Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

А.В.Шатина МО 2012 версия 20.09.2013

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

5.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2017 18 19 20 > Следующая >>>

161

12.10.

2				dt extr;
	2		2
		x			x 0 0,	x 0 0, x	1.
x		x			x 0 0,	x 0 0, x	1.
							2
0							2
0

Занятие 13. Задача оптимального управления

Класс задач оптимального управления возник в 50-е годы 20-го века. Эффективным средством исследования задач оптимального управления является принцип максимума Понтрягина, представляющий собой необходимое условие оптимальности в таких задачах. Принцип максимума, сформулированный Понтрягиным Л. С. в 1953 году и впоследствии доказанный его учениками и единомышленниками, представляет собой одно из крупных достижений современной математики. Принцип максимума Понтрягина существенно обобщает и развивает основные результаты классического вариационного исчисления, созданного Эйлером, Лагранжем и другими выдающимися математиками прошлого. В качестве обязательного условия в решении задачи оптимального управления входит решение вспомогательной задачи на максимум.

Для единообразия с пройденным материалом будем рассматривать задачу на минимум, принцип максимума Понтрягина сформулируем в лагранжевой форме, а соответствующее условие назовем условием оптимальности. В отличие от задачи Лагранжа в задаче оптимального управления вводится управление и появляется дополнительное ограничение типа включения на управление: u U , определяющее возможность человека влиять на происходящий процесс.

Постановка задачи. Задачей оптимального управления

называется следующая задача:

	B0 inf;
	B 0, i 1,...,l,
	i
	B j 0, j l 1,..., m,			(1)
x t t, x t ,u t 0			t T ,	(1)

	u t U	t ,		(2)
где x ,u ,t	,t , x KC1	, Rn ,	u KC , Rr , t	,t ,
0	1		0	1

162


t0 t1 ,		– заданный конечный отрезок, U
жество,	принадлежащее пространству		R	r	,

точек непрерывности управления u ,

– произвольное мно-

T	– множество


				t1		t0 , x t0 ,t1, x t1
Bi fi t, x t ,u t dt i							i 0,1,..., m ,
				t0
KC , R			n		– пространство кусочно-непрерывных на отрезке

вектор-функций,
KC	1	, R		n	– пространство непрерывных на отрезке вектор-

функций, имеющих кусочно-непрерывную производную.
		Условие (1) называется				дифференциальной связью, оно

должно выполняться во всех точках непрерывности вектор-

функции u u1 ,...,ur .

В отличие от задачи Лагранжа имеется ограничение (2) типа
включения, а фазовая переменная	x x1	,..., xn	может
иметь меньшую гладкость.
Определение. Элемент x ,u ,t0 ,t1 ,		для которого вы-

полнены все указанные условия и ограничения, называется допу-

стимым или допустимым управляемым процессом.							▲
	Определение.				Допустимый	управляемый	процесс
ˆ	ˆ	ˆ	ˆ	ˆ
	x ,u ,t0			,t1 называется локально оптимальным (или опти-

мальным в сильном смысле процессом), если 0 такое, что

для

любого

допустимого

управляемого

процесса

x ,u ,t0 ,t1

удовлетворяющего

условиям

x x

C ,R

tˆ

, выполнено

неравен-

▲

ство B0 B0 .

Теорема.

оптимальный в сильном

Пусть x ,u ,t0 ,t1

смысле

процесс

задаче

оптимального управления,

функции

fi i 0,1,..., m , и их частные производные по x непрерывны в некоторой окрестности множества t, xˆ t t U , а функции

163


i	i 0,1,..., m	непрерывно					дифференцируемы
окрестности точки t0			, x t0		,t1, x t1 .
		ˆ	ˆ ˆ		ˆ		ˆ ˆ
	Тогда найдутся множители Лагранжа
		, p R		m1			1	n	, , p 0
		, p R				KC , R			, , p 0

в некоторой

такие, что для функции Лагранжа задачи

t
1	f t, x t ,u t p t x t t, x t ,u t dt l t		, x t		,t	, x t	,
	f t, x t ,u t p t x t t, x t ,u t dt l t		, x t		,t	, x t	,
		0		0	1	1
		0		0	1	1
t
0

