лекции по статам

Статистическая физика

Содержание дисциплины Статистическая физика): Описание наблюдаемых в эксперименте свойств вещества на основе законов движения и взаимодействия микрочастиц.

1.Квантовая механика системы частиц

1.1.Волновая функция и динамические переменные системы частиц

Рассматривается произвольная система из N частиц

Частицы нумеруются индексом k, принимающим значения 1; 2; : : : ; N. Для

каждой частицы введем набор переменных qk = (~rk; k) (xk; yk; zk; k), включающий координаты и спиновую переменную. Спиновая переменная

принимает 2sk + 1 значение, где sk спиновое квантовое число k-ой частицы1. Для упрощения формул весь набор переменных fqkg будет часто обозначаться одной буквой q.

Действуя по аналогии с квантовой механикой одной частицы, введем несколько постулатов:

Квантовое состояние системы описывается волновой функцией (q; t)(q1; q2; : : : ; qN ; t), которая имеет смысл амплитуды вероятности значений координат всех частиц и проекций их спинов на ось квантования. Точнее,

где dVk = dxk dyk dzk, есть вероятность того, что в момент времени t частица 1 будет обнаружена в элементе объема dV1 со значением спиновой переменной1, частица 2 в элементе объема dV2 со значением спиновой переменной 2 и т. д. Условие нормировки:

R

Символ : : : dqk означает интегрирование по координатам частицы и суммирование по всем возможным значениям ее спиновой переменной.

1Напомним, что спиновая переменная определяет возможные значения проекции спина частицы на ось квантования.

1

Для квантовых состояний системы частиц справедлив принцип суперпозиции: если i(q; t) возможные квантовые состояния системы, то их линейная

комбинация

X

(q; t) = ci i(q; t) (1.3)

i

также возможное квантовое состояние (ci произвольные комплексные коэффициенты)

Физическим величинам, характеризующим систему частиц, соответствуют

линейные эрмитовые операторы ^, которые действуют, вообще говоря, на

A

все переменные qk. Их наблюдаемые (средние) значения вычисляются по правилу

Изменение квантового состояния системы частиц должно описываться соответствующим уравнением Шредингера

где ^ линейный оператор Гамильтона (гамильтониан), действующий на

H(t)

переменные всех частиц2.

Правила построения динамических переменных

Правило соответствия с классической механикой:

Если A = A (~r1; p~1; : : : ; ~rN ; p~N ) классическая динамическая переменная, то со-

Полный орбитальный момент импульса системы:

NN

Примеры других динамических переменных:

2Гамильтониан зависит от времени, если на систему действуют переменные внешние поля.

2

Полный спин системы:

Замечание: В большинстве приложений квантовой механики главную роль играют системы, состоящие из электронов. Для таких систем каж-

^

~

дый из операторов Sk это оператор спина одного электрона.

Оператор полного момента системы:

1.2.Гамильтониан системы частиц

Если не учитывать влияние магнитного поля на движение частиц, то гамильтониан дается формулой

Первый член в этом выражении сумма гамильтонианов отдельных частиц, каждый из которых включает оператор кинетической энергии частицы и оператор U(~rk) ее взаимодействия с внешним потенциальным полем3. V оператор потенциальной энергии взаимодействия между частицами системы. Например, если рассматривается система электронов, то V оператор электрического (кулоновского) взаимодействия:

где rkk0 = j~rk ~rk0 j расстояние между электронами с номерами k и k0. Наконец,

оператор ^ в формуле ( ) описывает спин-орбитальное взаимодействие и взаи-

W ??

модействие между собственными магнитными моментами частиц. Все взаимодействия, связанные со спином, имеют релятивистское происхождение. В большинстве физически интересных случаев они весьма слабы по сравнению с кулоновским взаимодействием и поэтому могут учитываться методами теории возмущений.

Некоторые важные частные случаи

3Если гамильтониан (??) описывает атом с несколькими электронами, то U(~r ) включает в себя потенциальную энергию электрона в кулоновском поле ядра.

