Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

А.В.Шатина МО 2012 версия 20.09.2013

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

5.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 204 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

				Проведем исследование полученного в пункте 2.2) решения.
																										~
Рассмотрим допустимую точку																										P 5 1, 2 , 60 3																из окрест-
ности точки										P 5;0;60 . Из ограничений задачи получим усло-
вия на						1, 2			, 3			:
			9 3 5								1		3			2		60						3	0,						3		3			2		4						1
											1					2								3							3					2								1
						0,																											0,
					2	0,																									2		0,
					2																										2
				4 5						3					60								40.											3									36.
				4 5					1	3				2	60						3		40.							3		1		3	2						3		36.
									1					2							3											1			2						3
																				~	f					P :
				Оценим разность														f0		P	f				0	P :
			~																2
f			P f					P				5							2	2 5								8			2 60									105
f	0		P f				0	P				5					1			2 5							1	8		2	2 60								3	105
	0						0										1										1			2									3
							2	8 1 8 2															2					0		1 R,							2 0.
					1			8 1 8 2										2 3 1						2 2				0		1 R,							2 0.
																				~		f0				P
				Так как разность															f0	P		f0				P		принимает неотрицательные
значения								не обязательно															для			малых				по				модулю										значений
1		, 2			, 3		, то		P 5;0;60 absmin з,																		Smin		105.

Ответ:

P 5;0;60 absmin з, Smin

105

●

Для функции, непрерывной на ограниченном замкнутом множестве, существует точка, в которой функция принимает наибольшее значение, и точка, в которой функция принимает наименьшее значение (теорема Вейерштрасса). Функция, дифференцируемая в ограниченной области и непрерывная на ее границе, достигает своего наибольшего и наименьшего значений либо в стационарных точках, либо в граничных точках области.

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значение функ-
ции f x1, x2 x1x2 9 x1 x2 на множестве
D x1, x2 : x1	x2 12, x1 0, x2 0 .
Решение: Множество	D представляет собой треугольник,

расположенный в первой четверти на плоскости Ox1x2 с верши-

нами в точках O 0;0 , A 12;0 , B 0;12 .

Найдем стационарные точки функции f :

										1		x		2	0,
										x		x			0,
f											1		9,
f											1
		x		9 2x		x		0,			x
	x	x		9 2x		x		0,			x		0,
	x		2	1			2				x		0,
	1											2			.
	f	x		9 x	2x			0.			1		0,		.
		x		9 x	2x			0.			1
											x
			1	1			2
x2			1	1			2			x2			9,
x2										x2			9,
												x			3.
									x			x		2	3.
										1				2

	Таким			образом,		получены	стационарные точки функ-
ции	f	:	P 0;0 , P		9;0 , P	0;9 , P 3;3		. Заметим, что только одна
			1	2	3	4
точка			P4 3;3 является внутренней точкой множества D . Осталь-

ные точки лежат на границе этого множества. Вычислим значение функции в этих точках:

f P

27 .

Исследуем функцию

на границе множества D .

На стороне

0 .

На стороне

3x1 12 x1 .

На стороне

12 x1, 0 x1 12,

Найдем значение этой функции в стационарной точке и на

концах отрезка

0;12 . Имеем

6x1

36,

0 при x1 6 . Да-

лее,

x 12

108.

Сравнивая полученные

значения функции

, заключаем:

f	max	f 3;3 27,	f	min
	max			min

6;6

108

Ответ: fmax 27, fmin 108 . ●

В ряде случаев, когда n 2, эффективным оказывается графический метод решения задач на экстремум. Графическое решение задачи включает себя следующие этапы:

1)построение множества допустимых точек X ;

2)построение семейства линий уровня целевой функции f0 x1, x2 c и нахождение точек их касания с кривыми, ограни-

чивающими множество X ;

3) исследование поведения целевой функции при движении вдоль ограничения к исследуемой точке и от нее.

Рис.3.1

Пример 4.	x2	x	2	4 2 extr;	x2 x2 4,		4x2	x2 4 .
	1		2		1	2	1	2
Решение: Множество допустимых точек задачи ограничено
2	2	4 и окружностью			2	2	и на рисунке 1
эллипсом 4x1 x2		4 и окружностью			x1	x2 4	и на рисунке 1

изображено в виде заштрихованной замкнутой области на плос-

кости

Ox1x2 . Линии уровня целевой функции задаются уравнени-

ем x2

4 2 c и при c 0 представляют собой множество

концентрических окружностей с центром в точке 0; 4 и радиу-

4 2 c

сом

c .