где

f t, x,u	m
	i

	i 0

f	i	t, x,u ,l t	0	, x t	0	, t	, x t
	i		0		0	1	1

m		t
		t	,
i	i	0
i 0

x t	0	,t	,
	0	1

x t1

выполнены условия:
а) стационарности по x				– уравнение Эйлера для лагранжиана
L f t, x,u p t x t, x,u									:

	d	ˆ			ˆ		t T ;
	dt	Lx	t Lx t 0				t T ;
	dt
б) трансверсальности по x для терминанта
		m
l	i i t0 , x t0 ,t1, x t1 :
	i 0
ˆ	ˆ		ˆ			ˆ	ˆ
	ˆ			t		ˆ	lx t	,
Lx t0 lx				t		p t0	lx t	,
				0			0
ˆ	ˆ		ˆ			ˆ	ˆ
Lx	ˆ	lx t				ˆ
Lx	t1	lx t				p t1 lx t ;
				1				1

в) оптимальности по u :
min L t, x t , x t ,u t L t, x t , x t ,u t t T
ˆ				ˆ		ˆ
ˆ	ˆ			ˆ	ˆ	ˆ
u U
					ˆ	t p t t	t T ;
min f t, x t ,u p t t, x t ,u f						t p t t	t T ;
ˆ			ˆ			ˆ
u U
г) стационарности по t0 , t1 (только для подвижных концов
отрезка интегрирования):
ˆ	0		ˆ ˆ	ˆ	ˆ	ˆ
t0	0	f t0		lt0	lx t0	x t0 0,
						ˆ
ˆ	0		ˆ ˆ	ˆ	ˆ	ˆ
t	0		f t1	lt	lx t x t1 0 ;
1				1	1	ˆ
1				1	1

д) дополняющей нежесткости:

164
i Bi 0,	i 1,...,l ;
е) неотрицательности: i 0,	i 0,1,...,l .	■

Пример 1. Решить экстремальную задачу:

4			2x dt extr;
		2
	x
0

x 1,

x 0

Решение: Приведем задачу к виду задачи оптимального управления. Для этого введем управление u x . Сначала решим задачу на минимум, а затем – на максимум.

	4	u		2x dt min;
I.			2
I.					u 1, x 0 3, x
	0

Составим функцию Лагранжа задачи:

4	0	u		2x
	0		2


0

p x u dt

	x 0
1

Выпишем необходимые условия локального минимума:

а) уравнение Эйлера для лагранжиана
		L u			2x	p x u
			0	2
			0
	d	Lx	Lx 0			d	p 2 0	0	;
	dt	Lx	Lx 0			dt	p 2 0	0	;
	dt					dt

б) условия трансверсальности для терминанта

L 0 l		x 0	p 0	,
x		x 0			1
Lx 4 lx 4 p 4 0						;
в) условие оптимальности по u :
min 0u	2		ˆ	2		ˆ
min 0u		pu 0u			pu ;
u 1;1

l	x 0 3
1

Слагаемые в лагранжиане, не содержащие управление u , здесь опущены, так как они выступают в роли аддитивных постоянных и uˆ от них не зависит.

г) условие неотрицательности:

0 0 .

Если 0 0, то из уравнения Эйлера следует, что p const , тогда из условия трансверсальности получим p t 0, 1 0, т.е.

165

все множители Лагранжа обращаются в ноль. Поэтому 0 Положим 0 1. Тогда из уравнения Эйлера получим:

		p 2, p 2t C1 .

Так как	p 4 0 , то	p t 2t 8			и 8 p t
Условие оптимальности принимает вид:
		min u	2		ˆ 2	ˆ
		min u		pu u		pu .
		u 1;1

на отрезке

0 .