3

1. Если гамильтониан не зависит от времени, то у системы существуют стационарные квантовые состояния

Те значения E, при которых однозначная и конечная функция, удовлетворяющая нужным граничным условиям4, образуют спектр энергии системы.

2. Если гамильтониан не содержит спиновых операторов, то координатные и спиновые переменные в уравнении Шредингера разделяются и его общее решение имеет вид

где произвольная функция спиновых переменных, а сама удовлетворяет уравнению Шредингера.

Замечание: суперпозиция функций (??) тоже решение уравнения Шредингера.

3. Система невзаимодействующих частиц (идеальный квантовый газ):

Если, например, магнитное поле отсутствует и каждая из частиц независимо движется в некотором потенциальном поле U(~r ), то

где r2k оператор Лапласа, действующий на координаты k-ой частицы. В общем

Для системы, состоящей из невзаимодействующих частиц, переменные в уравнении Шредингера (??) разделяются, т. е. волновая функция всей системы есть произведение одночастичных волновых функций:

Каждая из волновых функций k удовлетворяет одному и тому же одночастичному уравнению Шредингера

4

Замечание: квантовый идеальный газ может состоять из сложных частиц атомов, молекул. При этом внутри каждой составной частицы возможны взаимодействия. В этом случае qk набор переменных, относящихся к каждой составной частице.

1.3.Тождественные частицы. Симметрия волновых функций

Определение: Две частицы называются тождественными, если все их физические свойства в точности совпадают. Например, любые два электрона или два протона тождественны.

Гамильтониан и операторы физических величин системы тождественных частиц не меняются при перестановке переменных любой пары частиц. Это приводит к интересному свойству волновых функций.

Введем оператор перестановки частиц Pkk0 , который действует на волновую функцию по правилу

Тогда легко проверить, что если решение уравнения Шредингера, то Pkk0тоже решение.

Совпадают ли эти две функции?

В квантовой механике считается, что тождественные частицы неразличимы, т.е. перестановка тождественных частиц не приводит ни к каким наблюдаемым физическим явлениям. В частности, не должны меняться средние значения физических величин и плотность вероятности j (q)j2.

Переставим частицы (с помощью Pkk0 ) в плотности вероятности. Для того, чтобы плотность вероятности не изменилась, нужно, чтобы

Pkk0 =

где j j2 = 1. Применяя перестановку дважды, получим = 1.

Частицы, при перестановке которых волновая функция системы не изменяется, называются бозонами, а частицы, при перестановке которых волновая функция системы меняет знак, называются фермионами6. Эксперимент показывает, что частицы с целым спином (включая спин, равный нулю) являются бозонами, а частицы с полуцелым спином являются фермионами. Таким образом, электроны, протоны и нейтроны, из которых состоят атомы вещества, относятся к фермионам.

6Смысл терминов “бозоны” и “фермионы” мы объясним немного позже.

5

Итак,

Квантовые состояния систем, состоящих из тождественных бозонов (частиц с целым спином), описываются волновыми функциями, симметричными относительно перестановки любой пары частиц.

Квантовые состояния систем, состоящих из тождественных фермионов (частиц с полуцелым спином), описываются волновыми функциями, антисимметричными относительно перестановки любой пары частиц.

Приведенные выше утверждения являются постулатами квантовой механики. В дальнейшем мы увидим, что различия в симметрии волновых функций бозонов и фермионов кардинально влияют на физические свойства квантовых систем. В настоящее время все имеющиеся экспериментальные данные подтверждают справедливость постулатов симметризации волновых функций.

Лекция 1. Задачи к экзамену:

1.1. Система состоит из N не взаимодействующих друг с другом частиц. Доказать, что волновая функция

является решением уравнения Шредингера для системы частиц, если каждая функция k(qk) удовлетворяет одночастичному уравнению Шредингера. Будет ли (q1; : : : ; qN ; t) нормирована на единицу, если все k(qk; t) нормированы ?

