лекции по статам

Вычисление нормировочной постоянной в формуле (??) производится так же, как и в случае бозонов. Результат, однако, проще:

т. е. нормировочная постоянная для всех наборов чисел заполнения одна и та же. Для базисных волновых функций (??) существует компактная форма записи, которая удобна при небольшом числе частиц N в рассматриваемой системе. Предположим, что в базисном состоянии системы заполнены одночастичные состояния с индексами l1; l2; : : : ; lN . Тогда соответствующую волновую функцию (??) можно

записать в виде так называемого детерминанта Слэтера

При перестановке в детерминанте переменных любых двух частиц знак функции

(fan) g изменяется, поскольку мы переставляем два столбца детерминанта. Кроме

l

того, если среди индексов занятых одночастичных состояний есть хотя бы два

одинаковых, то (fan) g = 0, поскольку детерминант тождественно обращается в нуль.

l

Любая волновая функция системы, состоящая из N тождественных фермионов, может быть записана в виде ряда по базисным функциям (??):

X

(q1; : : : ; qN ; t) = C (fnlg; t) (fan) g(q1; : : : ; qN ): (2.16)

l

fnlg

В отличие от формулы (??), суммирование здесь ведется только по наборам чисел заполнения, состоящих из нулей и единиц. Коэффициенты C (fnlg; t) пред-

ставляют собой амплитуды вероятности обнаружить систему в состояниях (fan) g с

l

различными распределениями частиц по одночастичным состояниям j li. Эти коэффициенты удовлетворяют соотношению (??), которое обеспечивает нормировку волновой функции (t) на единицу.

Очень часто ограничение на числа заполнения nl в базисных волновых функциях (??) формулируется в виде так называемого принципа запрета Паули: две тождественные частицы с полуцелым спином не могут находиться в одном и том же одночастичном квантовом состоянии j li. В общем-то формула (??) говорит то же самое, так как ни в одной возможной волновой функции системы из N фермионов не будет “примеси” такого базисного состояния (a), в котором nl 2 хотя бы для одного одночастичного состояния j li.

Принцип запрета Паули справедлив для электронов, протонов и нейтронов, так как все эти частицы обладают спином s = 1=2.

5

Статистическая физика

3.Общая схема квантовой механики

3.1.Понятие вектора состояния

В волновой механике Шредингера квантовое состояние (одной частицы или системы частиц)описывается волновой функцией (q; t). Однако это не единственный способ описания квантового состояния

Пусть f a(q)g некоторый полный ортонормированный набор базисных волновых функций, удовлетворяющих условию

Договоримся, a = fa1; a2; : : : ; ai; : : :g есть сложный индекс, включающий все индексы, полностью определяющие базисную волновую функцию. Символ Кронекераa a 0 определяется как произведение

Y

a a 0 = ai ai0 : (3.2)

i

Некоторые ai могут принимать непрерывный набор значений (скажем, проекции импульса частиц). Суммирование по таким непрерывным индексам означает интегрирование, а символ Кронекера ai ai0 заменяется на дельта-функцию (ai ai0).

Полнота набора функций f a(q)g означает, что

X

(q; t) = C(a; t) a(q); (3.3)

a

где суммирование ведется по всем возможным значениям a. Комплексные коэффициенты C(a; t) есть амплитуды вероятности обнаружить систему в момент времени t в базисных состояниях. Сами вероятности равны jC(a; t)j2. Благодаря условию (??) амплитуды C(a; t) равны скалярным произведениям волновой функции системы (q; t) и базисных волновых функций:

Z

C(a; t) = h aj (t)i a(q) (q; t) dq; (3.4)

а условие нормировки для волновой функции системы записывается через амплитуды C(a; t) в виде

В принципе, набор базисных функций f a(q)g может быть никак не связан с физикой задачи; важно лишь, чтобы он был полным и ортонормированным. Однако

1

обычно эти функции являются собственными функциями некоторого полного набора одновременно измеримых физических величин1, а индексы ai соответствующие собственные значения (или квантовые числа).

Вместо базисного набора функций f a(q)g можно выбрать другой полный набор ортонормированных функций f b(q)g, по которому с тем же успехом может быть разложена волновая функция системы (q; t). Важно отметить, что амплитуды C(a; t) и C(b; t) полностью описывают квантовое состояние и их, в принципе, можно использовать вместо волновой функции (q; t). Получается так, что при различных выборах базисных волновых функций мы получаем формально различные описания одного и того же квантового состояния, или, как принято говорить, получаем для него различные представления. Это наблюдение и лежит в основе общей схемы квантовой механики, предложенной Дираком. Идея Дирака состояла в том, чтобы сформулировать законы квантовой механики не для волновой функции, а непосредственно для квантовых состояний.

