лекции по статам

физической величины для системы из одинаковых бозонов можно выразить через операторы рождения и уничтожения.

Наиболее важные операторы динамических переменных для многочастичной системы имеют вид

оператор, действующий на координаты частиц с номерами i и j. Динамическая пе-

^

ременная, оператор которой A(1) есть сумма операторов для отдельных частиц, называется аддитивной динамической переменной; динамические переменные

^

с операторами A(2) обычно называются динамическими переменными бинарного типа. В некоторых задачах квантовой механики встречаются операторы более сложной конструкции, но мы не будем здесь ими заниматься.

В качестве иллюстрации приведем простые примеры динамических переменных вида (??). Аддитивной динамической переменной является кинетическая энергия

P

дуем читателю самому вспомнить, какие из других ранее встречавшихся динамических переменных относятся к аддитивным переменным и к переменным бинарного типа.

в координатном представлении. Чтобы найти их матричные элементы в представлении чисел заполнения, нужно вычислить интегралы

с симметризованными базисными волновыми функциями (??). На первый взгляд задача кажется безнадежной из-за огромного числа переменных при больших значениях числа частиц N. Впрочем, есть и упрощающие обстоятельства. Так как

^ ^

частицы одинаковы, то вид операторов A(1)(qi) и A(2)(qi; qj) одинаков для любых

номеров частиц. Далее, многочастичные базисные волновые функции (fsn) g есть

l

произведения одночастичных ортонормированных волновых функций 'l(q). Поэтому удается получить более или менее простые выражения для матричных элементов. Мы не будем приводить соответствующие выкладки2. Оказывается, что

2Интересующийся читатель может обратиться к учебникам по квантовой механике (см., например, [?]).

3

^

бинарного типа A(2) совпадают с матричными элементами следующих операторов, записанных через операторы рождения и уничтожения:

Ясно, что матричные элементы (??) и (??) вычислить намного проще, чем матричные элементы (??) с многочастичными волновыми функциями.

Главное достоинство формул (??) и (??) состоит в том, что вычисление средних значений и матричных элементов операторов физических величин сводится теперь к вычислению средних значений и матричных элементов операторов, построенных из операторов рождения и уничтожения, которые довольно просто действуют на базисные векторы состояния системы jn1; n2; : : : ; nl; : : :i и удовлетворяют простым коммутационным соотношениям (??).

4

Статистическая физика

5.Представление чисел заполнения для фермионов (вторичное квантование)

5.1.Базисные квантовые состояния

В качестве базисных квантовых состояний для системы тождественных фермионов возьмем состояния, которые описываются антисимметричными волновыми функ-

циями (fan) g(q1; : : : ; qN ). Эти состояния полностью характеризуются набором чисел

l

заполнения nl. При этом, для каждого l, nl = 0; 1. Обозначим их

jfnlgi = jn1; n2; ; nl; i

Как известно, волновые функции этих состояний ортонормированы. В координатном представлении

Любой вектор состояния системы фермионов j (t)i может быть представлен в виде разложения по базисным векторам

n

которое формально совпадает с формулой для бозонов, но в данном случае аргументом амплитуды вероятности C(fnlg; t) является последовательность нулей и единиц. Совокупность амплитуд вероятности волновая функция системы фермионов в представлении чисел заполнения.

5.2.Операторы рождения и уничтожения фермионов

Операторы рождения и уничтожения строятся так, чтобы формулы для операторов физических величин имели точно такой же вид, как и для бозонов (см. лекцию 4). Это удалось сделать П. Йордану и Е. Вигнеру в 1928 г.

Выпишем правила действия операторов рождения и уничтожения на базисные векторы состояния системы фермионов:

a^l j : : : ; nl; : : :i = ( 1) l pnl j : : : ; 1 nl; : : :i;

(5.3)

a^yl j : : : ; nl; : : :i = ( 1) l p1 nl j : : : ; 1 nl; : : :i:

l 1

X

Здесь l = nl число заполненных одночастичных состояний, предшеству-

k=1

ющих состоянию jli. Правила оказались более сложными, чем для бозонов. Впрочем, для практических вычислений сами эти правила используются очень

1

редко. Обычно достаточно знать основные свойства операторов рождения и уничтожения, которые мы теперь рассмотрим.

1. При действии операторов рождения и уничтожения на квантовые состояния системы не возникает нефизических состояний с числами заполнения больше единицы и меньше нуля.

Док-во: Согласно правилам действия операторов рождения и уничтожения,

2. Квадраты операторов рождения и уничтожения равны нулю.

