лекции по статам

Итак, предположим, что при T < T0 некоторое конечное число частиц N0 находится в “конденсате”, т.е. в квантовом состоянии с p~ = 0, а химический потенциал газа = 0. Тогда вместо (??) получим

Отсюда, делая в интеграле замены переменных, указанные выше и используя формулу (??) можно найти зависимость число частиц в конденсате от температуры (см. задачи к лекции):

Рис. Зависимость числа частиц в конденсате от температуры.

Величина N (T=T0)3=2 имеет смысл числа частиц в возбужденных состояниях. Таким образом, при T < T0 бозе-газ можно рассматривать как систему, состоящую из двух подсистем: конденсата и возбужденных частиц. Говорят, что при T < T0 бозе-газ является вырожденным, так как не все частицы участвуют в тепловом движении.

20.3.Термодинамические величины вырожденного бозе-газа

Найдем внутреннюю энергию вырожденного бозе-газа (T < T0). Она, очевидно, дается формулой

X

U = "(p) np~

pxpypz

Из суммы нужно выделить слагаемое с p~ = 0 (конденсат), а для частиц в возбужденных состояниях можно перейти от суммирования к интегрированию. Конденсат не дает вклад во внутреннюю энергию. Поэтому

1

VZ "(p) 4 p2 dp

U = (2 ~)3 e"(p)=kT 1

0

Сделаем замену переменной интегрирования:

Тогда формула для внутренней энергии получим выражение

U = const V T 5=2

3

Используя определение (??) критической температуры, после некоторых алгебраических преобразований (см. задачу к лекции), это выражение можно привести к виду

Мы видим, что CV ! 0 при T ! 0 (напомним, что это является непосредственным следствием теоремы Нернста).

@S

@T V;N

, то

Интегрируя это равенство по температуре и учитывая, что при T = 0 энтропия бозе-газа равна нулю (все частицы находятся в одном квантовом состоянии с p~ = 0), получим

Покажем теперь, как можно найти свободную энергию вырожденного бозе-газа. Поскольку F = U T S, то из полученных выше формул следует, что

Зная свободную энергию, можно вычислить все остальные термодинамические величины вырожденного бозе-газа, например, давление p:

Задачи к экзамену:

1. Молярный объем жидкого He4 при атмосферном давлении равен VM = 27; 6 см3 моль 1. Оценить критическую температуру конденсации Бозе-Эйнштейна, рассматривая гелий как идеальный бозе-газ.

4

2. Показать, что для вырожденного идеального бозе-газа число частиц N0, находящихся в конденсате, зависит от температуры по закону

где T0 критическая температура для конденсации Бозе-Эйнштейна.

3. Вывести формулу для внутренней энергии вырожденного бозе-газа:

где безразмерная постоянная. Получить для явное выражение. Значение интеграла

считать известным.

4.Используя выражение F = (2=3)U для свободной энергии вырожденного бозегаза, вывести формулу для давления. Убедиться, что давление вырожденного бозе-газа не зависит от его объема.

Указание: Учесть, что в формуле для внутренней энергии, (см. задачу 3 к данной

лекции) критическая температура T0 зависит от объема газа через концентрацию n =

N=V .

5.Используя выражение F = (2=3)U для свободной энергии вырожденного бозегаза, проверить, что химический потенциал такого газа равен нулю.

Указание: Учесть, что критическая температура T0 зависит от числа частиц через концентрацию n = N=V .

5

Статистическая физика

21.Равновесные квантовые газы IV

21.1.Конденсация Бозе-Эйнштейна и сверхтекучесть

В 1930-х годах экспериментально было установлено, что макроскопические свойства жидкого He4 кардинально меняются, если его охладить до температуры T = 2; 18 K (так называемая -точка) при атмосферном давлении1. В частности, в этой точке имеется аномалия теплоемкости (Рис.), похожая на букву .

Рис. Поведение теплоемкости жидкого гелия и идеального бозе-газа.

