Краткий курс математического анализа. Том 1

168 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

причем

F (z0) = g (y0)f (x0).

С л е д с т в и е (инвариантность формы дифференциала).

Эта формула показывает, что формально записи дифференциала сложной функции посредством независимой переменной x и посредством зависимой переменной y имеют один и тот же вид, но следует иметь в виду, что здесь dx = x — приращение независимой переменной x, a dy — дифференциал функции y = f (x), т. е. главная линейная часть приращения y зависимой переменной («главная»

Пр и м е р. Вычислим производную функции y = xα, x > 0, α R,

спомощью формулы (10.28). Для этого представим функцию y = xα

Те о р е м а 1. Если функции y1 = f1(x) и y2 = f2(x) имеют в точке x0 производные некоторого порядка n N, то любая их линейная

комбинация λ1y1 + λ2y2, λ1 R, λ2 R, и их произведение y1y2 имеют

k=0

Все производные в формулах (11.5) и (11.6) берутся в точке x0,

Символическая запись (y1 + y2){n} означает, что это выражение (см. среднюю часть формулы (11.6)) по своей структуре напоминает формулу бинома Ньютона

только вместо степеней y1 и y2 берутся производные соответствующих порядков функций y1 и y2. Формула (11.6) называется формулой Лейбница 1).

Докажем формулы (11.5) и (11.6) методом математической индукции. В п. 10.5 формула (11.5) была доказана для n = 1:

Пусть справедлива формула (11.5); покажем, что тогда будет справедлива и аналогичная формула для производной порядка n + 1:

Формула (11.5) доказана; докажем формулу (11.6).

Пусть справедлива формула (11.6) для производной порядка n от произведения функций. Докажем, что тогда будет справедлива и аналогичная формула для производной порядка n + 1:

k=0

1) Г. В. Лейбниц (1646–1716) — немецкий математик, физик, философ.

174 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Формула (11.14) легко доказывается по индукции: при n = 1 она доказана; если она доказана при некотором n, то

В силу формулы (11.14) высказывания «функция имеет в точке n производных» и «функция n раз дифференцируема в этой точке» (т. е. у нее существует дифференциал порядка n) равносильны.

Дифференциалы высших порядков dny, n 2, не обладают свойством инвариантности формы относительно выбора переменных: если, например, z = z(y), y = y(x) — дважды дифференцируемые функции и имеет смысл композиция z(y(x)), то

где, вообще говоря, d2y = 0. Заметим, что если обе части формулы (11.16) поделить на dx, то в силу (11.15) получится формула (11.8).

§ 12. Дифференциальные теоремы о среднем

12.1. Теорема Ферма 1). Пусть функция f задана на множестве X и x0 X. Напомним, что если для всех точек x X выполняется неравенство f (x) f (x0) (соответственно неравенство f (x) f (x0)), то говорят, что функция f принимает в точке x0 наибольшее (наименьшее) значение на множестве X (см. п. 3.1).

Если в неравенстве f (x) f (x0) (соответственно в неравенстве f (x) f (x0)) заменить при x = x0 знак нестрогого неравенства на знак строгого неравенства, то получится определение точки x0, в которой функция f принимает строго наибольшее (строго наименьшее) значение на множестве X.

Те о р е м а 1 (Ферма). Если функция определена в некоторой окрестности точки, принимает в этой точке наибольшее (наименьшее) значение и имеет конечную или определенного знака бесконечную производную, то эта производная равна нулю.

Пусть функция f определена на окрестности U (x0) точки x0 и принимает в этой точке, например, наибольшее значение, т. е. для любой

1) П. Ферма (1601–1665) — французский математик.

По условию теоремы существует конечный или определенного знака бесконечный предел lim f (x) − f (x0) = f (x0), поэтому в неравен-

ствах (12.1) и (12.2) можно перейти к пределу при x → x0 (см. свой-

ство 4◦ пределов функций в п. 6.7). В результате получим соответственно f (x0) 0 и f (x0) 0. Следовательно, f (x0) = 0.

З а м е ч а н и е 1. Формулировка теоремы Ферма на первый взгляд может показаться неестественной: в предположениях говорится о бесконечных производных, а в утверждении — о равенстве нулю производной. Однако на самом деле формулировка теоремы вполне корректна: a priori предполагается, что в точке существует производная (конечная или определенного знака бесконечная), и доказывается, что при выполнении дополнительного условия о достижении в рассматриваемой точке наибольшего или наименьшего значения указанная производная равна нулю. Иначе говоря, доказывается, что в точке, в которой принимается наибольшее в некоторой ее окрестности значение функции, не может существовать ни конечная, не равная нулю производная функции, ни определенного знака бесконечная производная. Поэтому в точке, в которой достигается наибольшее или наименьшее в ее окрестности значение функции, возможны следующие случаи: в этой точке существует конечная равная нулю производная; существует знаконеопределенная бесконечная производная; не существует никакой производной (ни конечной, ни бесконечной). Приме-

ром функции, для которой осуществляется первый случай, является

√

функция f1(x) = x2; второй случай: f2(x) = 3 x2 ; третий: f3(x) = |x| (рис. 77). Все эти функции принимают при x = 0 наименьшее значе-

ние, f1(0) = 0, f2(0) = ∞, а производная (конечная или бесконечная) функции f3 в точке x = 0 не существует.

З а м е ч а н и е 2. В теореме Ферма существенно, что точка, в которой достигается экстремальное значение, является внутренней для

176 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

рассматриваемого промежутка. Так, например, функция f (x) = x, рассматриваемая только на отрезке [0, 1], принимает наибольшее и наименьшее значения на его концах, а производная в них не обращается в нуль.

12.2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях.

Те о р е м а 2 (Ролль 1)). Если функция f :

1)непрерывна на отрезке [a, b];

2)имеет в каждой точке интервала (a, b) конечную или определенного знака бесконечную производную;

3) принимает равные значения на концах отрезка [a, b], т. е.

то существует по крайней мере одна такая точка ξ (a, b), что

Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что на графике функции, удовлетворяющей условиям теоремы Ролля, имеется по крайней мере одна точка, в которой касательная горизонтальна

(рис. 78).

Если для любой точки x интервала (a, b) выполняется равенство f (x) = = f (a) = f (b), то функция f является

постоянной на этом интервале, и потому для любой точки ξ (a, b) выполняется

условие (12.4).

Пусть существует точка x0 (a, b), для которой f (x0) = f (a), например f (x0) > f (a). Согласно теореме Вейер-

штрасса о достижимости непрерывной на отрезке функцией своих наибольшего и наименьшего значений (см. теорему 1 в п. 7.1), существует такая точка ξ [a, b], в которой функция f принимает наибольшее значение. Тогда

f (ξ) f (x0) > f (a) = f (b).

Поэтому ξ = a и ξ = b, т. е. точка ξ принадлежит интервалу (a, b) и функция f принимает в ней наибольшее значение. Следовательно,

согласно теореме Ферма (см. теорему 1 в п. 12.1), выполняется равенство f (ξ) = 0.

З а м е ч а н и е 3. Все условия теоремы Ролля существенны. На рис. 79 изображены графики четырех функций, определенных на отрезке [−1, 1]; у каждой из них не выполняется лишь одно из трех

1) М. Ролль (1652–1719) — французский математик.