Док-во: Это проверяется с помощью предыдущих формул. Таким образом,

3. Оператор числа частиц в одночастичном состоянии jli имеет вид n^l = a^yl a^l (как и для бозонов).

Док-во: (Нужно помнить, что nl = 0; 1)

a^yl a^l j : : : ; nl; : : :i = ( 1) l pnl a^yl j : : : ; 1 nl; : : :i = nl j : : : ; nl; : : :i:

4. Коммутационные соотношения для операторов рождения и уничтожения.

Введем понятие антикоммутатора операторов

Тогда из правил (??) следует, что

Они заменяют коммутационные соотношения для бозонов. В квантовой механике операторы рождения и уничтожения, удовлетворяющие соотношениям (??), принято называть ферми-операторами. С помощью ферми-операторов описывается, например, система электронов в кристаллах.

Док-во последнего соотношения в (??).

Пусть l 6= l0 и l < l0 (случай, когда l > l0 самим). Нужно показать, что

a^la^yl0 + a^yl0 a^ j ; nl; nl0 ; i = 0:

2

Рассмотрим

a^la^yl0 j ; nl; nl0 ; i = a^l( 1) l0 p1 nl0 j ; nl; ; 1 nl0 ; i

Действуя теперь операторами в обратном порядке, получим

a^yl0 a^lj ; nl; ; nl0 ; i = a^yl0 ( 1) l pnl j ; 1 nl; ; nl0 ; i

Если nl = 0, то результат действия будет 0 как и в (??). Пусть nl = 1. Тогда число заполненных одночастичных состояний, предшествующих состоянию jli стало на единицу меньше. Поэтому

a^yl0 a^lj ; nl; ; nl0 ; i = ( 1) l0 ( 1) l pnl p1 nl0 j ; 1 nl; ; 1 nl0 ; i

(5.9) Сравнивая это равенство с (??), видим, что результаты действия на любое базисное состояние системы a^yl0 a^l и a^la^yl0 отличаются только знаком.

Сравнивая это с

a^yl a^l j : : : ; nl; : : :i = nl j : : : ; nl; : : :i;

видим, что результат действия a^la^yl + a^yl a^l на любое базисное состояние системы эквивалентно действию единичного оператора.

Резюме:

Напомним, что операторы рождения и уничтожения для фермионов построены так, что формулы для операторов физических величин в представлении чисел заполнения имеют точно такой же вид, что и для бозонов. Таким образом, различие между статистиками Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака описывается лишь коммутационными соотношениями между операторами рождения и уничтожения.

Пример из алгебры операторов рождения и уничтожения.

Вычислим коммутатор [^al; n^l0 ] сразу для двух статистик.

Пишем

[^al; n^l0 ] = a^ln^l0 n^l0 a^l = a^la^yl0 a^l0 a^yl0 a^l0 a^l

3

Далее используется такой прием: в каждом слагаемом все операторы рождения нужно расположить слева от всех операторов уничтожения, используя коммутационные соотношения

где верхний знак относится к бозонам, а нижний к фермионам. Согласно по-

следнему равенству,

a^la^yl0 = ll0 a^yl0 a^l

Возвращаясь к нашему примеру, получим

[^al; n^l0 ] = ll0 a^yl0 a^l a^l0 a^yl0 a^l0 a^l = ll0 a^l a^yl0 a^la^l0 a^yl0 a^l0 a^l

Два последних члена, где операторы расставлены в нужном порядке, точно сокращаются (при перестановке операторов уничтожения для фермионов знак еще раз изменится). Поэтому для обеих статистик

[^al; n^l0 ] = ll0 a^l

Самим так же показать, что

[^ayl ; n^l0 ] = ll0 a^yl

Ответ, конечно, можно получить быстрее, если вспомнить, что операторы рождения и уничтожения являются эрмитово сопряженными друг к другу.

4

Статистическая физика

6.Идеальные квантовые газы

Идеальный квантовый газ модель, в которой частицы не взаимодействуют друг с другом. В зависимости от типа статистики, которой подчиняются частицы, существуют две модели бозе-газ и ферми-газ.

Примеры: газообразный He4 бозе-газ, газообразный He3 ферми-газ, газ свободных электронов ферми-газ.

Более сложная модель молекулярный идеальный газ. В этом случае

^ гамильтониан молекулы, включающий операторы кинетической энергии ядер hi

и электронов, а также операторы их взаимодействия (главное взаимодействие кулоновское).

где jli базисные квантовые состояния одной частицы.