В 1938 г. П.Л. Капица экспериментально обнаружил, что при T < T He4 становится сверхтекучим его вязкость падает практически до нуля. Несколько раньше было установлено, что в этой области температур теплопроводность He4 практически бесконечна (в частности, гелий не кипит при испарении).

Если для плотности гелия % = mHen найти критическую температуру конденсации Бозе-Эйнштейна T0, то она оказывается равной 3,13 K. Это значение близко к T . Различие можно приписать тому, что He4 жидкость, а не идеальный газ.

Во всех современных теориях сверхтекучести это явление связывается с конденсацией Бозе-Эйнштейна. Интересно, что в наиболее успешной теории сверхтекучести Л.Д. Ландау считается, что He4 представляет собой “смесь” двух жидкостей “нормальной” и “сверхтекучей”. Сверхтекучая компонента не дает вклада в энтропию и ее движение такое же, как движение идеальной жидкости. Естественно связать нормальную компоненту с возбужденными атомами, а сверхтекучую с конденсатом. Однако экспериментальные попытки явно обнаружить конденсат в He4 пока не привели к успеху. По существующим оценкам, доля частиц в конденсате для He4 при T = 0 меньше 5 процентов, хотя при нулевой температуре вся жидкость сверхтекучая.

Недавно удалось экспериментально наблюдать сверхтекучесть в некоторых газах при очень низких температурах. Выводы теории, основанной на конденсации БозеЭйнштейна, прекрасно согласуются с экспериментом качественно и количественно. Почему в He4 так мала доля конденсата открытый вопрос. Возможно, что механизм сверхтекучести He4 другой.

1При атмосферном давлении гелий становится жидким при 4,2 K и остается жидким вплоть до абсолютного нуля. Для перехода He4 в кристаллическое состояние нужно повысить давление как минимум до 25 атмосфер. Эти свойства следствие очень большой энергии квантовых нулевых колебаний, которые разрушают упорядоченную кристаллическую решетку.

1

21.2.Квазиклассический предел в модели идеальных квантовых газов

описывается законами классической механики, тип статистики становится несущественным и обе квантовые модели (Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна) должны приводить практически к тем же результатам, что и модель больцмановского газа. Рассмотрим переход к больцмановскому пределу в приведенных выше формулах.

Начнем с формулы (??) для средних чисел заполнения. Тип статистики не важен,

т.е. распределение Больцмана (мы уже получали его раньше из других соображений). Получим теперь приближенное выражение для термодинамического потенциала (??). Второй член в скобках много меньше единицы, поэтому можно воспользоваться

разложением

ln(1 x) = 1 x + : : : ; (jxj 1):

Тогда

X

(T; V; ) kT e =kT Z1; где Z1 = e "l=kT одночастичная стат. сумма:

l

(21.6) Мы получили выражение для термодинамического потенциала больцмановского газа.

Рассмотрим теперь квазиклассический предел в уравнении (??) для химического потенциала. При выполнении условия (??), это уравнение принимает вид

2

Отсюда получаем

(такую формулу для химического потенциала больцмановского газа мы тоже уже получали в лекции 14). Одночастичная статистическая сумма уже вычислялась в лекции 16:

(Простота этой формулы обманчива: (T; V; N) не является термодинамическим потенциалом.). Так как

F N = ; ! F = + N;

то с учетом (??) и (??) находим свободную энергию больцмановского газа:

Это выражение совпадает с тем, которое мы уже вывели в лекции 16.

21.3.Равновесный идеальный газ во внешнем потенциальном поле

Предположим, что равновесный газ находится во внешнем потенциальном поле2. Как в данном случае описать равновесные свойства газа?

Если частицы друг с другом не взаимодействуют (газ идеальный), то дело сводится к нахождению стационарных состояний одной частицы jli и уровней энергии "l с учетом поля. Иначе говоря, нужно решить стационарное уравнение Шредингера для одной частицы, в гамильтониан которой входит потенциальная энергия частицы U(~r ) = U(x; y; z). Иногда это удается сделать, если функция U достаточно проста3. В общем случае мы не знаем уровней энергии "l и, кроме формальных соотношений, теория не дает.

