при t 0;1
0 h	4	при t 0;1
			0	при t
4 h			0	при t
Оценим разность	ˆ			ˆ
Оценим разность	B x h B x :
B x h B x			4
B x h B x			x h dt
ˆ	ˆ		ˆ
			0

ˆ . x

,и t 3;4 ,

1;3 .

xˆdt hdt

		4			4
				4
				4

	p2hdt p2h			0	p2hdt
	p2hdt p2h			0	p2hdt
		0			0
p2	4 h 4 p2 0 h 0 p2					4
p2	4 h 4 p2 0 h 0 p2		4 h 4 p2 0 h 0 p2hdt

						0
	4	1	1			4

	p2 hdt	p2 hdt	p2 hdt			p2 hdt 0	,
	0	0	1			3
так как на каждом из отрезков 0;1 , 1;3 , 3;4 произведение
так как на каждом из отрезков 0;1 , 1;3 , 3;4 произведение								p2 h

меньше или равно нулю.

				173
Ответ:
	t		2	, t 0;1 ,
	t			, t 0;1 ,
ˆ		t	2	4t 2,	t	1;3 ,	absmin з .
ˆ			2
x
		t	2	8t 16,		t 3;4 .
		t		8t 16,		t 3;4 .

●

Задачи для самостоятельного решения.

Решить экстремальные задачи:

							1, x 0 .
13.1.		x sin tdt extr; x					1, x 0 .


	7 4						x 1, x 0 0 .
13.2.			x sin tdt extr;				x 1, x 0 0 .

		0
	4				x dt extr;
13.3.				2
13.3.		x					x 1, x 4 0 .
	0
	3				x dt extr;
13.4.				2
13.4.		x					x 1, x 0 5 .
	0
	1					x 2, x 0 x 1 0 .
13.5. xdt min;						x 2, x 0 x 1 0 .

	0
	2					x 2, x 0 x 2 0,
13.6.		xdt min;				x 2, x 0 x 2 0,

	0

x 2

2	x 2, x 0 x 2 0, x 0 0 .
13.7. xdt min;	x 2, x 0 x 2 0, x 0 0 .

0

Занятие 14. Задача оптимального управления

Пример 1. Решить экстремальную задачу:

T min;	3 x 1, x 0 3,	x 0 x T 0,

(продолжение)

x T 5 .

Решение: Приведем поставленную задачу к задаче оптимального управления. Для этого вместо функции x введем век-

174

тор-функцию x1 , x2 и управление u , где Тогда получим задачу:

T min;	3 u 1, x 0 3,		x	2	0 x	2	T
	1	0,		2		2
	x1 x2	0,	x2 u 0 .

Составим функцию Лагранжа задачи:

x, x2

0, x1 T

x , u x

5	,

T			T	p	x	x				p				x			u dt
T				p	x	x				p				x			u dt

0				1	1			2					2		2
			0
	2	x	T 5				3		x		2	0				4	x	2	T
	2	1					3				2					4		2

x		0
1	1

Выпишем необходимые условия локального экстремума:
а) система уравнений Эйлера для лагранжиана
		L p1 x1			x2 p2 x2 u :

		d	Lx Lx 0				d	p1 0 ,
		dt	Lx Lx 0				dt	p1 0 ,
		dt		1	1		dt
				1	1
	d	Lx		Lx	0	d	p2 p1 0		;
	dt	Lx		Lx	0	dt	p2 p1 0		;
	dt		2	2		dt
			2	2

б) условия трансверсальности для терминанта

l T x			0					2	x	T 5
0	1	1						2	1
				L			0 l				x		0
					x						x		0
						1					1
		L			T l					x		T
			x							x		T
				1			0 l				1
			L				0 l			x			0
					x					x			0
						2					2
		L			T l					x		T
			x							x		T
				2							2

в) условие оптимальности:

x		2	0		4	x	2	T
	3	2			4		2
p1	0	1,
p1	T 2			,
p2	0 3 ,
p2	T 4			;

						0,
				1, p	2	0,
					2
		ˆ	ˆ
min		ˆ	ˆ	3,		p2	0,
min	p2u p2u		u	3,		p2	0,
u 3;1
				3;1 ,			p	2	0.
								2

г) условие стационарности функции Лагранжа по T :

0 2 x1 T 4 x2 T 0 ;

д) условие неотрицательности: 0 0 .

Так как	x1 T 0, 4	p2	T , x2 T u T , то условие ста-

		175
ционарности г) можно записать в виде: 0 p2				ˆ	T .
ционарности г) можно записать в виде: 0 p2				T u	T .
Если 0 0, то	p2 T 0	, либо	uˆ T 0	. В последнем слу-

чае в силу условия оптимальности опять приходим к равенству

p2 T 0.