Согласно Дираку, в каждый момент времени квантовое состояние системы математически описывается величиной j(t)i, которая называется вектором состояния2.

Далее постулируются свойства векторов состояния. Они являются, конечно, обобщением свойств волновых функций, которыми до сих пор описывались квантовые состояния.

Векторы состояния можно складывать и умножать на комплексные числа, получая новые векторы состояния.

Это свойство отражает фундаментальный принцип квантовой механики принцип суперпозиции состояний. На языке математики оно означает, что векторы состояния образуют абстрактное векторное пространство бесконечного числа измерений.

Для любых векторов состояния j 1i и j 2i определено их скалярное произведение h 1j 2i, которое является комплексным числом и обладает следующими свойствами:

Обратим внимание на формальное сходство этих свойств со свойствами скалярного произведения функций. Это сходство не случайное, так как волновая функция

1Их операторы коммутируют друг с другом.

2Термин “вектор состояния” подчеркивает, что для квантовых состояний можно определить алгебраические операции, аналогичные операциям с обычными векторами (см. ниже).

2

(q; t) одно из возможных представлений вектора состояния. Абстрактное векторное пространство бесконечного числа измерений, в котором определено скалярное произведение со свойствами (??) – (??), называется в математике гильбертовым пространством в честь немецкого математика Давида Гильберта, построившего строгую теорию таких пространств еще до создания квантовой механики. Многие теоремы этой теории оказались весьма полезны для решения задач квантовой механики и обоснования ее соотношений.

Из принципа суперпозиции следует, что квантовое состояние фактически определяется лишь “направлением” вектора j i в гильбертовом пространстве, а не его

p

“длиной” h j i. Иногда говорят, что правильнее сопоставлять квантовым состояниям не векторы, а “лучи” в гильбертовом пространстве, но мы не будем вдаваться в такие тонкости. Обычно векторы состояний нормируются на единицу условием h j i = 1. В некоторых случаях это сделать невозможно. Например, собственные функции операторов с непрерывным спектром значений приходится нормировать на дельта-функцию. Поэтому в гильбертовом пространстве квантовых состояний допускается существование векторов с бесконечной длиной.

В гильбертовом пространстве любой системы имеется хотя бы один полный ортонормированный набор базисных векторов состояний fjaig, характеризу-

емых индексом a = fa1; a2; : : : ; g, где ai принимают дискретные или непрерывные значения3. Полнота набора fjaig означает, что любой вектор состояния системы j i можно представить в виде суперпозиции

X

j i = C(a) jai; (3.10)

a

где C(a) комплексные числа. Как и раньше, договоримся, что знак суммирования по непрерывному индексу означает интегрирование.

Коэффициент C(a) в разложении (??) квантового состояния системы по базисным есть амплитуда вероятности того, что при измерении система будет обнаружена в базисном состоянии jai. Сама вероятность такого результата измерения равна jC(a)j2.

Существование полного ортонормированного базиса в пространстве квантовых состояний вполне естественное предположение. Мы видели, что в пространстве волновых функций полные наборы образуют собственные функции операторов физических величин.

Приведенные выше постулаты вроде бы “заимствованы” из волновой механики Шредингера, где основными математическими объектами были волновые функции, обладавшие аналогичными свойствами. Возникает естественный вопрос: что нового дает введение абстрактного вектора состояния? Не лучше ли придерживаться более наглядного понятия волновой функции? В пользу того, что обобщенная схема квантовой механики, предложенная Дираком, является далеко не тривиальной, можно привести много аргументов. Приведем лишь один из них

3По дискретным индексам ai базисные векторы можно нормировать на единицу, а по непрерывным на дельта-функцию.