Важным исключением является больцмановский газ, для которого задачу о тепловом равновесии во внешнем поле удается решить в общем виде. Так как в больцмановском газе поступательное движение частиц квазиклассично, то, в случае не слишком

2Наиболее интересные примеры газ в гравитационном поле, электроны в полупроводнике, где есть неоднородное распределение зарядов: p n переход, транзистор, и т.д.

3Например, кристаллическое поле, действующие на электроны в кристаллах, является периодическим. Одного этого факта достаточно, чтобы выяснить некоторые важные особенности одноэлектронных состояний jli.

3

сильного поля4 можно рассуждать так. Мы по прежнему рассматриваем одну частицу как подсистему в газе. Энергия частицы зависит от ее импульса p~ и положения в пространстве ~r. Кроме того, частица может находиться в любом из возможных внутренних квантовых состояний jl0i с энергией "l0 . При классическом описании поступательного движения микросостояние частицы характеризуется фазовой точкой = (~r; p~) и индексом l0 внутреннего квантового состояния5. Энергия частицы в таком микросостоянии имеет вид

Теперь нужно аккуратно определить смысл распределения вероятностей для частицы по возможным микросостояниям с учетом их “смешанного” описания.

Если микросостояние описывается на квантовом языке (jli), то в тепловом равно-

весии

wl e "l=kT

квантовое каноническое распределение.

Если микросостояние описывается на квантовом языке ( = (~r; p~)), то в тепловом равновесии каноническое распределение дает соответствующую фазовую функцию распределения

%(~r; p~) e "(r;~p)=kT

причем %(~r; p~) d3~r d3p~ есть вероятность обнаружить частицу в элементе фазового объема6 d3~r d3p~.

Нетрудно сообразить, как ввести распределение вероятностей по микросостояниям частицы при “смешанном” квантово-классическом описании. Это распределение %l0 (~r; p~) имеет следующий смысл: величина

%l0 (~r; p~) d3~r d3p~

есть вероятность того, что координаты и проекции импульса частицы лежат в элементе фазового объема d = d3~r d3p~ и при этом частица находится во внутреннем квантом состоянии jl0i..

Таким образом, для частицы равновесного больцмановского газа, находящегося во внешнем потенциальном поле, имеем каноническое распределение вида

Постоянная C определяется условием нормировки:

Z

X

l0

4Нужно, чтобы поле не искажало заметно внутренних состояний частицы.

5Таким образом, в данном случае мы вводим “смешанное” описание микросостояния нашей подсистемы: классическое для поступательного движения и квантовое для внутренних движений.

6Элемент фазового объема можно определить и как d = d3~r d3p=~(2 ~)3 в соответствии с предельным переходом от квантового к классическому описанию поступательного движения, но обычно этого не делают, так как введение такого множителя сказывается только на величине нормировочного множителя в распределении.

4

Если подставить (??) выражение (??), то мы увидим, что это распределение разобьется на произведение трех независимых распределений, которые можно по отдельности нормировать на единицу:

Замечание. Используя соотношение p~ = m~v, из (??) легко получить распределение по скоростям частицы.

В данном случае наиболее интересным для нас является функция (??), которая часто называется распределением Больцмана (не путать с распределением для больцмановского газа при квантовом описании микросостояний). Обозначим ее F (~r) и запишем в явном виде нормировочный множитель:

V

где интегрирование ведется по всему объему V , занимаемому газом.

