Лекции по теории групп

Ю. О. Головин

Лекции по теории групп

2012

2

1.2Семинар 1. Группа, порядок элемента, порядок группы, подгруппа.

Задача 1. e - единственный.

J Пусть e1; e2 - две единицы в группе. Тогда e1 = e1e2 = e2. I

Задача 2. Для любого x существует единственный обратный элемент. J Пусть y; z суть обратные к x.

Тогда y = ye = y(xz) = yxz = (yx)z = ez = z. I

Задача 12. Доказать, что если H1 è H2 подгруппы, то и H1 \ H2 подгруппа.

J Пусть элемент принадлежит H1 \H2, тогда этот элемент принадлежит и H1, è H2, следовательно для него выполняются все условия как со стороны подгруппы H1, òàê è H2. I

Задача 13. H1 [ H2 подгруппа , либо H1 H2 ëèáî H2 H1.

J Пусть h1 2 H1 n H2 è h2 2 H2 n H1. Тогда h1 h2 = h3, ãäå h3 2 H1 ëèáî h3 2 H2.

Пусть h3 2 H1, тогда h2 = h1 1 h3 ) h2 2 H1, но это противоречит h2 2 H2 n H1. I

Задача 14. Доказать, что группа, имеющая лишь конечное число подгрупп конечна.

J Пусть группа G не является конечной, то есть бесконечна. Рассмотрим a 2 G и < a >= fan; n 2 Zg. Так как jGj = 1, т.е. по определению в G бесконечное число элементов и каждый порождает свою подгруппу, то в G бесконечное число подгрупп, что противоречит условию. I

Задача 15. Пусть jxj = n ) jxkj = (k;nn )

Если мы поделим два числа на их НОД, то они станут взаимно просты.

(kd ; nd ) = 1 ) m...nd .

Значит, наименьшим m таким, что (xk)m = e является m = nd . I

Задача 16. jxj; jyj < 1 и xy = yx и (jxj; jyj) = 1 ) jxyj = jxj jyj

J Пусть jxj = n; jyj = m.

Рассмотрим элемент xy и попробуем найти его порядок:

(xy)nm = (xn)m(ym)n = emen = e.

jxyj это порядок элемента xy, то есть минимальная натуральная степень k, такая что (xy)k = e.

Предположим, что k < mn:

(xy)k = xkyk = e, то есть k делится без остатка на m и n, ) k =НОК(n; m). Так как n и m взаимно просты, то НОК(m; n) = mn. I

Задача 17. Привести пример группы G, такой что T (G) = fg 2 G; jgj < 1g - не является ее

подгруппой.

J a; b - какие-то симметрии относительно прямой l1 è l2 соответственно. a2 = e = b2.

(ab) - уже параллельный перенос. (ab)2; (ab)3 - тоже параллельные переносы (только на разные расстояния). (ba); (ba)2; (ba)3 I

1.3Лекция 2. Подстановки.

Определение. Перестановкой длины (степени) n называется последовательность чисел 1; 2; : : : ; n записанных в произвольном порядке.

Определение. Подстановкой длины n называется биекция f : f1; : : : ; ng ! f1; : : : ; ng.

Определение. Пусть есть перестановка i1; i2; : : : ; in. Будем говорить, что пара чисел ij1 ; ij2 îá- разует инверсию, если ij1 < ij2 è j1 > j2. Другими словами, если больший элемент встречается раньше меньшего.

ется четное число инверсий, нечетной если нечетное.

Определение. Пусть подстановка имеет k инверсий. Тогда число ( 1)k будем называть зна- ком подстановки и обозначать sgn( ). Таким образом, четные подстановки имеют знак 1, нечетные -1.

Рассуждения были следующими. Смотрим на правую подстановку - 1 переходит в 4, смотрим на левую подстановку - 4 переходит в 3, левее подстановок нет, следовательно, 1 переходит в 3. Снова смотрим на правую подстановку - 2 переходит в 1, смотрим на подстановку левее - 1 переходит в 2, следовательно, 2 переходит в 2, то есть остается на месте. Теперь смотрим на 3 в правой подстановке, она переходит в себя же, смотрим на левую подстановку - там 3 переходит в 4, следовательно, 3

числа от 1 до 4, то вместо можем дописать 1.