3

По мере развития квантовой механики выяснилось, что существуют квантовые состояния, которые невозможно описать волновой функцией, зависящей от координат частиц, а для некоторых систем вообще невозможно разумным образом определить такую волновую функцию4. Например, невозможно ввести понятие “волновой функции фотона” кванта электромагнитного излучения. Между тем, для фотона можно ввести ортонормированные базисные векторы состояний jp;~ i, где p~ импульс фотона5, а квантовое число определяет состояние поляризации фотона аналог спинового состояния. Фотон, как и электрон, обладает собственным моментом импульса. Он не называется спином, так как его свойства несколько отличаются от свойств спина “массивных” частиц. Собственный момент фотона может быть направлен либо вдоль направления его движения (т. е. вдоль вектора импульса p~ ), либо в противоположную сторону. Проекция момента фотона Sp~ на направление p~ принимает значения Sp~ = ~ , где = 1. Говорят, что в состоянии с = 1 фотон является правополяризованным, а в состоянии с= 1 левополяризованным. Когерентное электромагнитное излучение с циркулярной поляризацией, знакомое читателю из курса оптики, состоит из фотонов с определенной поляризацией. Линейно поляризованное излучение состоит из фотонов, находящихся в квантовом состоянии jp;~ li, которое является суперпозицией состояний с разными поляризациями, например,

22

Как видим, можно описывать состояния фотона и составлять их суперпозицию, не прибегая к понятию волновой функции.

Так как предполагается, что набор базисных векторов состояния fjaig является ортонормированным, т. е. выполняется соотношение

(с оговоркой, что для непрерывных индексов aa0 дельта-функция), то из формулы (??) находим C(a) = haj i. Поэтому разложение произвольного вектора состояния j (t)i принимает вид

Если fjaig полный ортонормированный набор базисных векторов состояния, то скалярные произведения C(a; t) haj (t)i полностью описывают квантовое состояние системы. Набор этих коэффициентов называется волновой функцией системы в a-представлении.

Полезное понятие: оператор проектирования на базисные состояния

4Особенно много таких примеров встречается в релятивистской квантовой теории.

5В качестве характеристики состояния фотона вместо импульса p~ часто используется

волновой вектор ~ ~. k = p=~

4

То, что это оператор, легко проверить, приписан справа любой вектор состояния j i. Действительно, мы получим

Справа стоит базисный вектор состояния jai, умноженный на число, т. е. вектор из гильбертова пространства. С помощью оператора проектирования разложение (??) вектора состояния записывается в виде

X

j i ^ j i

(t) = Pa (t) : (3.16)

a

Заметим теперь, что эта формула эквивалентна утверждению, что сумма всех опе-

раторов проектирования есть единичный оператор ^, если набор базисных состоя-

1

ний является полным. Итак:

Для любого полного ортонормированного набора базисных состояний выполняется соотношение

XX

aa

3.2.Различные представления операторов физических величин

Напомним, что ранее оператор действовал на волновую функцию системы; в результате получалась новая волновая функция. Поскольку в схеме Дирака квантовое состояние описывается вектором состояния, то теперь смысл оператора несколько меняется.

Очень многие правила работы с операторами сохраняют тот же самый вид, что и в волновой механике Шредингера. Например, важное правило вычисления среднего значения физической величины A в состоянии j (t)i выглядит точно так же:

XX

ii

где j ii любые векторы состояния системы, i произвольные комплексные числа.

5

Действуя по аналогии с алгеброй операторов в волновой механике Шредингера, можно ввести общее определение эрмитово сопряженного оператора и

^y

самосопряженного (или эрмитового) оператора. В схеме Дирака оператор A

называется эрмитово сопряженным оператору ^, если для любых векторов состо-

A

яния выполняется равенство

Если ^y ^, то оператор ^ называется самосопряженным или эрмитовым.

A = A A

Задание оператора в конкретном представлении:

пусть ^ некоторый линейный оператор. Найдем, как он действует на волно-

A

вую функцию C(a) = haj i в a-представлении. Если

то нужно найти связь между C(a) = haj i и волновой функцией возникшего состояния Ce(a)hajei. Здесь опять помогают скобочные обозначения Дирака. Умножая скалярно обе части равенства (??) на базисный вектор jai, получим

a0

где мы снова воспользовались выражением (??) для единичного оператора. Ком-

h j ^j 0i

плексные числа a A a называются матричными элементами оператора в a-представлении. Набор матричных элементов образует матрицу оператора в данном представлении. Итак, мы приходим к заключению:

представлении C(a) haj i полностью определяется его матричными эле-

ментами aa0 h j ^j 0i:

A a A a

Иначе говоря, достаточно знать, как оператор действует на базисные векторы состояний jai, чтобы определить его действие на произвольную волновую функции в этом представлении. Все свойства операторов можно записать на языке мат-

ричных элементов. Например, матрица эрмитово сопряженного оператора ^y, со-

A

гласно соотношению ( ), выражается через матрицу самого оператора ^ такой

?? A

формулой:

Если оператор ^ эрмитов, то его матричные элементы в любом представлении

A

удовлетворяют соотношению

6

В математике матрицы с таким свойством называют эрмитовыми.