Итак, равновесное состояние газа во внешнем поле является неоднородным. Формула (??) определяет вероятность обнаружить любую частицу в различных местах. Часто явное вычисление нормировочной постоянной в этой формуле связано с трудностями при вычислении интеграла. Поэтому обычно распределение по координатам используют в другом виде. Согласно правилам теории вероятностей, величина

dN(~r) = NF (~r) dV

имеет смысл среднего числа частиц, находящихся в элементе объема dV , а dN(~r)=dV = n(~r) средняя концентрация частиц в точке ~r. Тогда, используя (??), можно записать соотношение

куда не входит нормировочная постоянная. Предположим, что мы выбрали какую-то точку (~r = 0) в качестве начала системы координат и отсчитываем потенциальную энергию от ее значения в этой точке, т.е. полагаем U(~r = 0) = 0. Тогда формула (??) дает

Именно в таком виде распределение частиц газа по координатам используется чаще всего.

Простой пример: барометрическая формула для газа в однородном поле тяжести (U = mgh). Так как для больцмановского газа p = nkT , то

p(h) = p(0) e mgh=kT

5

Другой пример: пусть электроны проводимости в полупроводнике можно считать больцмановским газом. В некоторой области полупроводника имеется электрическое поле, которое задается потенциалом '(~r) (такая ситуация возникает, например, в области p n перехода). Тогда U = e' (e > 0) и значения концентрации электронов в двух точках в разными потенциалами будут связаны соотношением

n(~r1) = ee['(r~1) '(r~2)]=kT

n(~r2)

Электроны собираются, в основном, там, где электрический потенциал выше.

Задачи к экзамену:

квантовые состояния частицы характеризуются импульсом p~ и набором квантовых чисел l0 для внутренних состояний. Сумму по px; py; pz преобразовать в интеграл, а статистическую сумму по внутренним состояниям Zвн считать постоянной величиной

порядка единицы. Средняя длина волны де Бройля оценивается как D ~ ,

(2 )=p

где p средний импульс частицы в тепловом равновесии (его можно оценить с помощью выражения для средней кинетической энергии классического газа). Среднее расстояние между частицами r приближенно выражается через концентрацию частиц n.

2. Идеальный больцмановский газ находится в равновесии в центральносимметричном силовом поле при температуре T . Потенциальная энергия молекулы имеет вид u = u(r), где r расстояние от силового центра. Найти выражение для плотности вероятности %(r) обнаружить молекулу на расстоянии r от силового центра. Известно, что концентрация молекул на некотором заданном расстоянии r0 равна n0.

6

Статистическая физика

22.Равновесные неидеальные системы

22.1.Термодинамическая теория возмущений

Предположим, что мы хотим вычислить свободную энергию квантовой системы, используя формулу

X

F = kT ln Z; Z = e En=kT ; (22.1)

n

или термодинамический потенциал , выразив его через большую статистическую сумму. Как мы видели, для идеальных квантовых газов вычисления проводятся до конца. Однако для системы взаимодействующих частиц задача становится практически безнадежной, так как невозможно найти точные значения уровней энергии En и кратности их вырождения. Если взаимодействие между частицами можно считать слабым1, то для вычисления термодинамических потенциалов и других макроскопических величин удается применить своего рода теорию возмущений.

Допустим, что гамильтониан системы можно записать в виде суммы двух операторов

считается малым. В частности, невозмущенный гамильтониан может описывать иде-

альный квантовый газ, а ^ взаимодействие частиц друг с другом или их взаимодействие

V

с внешним полем. Предполагается, что уровни энергии невозмущенной системы En(0) и соответствующие стационарные состояния j'0ni известны и мы можем найти свободную энергию системы в нулевом приближении:

X

n

Задача состоит в том, чтобы получить поправки к свободной энергии в виде ряда по степеням возмущения.

Вспомним, что новые уровни энергии En можно приближенно вычислить с помощью стационарной теории возмущений. С точностью до поправок второго порядка они даются формулой

матричные элементы оператора возмущения по собственным функциям невозмущенного гамильтониана2.

1Критерий слабости взаимодействия мы обсудим ниже.

2Для квантовых систем, состоящих из большого числа частиц вычисление этих матричных элементов может оказаться весьма сложной задачей. Наиболее удобным является представление чисел заполнения, в котором гамильтониан возмущения записывается через операторы рождения и уничтожения.

1