0;4

Графиком функции

торой направлены вверх,

(рис. 13.1). Поэтому

u	2	pu	является парабола, ветви
u		pu	является парабола, ветви
				p
а вершина имеет координаты					;
а вершина имеет координаты				2	;

ко-

p	2

4
4

	p		,	если	p
		2			2
ˆ
u					p
		1, если

					2

С учетом того, что

	1,	t 4, если t 4 1,

	x
	ˆ	1, если t 4 1.
	1.	1, если t 4 1.
	1.
	t 0;4 , получаем:

	t 4,	если 3 t 4,		t 4		2
	t 4,	если 3 t 4,		t 4			C	,	если 3 t 4,
					2		C	,	если 3 t 4,
x			x		2		1
ˆ	1, если 0 t 3.		ˆ				1
	1, если 0 t 3.
							, если 0 t 3.
				t C2			, если 0 t 3.

Рис. 13.1

166

Так

функции


как		x 0
ˆ	в точке
x	в точке

3,		то	C2 3		. Из	условия непрерывности
t 3		найдем константу C1:
1	C 3 C				C		1	.
				2
2		1			1		2

В итоге получаем единственно возможную экстремаль


	3 t, если 0 t 3,
ˆ		2	8t 15
ˆ		2
x t				,	если 3	t 4.
				,	если 3	t 4.
			2

Покажем

помощью

непосредственной

проверки,

что

найденная функции

доставляет абсолютный минимум в за-

x t

даче. Возьмем допустимую функцию

x t x t h t . Из условий

задачи получим ограничения для функции h t :

;

x 0 0 x 0 h 0 0 h 0 0

1 1 x h 1.

x 1

x h

Оценим разность

B x h B x :

x 2x dt

B x h B x

2 x h

2xh h

2h dt 2xh

2x 2 hdt

2hdt

0 hdt

hdt

dt .

При t 0;3 справедливо двойное неравенство

0 h 2 . Так

как

h 0 0

h t

не

убывает

на

отрезке

0;3 ,

то

h t 0 t 0;3 .

Следовательно,

B x h B x 0

x absmin з .

II. Приступим к решению задачи на максимум, сведя пред-

варительно ее к задаче на минимум:

2x dt min;

u 1,

u .

x 0 3, x

167

Функция Лагранжа имеет вид:

4	0	u		2x
	0		2


0

p x u dt

	x 0
1

Выпишем необходимые условия локального минимума: а) уравнение Эйлера для лагранжиана

L 0 u 2 2x p x u :

		d
		dt
		dt

p 2 0

;

б) условия трансверсальности для терминанта

		l 1 x 0 3 :
		p 0 1,			p 4 0			,
в) условие оптимальности по u :
min	u		2	pu u			2
u 1;1		0	2		0	ˆ	2
		0			0

puˆ

;

г) условие неотрицательности:

0 0 .

Аналогично пункту I можно показать,

что 0 0 . Положим

1. Тогда из уравнения Эйлера получим:

p 2, p 2t C1 .

Так как p 4 0 , то

p t 2t 8 и

0 p t 8 при t 0;4 .

Условие оптимальности принимает вид:

min u

pu u

pu .

u 1;1

Графиком функции u u 2

pu является парабола, вет-

ви

которой направлены вниз, а

вершина

имеет координаты

;

x t D1 .

(рис. 13.2). Поэтому u 1 x 1

Так как

xˆ 0 3

, то

x t t 3.

Выполним непосредственную проверку полученного решения. Рассмотрим допустимую функцию x xˆ h . Из ограничений задачи получим:

168

x 0 0 h 0 0

x 1 1 h 1 2 h 0 .

Оценим разность

B x

B x :

B x h B x

2 x

x 2x dt

x h

2xh h

2h dt 2 h hdt 2 hdt .

Рис. 13.2

Так как возрастает на

2 h

отрезке


0 , то		0 . А так как			h 0
	2 h h
0;4 в силу условия				0 , то h t
			h

и h на

не от-

резке

0;4

следовательно, hdt 0. Таким образом,

B x h B x 0
ˆ	ˆ

xˆ absmax

Ответ:

	3 t, если 0 t 3,
ˆ		2	8t 15		absmin з ,	Smin	35	;
x t			8t 15		absmin з ,	Smin
				, если 3	t 4.		3
				, если 3	t 4.		3
			2

169

ˆ	absmax з , S
x t t 3	absmax з , S
	max

●

Пример 2. Решить экстремальную задачу:

4 xdt min;

x 2, x 0 x 4 0,

x 0 0,

x 4

Решение: Сведем поставленную задачу к задаче оптимального управления. Для этого вместо функции x введем вектор-

функцию x1 , x2 и управление u , где x1 x, x2 x , u x Тогда получим задачу:

4			0 x	4 0,
	x dt min;	u 2, x	0 x	4 0,
	1	1	1
0

x	x		0,	x		u
		2			2
1		2			2

x	2	0 0, x	2	4 0,
	2		2
0 .