Из

системы

уравнений

Эйлера

получаем:

p1 t C,

p2 t

C t T . Если при этом p2 t 0 ,

то из условий

трансверсальности следует 1 2 3

, т.е. все множи-

тели Лагранжа равны

нулю.

Если C 0

, то

t 0

при

t 0;T ,

C1 .

поэтому

Так

как

x2 3, x2 3t

0, 3T 0

x2 0 0, x2 T 0 , то приходим к равенствам

откуда T 0

, что противоречит условию T 0 . Аналогично при-

дем к противоречию в случае C 0 . Поэтому 0

0 .

Положим

0 1. Тогда

T 1. Так как

p2 T 0

, то

T u

. Разберем отдельно эти два случая.

либо u T

1, либо u T 3

Случай

p2 T 1.

силу уравнений Эйлера

u T 1,

функция

является линейной,

причем эта функция обяза-

тельно должна менять знак в некоторой точке

на отрезке

0;T , иначе мы придем к противоречию, как это было при рас-

смотрении случая 0

0. Тогда

t C

t T 1 и

C 0.

Из условия оптимальности получаем:

3, t 0; ,

3t A1 , t 0; ,

1, t ;T .

t A , t

;T .

Найдем A1, A2 ,

из краевых условий и условия непрерывно-

t в точке

сти функции x2

x2 0 0 A1 0,

T ,

x2 T 0 A2

t 3 T T4 .

176

Тогда

					3t
					2			, t 0;T 4 ,
	3t, t 0;T 4 ,					A		, t 0;T 4 ,
					2		3
			x		2
x			x
ˆ		t T 4;T .	ˆ	t T
1			1	t T			2
1	t T ,		1				2			t T 4;T .
							A		,	t T 4;T .
					2			4
					2


Найдем	A3 , A4 ,
ности функции		ˆ	t
		x1

T из краевых условий и условия непрерыв- в точке t T 4:

	x1 0 3 A3					3	,
	ˆ		5 A4			5		,
x1 T			5 A4			5		,
ˆ
	3T	2		9T	2
t T 4	3T		3	9T		5	T
t T 4	32		3	32		5	T
	32			32

Получаем экстремальный элемент

8 3

3, t

x t

;

Случай 2.

, p2

. В силу уравнений Эйлера

u T 3

p2 t

t C2 t T 1 3 и C2

функция

является линейной:

В некоторой точке t

интервала 0;T функция

p2 t должна

менять знак. Поэтому

p2 t 0

при

t 0;

t 0

при

t ;T .

Из условия оптимальности получаем:

t 0; ,

t B1 , t 0; ,

3, t ;T .

3t B2 ,

t ;T .

Найдем B1, B2 , из краевых условий и условия непрерывно-

сти функции x2 t в точке t :

x2 0

0 B1 0,

177

x		T 0 B
ˆ	2	2

3 3T

Тогда

B , t 0;3T

4 ,

t, t 0;3T 4 ,

3 t T

3t 3T , t 3T 4;T .

, t 3T 4;T .

Найдем

B3 , B4 ,T

из краевых условий и условия непрерыв-

ности функции x t в точке t 3T 4

ˆ1

x1 0 3 B3 3,

x1 T 5 B4

	9T	2		3T	2
t 3T 4			3			5
	32			32

T	2

		64
		3
		3

Это значит, что во втором случае нет допустимых экстрема-

лей.

Проведем исследование полученной

ется другой допустимый элемент	x ,T
ˆ
функцию x на отрезке [T ;T ]:

экстремали. Пусть име-

иT T . Доопределим

x t 5, В силу условий на левом

ˆ t [T;T

конце

отрезка интегрирования

функции

xˆ и

xˆ

в точке	2	можно представить в виде:

	3


s x s ds 3, x s x s ds 3 .
ˆ
	0

Поскольку

x s 3 x s

ˆ

xˆ x

s 0;

s x s

, то
x s ds 0 ,	(1)

178

Причем равенство здесь возможно только, если во всех точках

ˆ		t 0; .
непрерывности x t x t 3

Аналогично, с учетом условий на правом конце отрезка интегрирования

Так как

	ˆ							ˆ
x	T	s	x s ds 5,				x	T	s x s ds 5 .
x		s	x s ds 5,				x		s x s ds 5 .
ˆ
ˆ				ˆ
				s
	x s					ˆ
x s 1	x s					;T , то
ˆ
					ˆ	s x s x s ds 0
	x x				T
	x x									,
	ˆ
	ˆ						ˆ

(2)

причем равенство


непрерывности	ˆ
непрерывности	x t

здесь

x t

возможно1 t

;

только, если во всех точках
T	.
ˆ

Из	(1) и (2)
ˆ	ˆ	.
x t x t t 0;T

Ответ:

следует, что

Отсюда T T

xˆ

83 .