1.2. Система состоит из N электронов. Доказать, что оператор импульса систе-

перестановке любой пары электронов. Учитывается взаимодействие электронов с внешним полем U(~r) и кулоновское взаимодействие между электронами.

1.3. Система состоит из N тождественных частиц (бозонов или фермионов).

Пусть ^ оператор динамической переменной (он не изменяется при перестановке

A

любой пары частиц). Доказать равенство средних

h j ^j i h j ^j i

A = e A e ;

где волновая функция e получается из в результате перестановки пары частиц с произвольными номерами k и k0: e = Pkk0 .

6

Статистическая физика

2.Бозоны и фермионы

2.1.Базисные квантовые состояния для бозонов. Статистика Бозе-Эйнштейна

Предположим, что система состоит из N тождественных бозонов.

Уравнение Шредингера для системы, состоящей из тождественных частиц, имеет как физические, так и нефизические решения (не обладающие нужной симметрией относительно перестановок частиц).

Как обеспечить правильную симметрию волновых функций системы?

Пусть f'l(q)g некоторый набор функций 'l(q) 'l(~r; ), удовлетворяющих условиям

Z

h'lj'l0 i 'l (q)'l0 (q) dq = ll0 : (2.1)

Кроме того, предположим, что этот набор функций является полным в том смысле, что любую одночастичную волновую функцию (q; t) можно представить в виде ряда (суперпозиции)

X

(q; t) = al(t) 'l(q); (2.2)

l

где al(t) зависящие от времени комплексные коэффициенты. В дальнейшем будем называть функции 'l(q) базисными одночастичными волновыми функциями, а квантовые состояния, которым они соответствуют, базисными одночастичными состояниями.

Выбор функций 'l(q) обычно диктуется физическими соображениями. Например, для описания квантовых газов часто используются волновые функции свободных частиц. В этом случае индекс l включает импульс частицы p~ и квантовое число ms, определяющее проекцию спина на ось квантования. Тогда l = (p;~ ms) и

.

Для базисных одночастичных состояний мы будем иногда использовать общепринятое обозначение j li.

Идея состоит в том, чтобы с помощью одночастичных функций f'l(q)g построить набор базисных волновых функций для системы, состоящей из N тождественных бозонов. В качестве такого набора естественно взять симметризованные

1

произведения одночастичных волновых функций1

P

где fl1; : : : ; lN g произвольный набор индексов одночастичных состояний, Al1;:::; lNнормировочная постоянная.

Переход от набора индексов к набору fnlg (Чтобы оставить лишь различные функции). Тогда базисные функции имеют вид

все l

При записи этого выражения предполагается, что 0! = 1. Появление множителя N! связано с суммированием по перестановкам P частиц в симметризованных волновых функциях, в появление факториалов nl! связано с тем обстоятельством,

Подведем итоги. Мы выяснили, что в качестве базисных волновых функций системы, состоящей из N тождественных бозонов, можно выбрать симметризованные произведения (??) любых функций 'l(q), которые образуют полную и ортонормированную систему одночастичных волновых функций. Тогда произвольное квантовое состояние системы бозонов описывается суперпозицией

X

(q1; : : : ; qN ; t) = C (fnlg; t) (fsn) g(q1; : : : ; qN ); (2.9)

l

fnlg

1Верхний индекс (s) волновой функции первая буква английского слова “symmetric”“симметричный”.

2

где суммирование ведется по всем наборам чисел nl, удовлетворяющим условию (??), а C (fnlg; t) некоторые комплексные коэффициенты. Они вычисляются по формуле

мула (??) замечательна тем, что она дает наглядную картину “строения” квантовых состояний системы, состоящей из тождественных бозонов. В самом деле, из (??) видно, что произвольное квантовое состояние системы есть суперпозиция

состояний (fsn) g, в каждом из которых частицы как-то распределены по одноча-

l

стичным состояниям j li. Величины nl принято называть числами заполнения одночастичных состояний2. Для незанятых состояний nl = 0, а для занятых nl может принимать любое значение от 1 до N. В принципе, все N бозонов могут быть обнаружены в одном и том же одночастичном состоянии j l0i. Для такой базисной

волновой функции nl0 = N и nl = 0, если l 6= l0.