Окружность

имеет общие точки со

множеством

допустимых точек при выполнении условия

c 6 .

Поэтому

минимальное

значение

функции

, x

достигается в точке P 0;2 и равно 4, а

максимальное

значение

этой

функции

достигается

в точке

0; 2

и равно 36.

Линии 1,2,3 на рисунке 1 задаются соответственно уравне-

ниями:

x	2	x		2
x		x	2	4
1			2
		Ответ:
		P 0;2
		1

4,	x	2	x			2			2	x		2	c, c
4,	x		x		2	4 36, x				x	2	4	c, c
	1				2			1			2
P 0; 2 absmax з, S							max	36.
2							max
absmin з, S				min		4; P 0; 2 absmax з, S								max
				min		2								max



4;36

36.

●

Задачи для самостоятельного решения

3.1.

3.2.

x x		extr;
1	2

x x2		extr;
1	2

x2	x2
1	2

x2	x2
1	2



1 1

3.3.ex1 x2 x1 x2 extr; x1 x2 1, x1 0, x2 0.

3.4.x12 x22 x1x2 x1 x2 extr; x1 x2 3, x1 0, x2 0.

3.5.

3.6.

3.7.

x x	2	x		extr;				x2 x2		x2
1	2	3						1	2	3
x2	x2 x2						extr;		x	x	2
1			2			3			1		2
2x2		2x			4x			3x	extr;
1				1			2	3
2x			x			x		3, x		0, 8
		1		2			3		2

1.
x	1; x	0,
3	1

x	3x	3x
1	2	3

x
1
40

x	2	x
	2	3

3.8.x1x3 2x2 extr; 2x1 x2 3x3 10, x2 0;

3x1 2x2 x3 6

3.9.Найти наибольшее из значений, которые принимает выраже-

ние		A x 16y		,	если					x	и	y	удовлетворяют неравенству

x	2	27xy 187 y	2		209	. Найти все пары чисел x; y , при кото-

рых это значение достигается.
3.10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
					f x , x			2			x2	x2		4x 3x		2
					1						1		2	1
на множестве D x , x							2		: x2 x2				25 .
					1						1	2
3.11. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
					f x1, x2 x1x2 x1 2 x2 4
на множестве D x1, x2 :0 x1 4,														0 x2	3 .
		Указание: в задачах 3.1-3.8 на нахождение всех экстремумов

целевой функции при применении метода Лагранжа следует сначала решать задачу на минимум, а затем на максимум, предварительно сведя ее к задаче на минимум.

Занятие 4. Элементы выпуклого анализа. Выпуклые задачи

ли

Определение. Множество A

x1, x2 A и 0;1 элемент

R	n

называется
1 x	2

выпуклым, ес-

▲

Другими словами,

множество A R

выпукло, если с двумя лю-

быми своими точками оно целиком содержит и отрезок, соеди-

няющий их.

Пусть задана функция

: R

R R R .

Рассмот-

рим два множества:

dom f x Rn : f x - эффективное множество,

epi

f a, x R

x a,

x dom f

- надграфик.

Определение. Функция

называется выпуклой, если

epi f

выпуклое множество. Функция

называется собственной,

если

f x x и

dom f

▲

Утверждение. Собственная функция выпукла тогда и толь-

ко тогда, когда выполняется неравенство Иенсена:

, 0;1 . ■

f x1

1 x2

f x1 1

f x2

x1, x2

Утверждение. Сумма конечного числа выпуклых функций

есть выпуклая функция.

f j x - выпуклые

Действительно, пусть

f x f j x , где

j 1

функции

j 1,..., m

. Тогда

, x2

0;1

f x 1 x

1 x

x 1 f

j 1

f j x1

f j x2 f x1 1 f x2 .