Так как умножения подстановок - композиция отображений, то ассоциативность выполняется.

Таким образом, мы получили все свойства группы:

1)ассоциативность по умножению

2)единичный элемент - тождественная подстановка

3)наличие обратного элемента для каждой подстановки

Опр. Группу всех подстановок длины n с операцией умножения называют симметрической группой степени n и обозначают Sn.

Какой порядок группы Sn ? То есть сколько существует различных подстановок длины n ? jSnj = n!.

Подстановка может какие-то элементы перемещать, а какие-то оставлять на месте. Например,

циклически 1 7 !5 7 ! 7 !4 7 !3 7 !1. Это можно записать в виде цикла длины 5: (15743).

Определение. Подстановки записанные в виде цикла, так и называются циклами.

Определение. Два цикла называются независимыми, если у них нет общих элементов.

Определение. Транспозицией называется цикл длины 2.

Пример.

Здесь есть два независимых цикла: 1 7 !4 7 !5 7 !1 и 2 7 !3 7 !2. Их можно записать, как цикл (145) длины 3 и цикл (23) длины 2, то есть транспозиция. Тогда исходная перестановка мо-

перемножения этих циклов не важен, так как они независимы.

Таким образом, любую подстановку можно разложить в произведение независимых циклов.

1.4Семинар 2. Перестановки

Задача 18. Как должны быть распопложены числа, чтобы инверсий было наибольшее количество

?

J В порядке убывания I

Задача 19. Сколько инверсий образует число 1, стоящее на k-м месте ?

J 1 меньше любого числа в перестановке ) 1 будет образовывать инверсии со всеми числами, стоящими левее, а их k 1. I

Задача 20. Сколько инверсий образует число n, стоящее на k-м месте, в перестановке из n эле-

ментов ?

J n больше любого числа в перестановке ) n будет образовывать инверсии со всеми числами, стоящими правее, а их n k 1. I

Задача 21. Сколько всего четных (нечетных) перестановок?

J В перестановках фиксируем все элементы, кроме 1 и 2. Все перестановки разбиваются на пары:

четная и нечетная.

n!

) всего четных (нечетных) перестановок 2 . I

Задача 22. Доказать, что если , четные подстановки, то тоже четная подстановка.

(1 : : : n) четная, (a1 : : : an) четная ) (b1 : : : bn) четная. I

Подстановка длины n элемент конечной группы Sn, следовательно имеет порядок. Порядок цикла длины k равен k.

Задача 23. Если перестановка раскладывается в произведение независимых циклов, то ее порядок равен НОК длин этих независимых циклов.

J Длина цикла является его порядком. I

Задача 24. Какая четность перестановки (123 : : : k). J k четное -1

k нечетное 1 Индукция по n.

База: транспозиция - нечетна.

Шаг. Любая подстановка раскладывается в произведение транспозиций. I

Задача 25. Пусть = (i1 : : : ik). Тогда 1 = ( (i1) (i2) : : : (ik)).

J 1( (i1)) = i1( 1( (i1))) = i2

( ( 1( (i1)))) = (i2) I

Задача 26. Доказать, что любую подстановку можно представить следующими способами:

1.В виде произведения транспозиций (12); (23); : : : ; (n 1; n)

2.В виде произведения транспозиций (1n); : : : ; (13); (12)

3.В виде произведения транспозиции (12) и цикла (123 : : : n)

J 1 способ - (i1i2 : : : ik) = (i1i2)(i2i3) : : : (ik 1ik) 2 способ - (i1i2 : : : ik) = (i1ik)(i1ik 1) : : : (i1i2)

3 cпособ. Обозначим транспозицию = (1 2) и цикл = (1 2 : : : n).

Рассмотрим S2, = (1 2) è = (1 2). = , = = 2 = e. Рассмотрим S3: = (1 2) и = (1 2 3). Рассмотрим такие произведения:

= (2 3)

= (1 3)

3 = e = (1 2)