Коэффициенты C (fnlg; t) в формуле (??) имеют смысл амплитуд вероятностей различных распределений частиц по состояниям j li, а jC (fnlg; t)j2 вероятности этих распределений. Заметим, что при этом тождественные частицы остаются “обезличенными” или “неразличимыми”, так как не указывается, какая именно частица находится в данном одночастичном состоянии j li.

Принято говорить, что частицы, для которых числа заполнения nl одночастичных квантовых состояний могут принимать все возможные значения от 0 до N, подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна3. С этим связано и происхождение термина “бозоны”.

2.2.Базисные квантовые состояния для фермионов. Статистика Ферми-Дирака

Рассмотрим теперь квантовые системы, состоящие из тождественных частиц с полуцелым спином, и попытаемся построить для них базисный набор волновых функций, аналогичный набору функций (??).

2Во избежании недоразумений подчеркнем, что не следует путать два понятия: “квантовое состояние системы” и “одночастичные состояния” j li, по которым распределяются частицы.

3Индийский физик Бозе первым предложил описание квантовых состояний системы фотонов с помощью чисел заполнения. Эйнштейн обобщил это описание на произвольные системы частиц с нулевым и целым спином.

3

Ясно, что в данном случае симметризованные произведения одночастичных волновых функций не годятся, так как волновая функция системы фермионов должна быть антисимметричной, т. е. должна менять знак при перестановке любых двух частиц. Заметим, однако, что любая перестановка в наборе индексов fl1; : : : ; lN g сводится к четному или нечетному числу перестановок пар частиц. Введем для каждой перестановки множитель ( 1)P, который равен +1 или 1 в зависимости от того, сводится данная перестановка к четному или нечетному числу перестановок пар частиц. Тогда в качестве полностью антисимметричных базисных волновых функций системы можно взять функции4

P

Рекомендуем читателю самостоятельно проверить, что эти функции удовлетворяют условию ортогональности

которое аналогично условию (??) для симметричных базисных волновых функций. Как и в предыдущем разделе, набор чисел заполнения одночастичных состояний fnlg должен удовлетворять условию (??). Однако между функциями (??) и базисными волновыми функциями для системы бозонов имеется важное различие:

волновая функция (fan) g равна нулю, если хотя бы для одного одночастичного со-

l

стояния j li соответствующее число заполнения превышает единицу, или, что то же самое, если среди индексов l1; : : : ; lN есть хотя бы два одинаковых. Пусть, например, l1 = l2, т. е. одночастичное квантовое состояние j l1i заполнено двумя фермионами. При перестановке этих индексов происходит замена (a) ! (a). Но, с другой стороны, индексы одинаковы, поэтому их перестановка не меняет функцию (a). Это может быть только в случае, когда (a) 0.

Таким образом, любой набор чисел заполнения одночастичных квантовых состояний в базисных волновых функциях системы фермионов (??) всегда представляет собой последовательность нулей и единиц. Для свободных одночастичных состояний nl = 0, а для занятых nl = 1. Принято говорить, что частицы, для которых числа заполнения nl одночастичных квантовых состояний могут принимать лишь значения 0 и 1, подчиняются статистике Ферми-Дирака5. Отсюда и название таких частиц “фермионы”.

4Верхний индекс (a) у волновой функции первая буква английского слова “antisymmetric” “антисимметричный”.

5Название дано в честь итальянского физика Энрико Ферми и английского физика Поля Дирака, которые независимо предложили изложенное здесь описание квантовых состояний систем частиц с полуцелым спином и выяснили ограничения на числа заполнения nl.

4