■

j 1

Примеры выпуклых функций

1)	f0 x , x a,b		,
1)	f x	a,b	,
	, x	a,b

где функция одной переменной				f0
тервале	a;b , причем производная
тервале.
	x ln x, x 0
1а) f x 0, x 0		, 1б)		f

, x 0


x		дифференцируема на ин-
	x не убывает на этом ин-
f0	x не убывает на этом ин-

x e	x	,
	x

1в)

f x ax	2

f0	x ,
x
, x

bx c,		a
x U	,
U

где

ция

U f0

-x

выпуклое открытое множество пространства R	n	, функ-

определена и дважды непрерывно дифференцируема на

множестве

и h R	n	, x R	n

				n		2 f x
							hi h j 0 .
							hi h j 0 .
				i, j 1	xi x j
3)	f : R R,			f x x .
4)	f : R	2	R,	f x f		x1, x2 x1 x2 a .
4)	f : R		R,	f x f		x1, x2 x1 x2 a .

Действительно, x x1, x2 , y y1, y2 и 0;1

fx 1 y x1 1 y1 x2 1 y2 a

x1 x2 a 1 y1 y2 a

a 1 y2 ax2 y1x1

f x 1 f y ,

т.е. для функции f выполняется неравенство Иенсена.

5)	f : R	2	R,	f x

Действительно, x f x x1, f x Кроме того, 0;1


f x1				, x2		max x1			, x2 .
x	, x		2		, y y		, y	2
1			2			1		2
x		2		, f y y ,			f y
		2				1

либо

f x 1 y x		1 y		f x 1 f
1			1
f x 1 y x	2		1 y	2	f x 1
	2			2

, y

т.е. для функции

6)	f : R	n

f R,

выполняется неравенство Иенсена.

f x	x		x2	x2	x2
			1	2	n .

Выпуклость

этой функцииx x x

следует

0 .

из свойств нормы:

Определение. Субдифференциалом выпуклой собственной

функции f

: R

называется следующее мно-

в точке x R

жество в пространстве

f xˆ y R

: x xˆ, y f x f xˆ

x R

▲

Геометрический

смысл

это

субдифференциала: f x -

множество

угловых

коэффициентов

линейных

функций

a x

таких,

что

x R

a x f x

f x x x, y

Если

дифференцируемая функция одной пере-

a x f x .

менной, то

- это угловой коэффициент касательной, прове-

f x

денной к графику функции в точке

не дифференциру-

x . Если

ема в точке

xˆ

, то

f x - это множество угловых коэффициентов

прямых, проходящих через точку

и лежащих целиком

x, f x

ниже графика функции

y f x .

Свойства субдифференциала

1)Субдифференциал f xˆ является выпуклым множеством

впространстве R n .

2) Если	f

цируема в точке

- выпуклая собственная функция и

ˆ	f xˆ	f xˆ
x , то			.

дифферен-

Примеры субдифференциалов выпуклых функций.

: R R, f

: R	2	R,

x x ,f xx x


1, x 0,

1, x 0,

1;1 , x

	x2 x2
	1	2


	x				x		x
	x				x	2	x
	1					2
		,						,	x 0,
		,						,	x 0,
	x2 x2				x2	x2	x
f x	x2 x2				x2	x2	x
	1	2		1		2
	1	2		1		2

y R2 :			y		1 ,	x 0.
y R2 :			y		1 ,	x 0.

3)	f	: R		2	R,	f x f
3)	f	: R			R,	f x f
							1
					1;1 , если		x

					1; 1 , если
f x
f x		, x
	1		2		1;1 1

x	, x			2
1				2
x			a
2
x		x			2
1					2
1; 1

x1 x2 a	,
0,
a 0,
2 1, 2 1 , 0;1 ,
если x		x	2	a 0.
1			2

f x1, x

f	: R	2	R, f x f x1, x2 max x1, x2 ,

	1;0 , если			x1 x2 ,
				x1 x2 ,
2	0;1 , если
				0;1 ,1 , 0;1 , если x	x		.
		1;0 1				2
				1

Теорема Моро-Рокафеллара.

Пусть f	j	:Rn R j 1,..., m	- выпуклые собственные
	j

функции и в некоторой точке x все функции, кроме, быть может, одной непрерывны, а эта последняя в x конечна. Тогда x Rn

	m		m
	f		x f		x .
	f	j	x f	j	x .
		j		j
j 1			j 1

■

Выпуклые задачи без ограничений

Постановка задачи:

лая функция.

f x min

, где

f : R	n	R

- выпук-

Теорема. (Аналог теоремы Ферма)

Для того чтобы точка	ˆ	доставляла в выпуклой задаче без
	x

ограничений абсолютный минимум, необходимо и достаточно,

чтобы 0 f x .