Составим функцию Лагранжа задачи:

4	x					p	x		x		p		x		u dt	x	0 x	4
	x					p	x		x		p		x		u dt	x	0 x	4

			0		1	1	1			2		2		2	1	1	1
0					0 x				4 .
		2	x	2	0 x			2	4 .
		2		2			3	2

Выпишем необходимые условия локального экстремума:

а) система уравнений Эйлера для лагранжиана

L0 x1 p1 x1 x2

dtd Lx1 Lx1 0 dtd

d	L	L			0	d
			x
dt	x	2		2		dt

p2 x2 u :

p1 0			0 ,
p	2	p	0
	2	1

;

б) условия трансверсальности для терминанта
l 1	x1	0 x1			4 2 x2 0 3 x2					4 :
	L		0 l		x1	0	p		0 ,
	x1						1		1
L 4 l					x1	4	p		4 ,
	x1						1		1
	Lx		0 lx			0	p2		0 2 ,
		2			2
L 4 l				x2		4	p	2	4 ;
	x2								3

в) условие оптимальности:

170

min

p2u p2u u 2,

u 2;2

2;2 ,

г) условие неотрицательности: 0 0 .

Если 0 0

, то из а) следует, что

t const , а так как

p1 0 p1

4 0,

то p1 t 0. Тогда из второго уравнения Эйлера

получим

p2 t C .

Если

C 0 ,

то

из

б)

следует,

что

1 2 3 0 , т.е. все множители Лагранжа равны нулю. Если

C 0

2t C1

, то

. В этом случае приходим к

u 2 x2

2 x2

противоречию с

Если

краевыми условиями x2 0 0, x2 4 0.

C 0

, то

. Снова не выполняют-

u 2 x2

2 x2

ся краевые условия для функции

0 .

x2 t . Поэтому

	Положим
p	0 p	4
1	1

лера

0 1. Тогда

0, то p1 t t

p		2 t,
	2
	2

p1	1,	~	. Так как
		p t C

2	. Тогда из второго уравнения Эй-

	t 2
p2 t	2
p2 t	2	C .
	2

Графиком функции

p2 t является парабола, ветви которой

направлены вниз, а осью симметрии является прямая t 2 . При этом функция p2 t на отрезке 0;4 обязательно должна поменять знак (рис. 13.3), в противном случае придем к противоречию

с краевыми условиями для функции			ˆ	t .
с краевыми условиями для функции			x2	t .
Из условия оптимальности получим:
	2, t 0; ,			2t C1 , t 0; ,
					2t C2	, t ;4 ,
u x2	2, t ;4 ,	x2			2t C2	, t ;4 ,
ˆ ˆ			ˆ
						, t 4 ;4 .
	2, t 4 ;4 .			2t C3		, t 4 ;4 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2017 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.04.2019188.42 Кб3zachet_po_ivt.doc
#
10.05.2015741.01 Кб225Zadachi_po_khimii.pdf
#
10.05.2015785.84 Кб33Zadachi_s_resh.pdf
#
10.05.2015844.92 Кб9zadanie_111.docx
#
10.11.201928.12 Кб3«Бюджетирование» - как метод финансового планир...docx
#
10.05.20155.05 Mб90А.В.Шатина МО 2012 версия 20.09.2013.pdf
#
25.08.20192.81 Mб8аис-лекц.doc
#
10.05.2015381.01 Кб52Аморфизация поверхности кристалла.docx
#
10.05.20151.36 Mб63Архитектура ВМ и систем.pdf
#
27.08.2019109.42 Кб31БДЗ_Часть_2_МЕНЕДЖЕРЫ.docx
#
10.05.2015282.62 Кб23БЖД_ЛР_1.doc