, следовательно,

			3t	2					2
			3t		3, t			0;	2	,
					3, t			0;		,
			2						3
x t			2						3				,
ˆ		2
	t	2			8t	17				2		8
	t				8t	17	,	t		2	;	8
							,	t			;		.
	2				3	3				3		3
	2				3	3				3		3



ˆ	8	absmin
T	3	absmin

●

Задача, рассмотренная в примере 1, является частным случаем простейшей задачи о быстродействии, вошедшей во многие монографии по оптимальному управлению. Это задача о наибыстрейшей остановке лифта в шахте. Лифт управляется под действием внешней силы, которая может изменяться в заданных пределах, регулируемых человеком. Предполагается, что возможности действующей силы, а, следовательно, и ускорения, ограничены какой-то величиной, например, ускорение может из-

меняться от -1 до +1.		Требуется за кратчайшее время	T остано-
вить лифт	x T 0 ,	для определенности в начале	координат

x T 0 . Задача формализуется следующим образом:

179

T inf;

x 1,

x 0	,
1

x 0		,
	2
	2

x T

Аналогично формализуется задача о машине, движущейся прямолинейно по горизонтальной дороге. Машина может двигаться в любую сторону с ускорением, не превышающим единицу. Требуется остановить машину в определенном месте за кратчайшее время.

Пример 2. Решить экстремальную задачу:

2		dt min;
B x x		dt min;
	2

0

x 6,

x 0 0, x 0 0,

x 2

Решение: Сведем поставленную задачу к задаче ного управления. Для этого введем вектор-функцию x1

оптималь-

, x2 и

управление u , где

x	x, x	2
1		2

Тогда получим задачу:

2							1	0
							1
	u	2	dt min;	u	6, x
	u		dt min;	u	6, x
0				x	x		0,
				x	x		0,
						2
				1		2

0, x2

x		u
	2
	2

0, x	2 17,
1

Составим функцию Лагранжа задачи:

2	u						p	x		x			p		x
	u						p	x		x			p		x
						2
			0				1		1			2		2		2
0					0				x		2 17
		2	x	2	0			3	x		2 17
		2		2				3		1

u dt

x		0
1	1

Выпишем необходимые условия локального экстремума: а) система уравнений Эйлера для лагранжиана

L0u 2 p1 x1 x2

dtd Lx1 Lx1 0

dtd Lx2 Lx2 0 dtd

x2 u :

p1 0 ,

p1 0 ;

б) условия трансверсальности для терминанта

x		0		2	x	2
1	1	0 l
L			x1 0
	x1
L	2 l		x1		2
x1

0	x	2 17
3	1

p1 0 1,

p1 2 3 ,

180

0 lx

p2 0 2 ,

lx 2 p2 2 0

;

в) условие оптимальности:

min 0u

;

p2u 0u

p2u

u 6

г) условие неотрицательности:

0 .

Если

то

из

условий

а)

б)

следует, что

t C,

t C t 2 . Условие оптимальности примет вид:

min p2u

p2u .

u 6

Если

C 0 ,

то

p1 t 0,

p2 t 0 ,

из б) следует, что

2 3 0

, т.е. все множители Лагранжа равны нулю. Если

C 0,

то

t 0

при

t 0;2 ,

следовательно,

тогда решения задачи на минимум мы не

u B x

получим.

Если

C 0

то

t 0

при

t 0;2 ,

следовательно,

6t C1,

C1t C2 .

u 6 x2

6 x2

x1 3t

0 0 , то

. Далее, используя краевые усло-

Так как x2

получим противоречивую систему ра-

вия для функции x1 t ,

венств:

x1 0 0

C2 0,

12 C2

17 .

x1 2 17

Следовательно,

0 0 . Положим 0 1. Тогда условие оп-

тимальности примет вид:

min u

p2u u

u 6

Из уравнений Эйлера и условий трансверсальности получа-

ем p2 t C t 2 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2018 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.04.2019188.42 Кб3zachet_po_ivt.doc
#
10.05.2015741.01 Кб223Zadachi_po_khimii.pdf
#
10.05.2015785.84 Кб33Zadachi_s_resh.pdf
#
10.05.2015844.92 Кб9zadanie_111.docx
#
10.11.201928.12 Кб3«Бюджетирование» - как метод финансового планир...docx
#
10.05.20155.05 Mб90А.В.Шатина МО 2012 версия 20.09.2013.pdf
#
25.08.20192.81 Mб8аис-лекц.doc
#
10.05.2015381.01 Кб52Аморфизация поверхности кристалла.docx
#
10.05.20151.36 Mб63Архитектура ВМ и систем.pdf
#
27.08.2019109.42 Кб30БДЗ_Часть_2_МЕНЕДЖЕРЫ.docx
#
10.05.2015282.62 Кб23БЖД_ЛР_1.doc