Доказательство:

x R

x absmin f

f x f x 0

■

f x f x

0, x x x R

0 f x .

Задача. Решить выпуклую задачу без ограничений:

x1x2

x2 2

min .

f x1, x2 x1

2x2

Решение:

Функции

x1, x2

x1 x1x2

2x2

f2 x1, x2 x1 x2

являются выпуклыми функциями двух пе-

ременных. Поэтому их сумма также является выпуклой функцией. Согласно теореме Моро-Рокафеллара субдифференциал суммы функций равен сумме субдифференциалов. Субдифференциа-

лы функций f1

имеют вид:

f1 x1, x2

x2 , x1 4x2 ,

2x1

1;1 , если

x1 x2 2

f2 x1, x2

x1 x2

2 0,

1; 1 , если

2 1, 2 1 , 0;1 , если x

2 0.

Тогда

								2x		x		1; x					4x	2	1 , если				x		x			2	2 0,
									1		2			1				2						1				2
										x		1; x					4x		1 , если				x		x					2 0,
								2x		x		1; x					4x	2	1 , если				x		x					2 0,
			f	x		, x			1		2			1				2						1				2
			f	x		, x	2														2 1 , 0;1 ,
					1		2			x		2 1, x						4x
								2x		x		2 1, x						4x		2
									1		2						1			2
																					если x					x				2 0.
																								1				2
			Используя необходимые и достаточные условия абсолютно-
го минимума в выпуклой задаче без ограничений, получим:
													0 f x
																	ˆ
																						2x			x			2	2 1 0
	2x		x			1 0					2x		x				1		0					1				2
	2x		x		2	1 0					2x		x		2		1		0
		1			2							1			2									4x					2 1 0
																						x
																						x
			4x2			1 0						4x2					1					1						2
x1								,	или x1										0 , или			1						2						.
x1								,	или x1										0 , или			x		x						2 0				.
																						x		x						2 0
	x		x		2 0						x	x				2 0						1					2
																						1					2
				2										2
	1			2							1			2									1
																					0		1

			Первая и третья системы уравнений и неравенств решений
не имеют, а решение второй системы имеет вид:																									x1					3	, x2	1	.
не имеют, а решение второй системы имеет вид:																									x1					7	, x2	7	.
																														7		7

Ответ:

3	;	1	absmin
	;		absmin
7		7

●

Выпуклые задачи с ограничением (выпуклые задачи)

Постановка задачи: f x min,

x B ,

где f ство.

: R	n	R

- выпуклая функция,

B R	n

- выпуклое множе-

Теорема. В выпуклой задаче локальный минимум является абсолютным.

Доказательство:U xˆ :

Пусть

~	U
x

ˆ
x locmin
x B	f
ˆ

з ,~ x

следовательно,
	f x .
	ˆ

Возьмем произвольную точку x B. При 0 точка
	x x 1 x U x B .
Тогда		ˆ	ˆ
	f x f x f x 1 x f x 1 f x
	ˆ		ˆ	ˆ
ˆ	ˆ			■
f x f x x absmin з .

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 204 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.04.2019188.42 Кб3zachet_po_ivt.doc
#
10.05.2015741.01 Кб225Zadachi_po_khimii.pdf
#
10.05.2015785.84 Кб33Zadachi_s_resh.pdf
#
10.05.2015844.92 Кб9zadanie_111.docx
#
10.11.201928.12 Кб3«Бюджетирование» - как метод финансового планир...docx
#
10.05.20155.05 Mб90А.В.Шатина МО 2012 версия 20.09.2013.pdf
#
25.08.20192.81 Mб8аис-лекц.doc
#
10.05.2015381.01 Кб52Аморфизация поверхности кристалла.docx
#
10.05.20151.36 Mб63Архитектура ВМ и систем.pdf
#
27.08.2019109.42 Кб31БДЗ_Часть_2_МЕНЕДЖЕРЫ.docx
#
10.05.2015282.62 Кб23БЖД_ЛР_1.doc