Часто бывает удобно выбрать в качестве jli стационарные состояния частицы, удовлетворяющие уравнению

где l набор всех квантовых чисел, определяющих стационарное состояние частицы, а "l уровни энергии частицы. Тогда

При таком выборе одночастичных состояний квантовые состояния jfnkgi являются собственными состояниями гамильтониана системы (т.е. стационарными состояниями). Проверка элементарна.

1

Уровни энергии системы

XX

Полученный результат физически очевиден.

6.2.Основное состояние квантового идеального газа

Бозе-газ

Ферми-газ

В основном состоянии частицы занимают одночастичные состояния jli с минимально возможной энергией. До некоторого значения энергии "F все состояния будут заполнены, а состояния с энергией "l > "F будут свободны. Максимальное значение энергии одночастичных занятых состояний "F называется энергией Ферми.

Таким образом, энергия основного состояния идеального ферми-газа

XX

"l< "F "l< "F

Воставшейся части лекции вычислим энергию основного состояния ферми-газа

иэнергию Ферми для частиц без внутренней структуры (наиболее интересный пример газ свободных электронов).

6.3.Спектр импульса частиц в конечном объеме

Для частиц без внутренней структуры одночастичный гамильтониан имеет вид

Естественно взять в качестве одночастичных состояний jp;~ msi. Волновые функции таких состояний имеют вид

Проблема с координатной волновой функцией волновые функции с различными p~ не ортогональны друг к другу.

Замечание. Волновые функции можно нормировать на -функцию; они будут ортогональны, но тогда нужно считать, что частица может двигаться во всем пространстве. Это нефизическое предположение, так как газ всегда занимает конечный объем.

Рассмотрим сначала одномерное движение

2

xLx

Потребуем, чтобы все 'px (x) были периодическими функциями с периодом Lx, т. е. чтобы выполнялось условие

Ясно, что теперь px не может быть любым действительным числом. Найдем его возможные значения. Подставляя в (??) явное выражение (??) для собственной функции, приходим к условию

Это условие выполняется, если pxLx=~ кратно 2 . Отсюда следует, что

Отметим, что для px получился дискретный спектр значений. Теперь, вычисляя скалярное произведение h 'px j'px0 i легко проверить, что

Соотношение (??) показывает, что собственные функции (??) образуют ортонормированный набор, если спектр значений импульса определяется формулой (??).

Переходу к неограниченной области движения частицы соответствует предел Lx ! 1. При этом спектр значений импульса (??) становится непрерывным. В собственных функциях (??) невозможно выполнить предельный переход, так как множитель перед экспонентой стремится к нулю1. Напомним, однако, что сама по себе волновая функция не является наблюдаемой, поэтому нужно определить правило для предельного перехода в выражениях, которые встречаются при вычислении наблюдаемых величин. Обычно приходится иметь дело с суммами типа

где f(px) гладкая функция импульса. Покажем, что в пределе Lx ! 1 сумма преобразуется в интеграл по определенному правилу.

1Хотя при Lx ! 1 сама волновая функция всюду стремится к нулю, размер области движения стремится к бесконечности, поэтому при любом Lx остается справедливым соотношение (??).

3

Изобразим дискретные собственные значения импульса (??) точками на оси px. При большом Lx соседние точки расположены очень близко друг к другу, т. е. спектр импульса “почти непрерывный”. Возьмем интервал px, который значительно превышает расстояние 2 ~=Lx между соседними собственными значениями импульса. Число точек, попавших в интервал px равно pxLx=2 ~. Разделим теперь всю ось px на интервалы px, пронумеруем их индексом i и запишем приближенное значение суммы (??) в виде

где pxi произвольная точка в интервале с номером i. Например, это может быть середина интервала. Пусть Lx растет. Одновременно можно уменьшать px. При этом сумма в правой части (??) будет стремиться к интегралу от функции f(px) по всем px. Мы получаем правило перехода от дискретного спектра импульса к непрерывному:

Обобщим все сказанное выше на трехмерный случай2. Дискретный спектр импульса соответствует предположению, что частица находится в параллелепипеде со сторонами Lx, Ly Lz и объемом V = LxLyLz. Нормированные на единицу и ортогональные друг к другу собственные функции импульса имеют вид

а дискретный спектр проекций импульса дается формулами

где nx, ny, nz независимо принимают значения 0; 1; 2; : : : Правило перехода к непрерывному спектру формулируется следующим образом. Если f(p~ ) f(px; py; pz) гладкая функция, то при V ! 1 имеем

Обычно для простоты в формулах (??) полагают Lx = Ly = Lz = L. Тогда объем области движения V = L3.

2Обоснование приводимых утверждений оставляем читателю в качестве упражнения.

4