Если базисных состояний jai немного, то Aaa0 обычная матрица, знакомая читателю из курса алгебры.

Выражение для среднего значения через матричные элементы оператора

Средние значения в схеме Дирака даются формулой

Они могут быть вычислены в любом a-представлении с помощью волновой функции системы C(a; t) = haj (t)i. Действительно, используя опять соотношение (??), пишем

3.3.Матричная форма уравнения Шредингера

Уравнение Шредингера для вектора состояния

Пусть fjaig fja1; a2; : : : ; ai; : : :ig некоторый полный ортонормированный базис квантовых состояний системы. Тогда вектор состояния j (t)i может быть записан в виде суперпозиции

X

j (t)i = C(a; t) jai; (3.28)

a

где набор коэффициентов C(a; t) “волновая функция” в этом представлении. Из (??) получаем систему уравнений

матрица гамильтониана системы (или, как часто говорят, гамильтонова матрица) в выбранном a-представлении. Гамильтонова матрица обладает важным свойством

Оно является следствием того, что гамильтониан любой физической системы эрмитовый оператор

7

Статистическая физика

4.Представление чисел заполнения для бозонов (вторичное квантование)

4.1.Базисные квантовые состояния

Квантовое состояние системы, которое описывается базисной волновой функцией

(fsn) g(q1; : : : ; qN ), полностью определяется набором чисел заполнения fnlg. Каж-

l

дое число nl может принимать значения 0; 1; 2; : : : ; N; оно показывает, сколько частиц находится в одночастичном состоянии jli.

Расположим значения индекса l в некотором порядке и введем базисные векторы состояния системы

где fnlg все возможные наборы чисел заполнения, удовлетворяющие условию

X

nl = N

l

Как работать с таким базисом ? Пока мы знаем только, что “проекциями” состояний (??) в координатном q-представлении являются волновые функции

Величина fnlg;fn0lg равна единице, если наборы чисел заполнения совпадают, и равна нулю, если nl 6= n0l хотя бы для одного jli.

4.2.Операторы рождения и уничтожения бозонов

К сожалению, волновые функции (??) зависят от огромного числа переменных, если число частиц N в системе велико. Поэтому желательно избежать их использования при вычислении средних значений физических величин, матричных элементов операторов и т. д.

Введем вспомогательные операторы a^l и a^yl с помощью правил, по которым они действуют на базисные квантовые состояния:

a^l j : : : ; nl; : : :i = pnl j : : : ; nl 1; : : :i;

(4.4)

a^yl j : : : ; nl; : : :i = pnl + 1 j : : : ; nl + 1; : : :i:

Точками обозначены числа заполнения остальных одночастичных состояний jl0i с l0 6= l. Они не меняются при действии операторов a^l и a^yl на вектор состояния системы.

1

легко находим, как a^l и a^yl действуют на произвольный вектор состояния. Оператор a^l оператор уничтожения частицы в квантовом состоянии

jli, а a^l оператор рождения.

Свойства операторов рождения и уничтожения:

Отличные от нуля матричные элементы имеют вид

h: : : ; n0l; : : : ja^lj : : : ; nl; : : :i = pnl n0l;nl 1

h: : : ; n0l; : : : ja^yl j : : : ; nl; : : :i = pnl + 1 n0l;nl+1

Оператор рождения является эрмитово сопряженным к оператору уничтожения (и наоборот)

Оператор n^l = a^yl a^l является эрмитовым и имеет только диагональные матричные элементы в представлении чисел заполнения. Оператор числа частиц в состоянии jli. показать

Коммутационные соотношения доказать:

где l и l0 произвольные индексы одночастичных состояний.

В квантовой механике операторы рождения и уничтожения, удовлетворяющие коммутационным соотношениям (??), принято называть бозе-операторами. Такие операторы встречаются не только в теории систем, состоящих из “обычных” частиц с целым спином.

Примеры:

а) осциллятор (самим прочитать)

б) фотоны: однофотонные состояния jp;~ i, где p~ импульс фотона, а характеризует поляризацию фотона. Соответствующие операторы рождения фотонов a^py~ и a^p~ также являются бозе-операторами.

4.3.Операторы физических величин в представлении чисел заполнения

Сами по себе операторы рождения и уничтожения не соответствуют каким-либо наблюдаемым величинам1. Зачем же они нужны? Дело в том, что оператор любой

1Операторы чисел заполнения соответствуют наблюдаемым величинам их, в принципе, можно измерить.

2