лекции по статам

Оно описывает реакцию термостата на взаимодействие с подсистемой.

В общем случае правая часть (??) содержит неизвестный статистический оператор всей системы %(t), поэтому точно исключить переменные термостата не удалось. Самое разумное использовать какое-нибудь приближение.

Приближение слабой связи. Предположим, что взаимодействие подсистемы с

термостатом слабое, т.е. оператор ^ можно рассматривать как малое возмущение.

V

Тогда для исключения переменных термостата в (??) можно построить своего рода теорию возмущений.

Запишем полный статистический оператор в виде

где %^(t) пока неизвестная операторная поправка.

Доказать самим, что Tr ( %^(t)) = 0.

Если ^ , то , поэтому мал (по крайней мере, он линеен по взаимо-

V = 0 %^ = 0 %^

действию). Если подставить (??) в (??), то мы приходим к уравнению

оператор взаимодействия, усредненный по состояниям термостата. Его часто называют оператором среднего поля. Уравнение для термостата (??) в результате той же операции принимает вид

7

Идея: Дальше нужно получить уравнение для %^. Дифференцируют соотношение (??) по времени, а потом производные остальных операторов исключают с помощью уравнения фон Неймана (??) и уравнений (??) и (??). С линейной точностью по взаимодействию уравнение для %^ удается решить, т.е. выразить его через статистические операторы термостата и подсистемы. Тогда мы получаем связанную систему систему уравнений для %^S и %^T . Если при решении этой системы уравнений учесть, что термостат большая макросистема и заменить ее статистический оператор на равновесный, то получается замкнутое уравнение для %^S(t). Оно довольно сложное, но “решабельное” для простых моделей подсистемы.

23.3.Релаксация двухуровневой системы в термостате

Рассмотрим упрощенную модель релаксации двухуровневой подсистемы (кубайта), слабо взаимодействующей с равновесным термостатом.

В качестве базисных состояний j i подсистемы возьмем ее стационарные состояния

Будем считать, что базисные состояния нормированы на единицу и ортогональны друг

Обозначим матрицу плотности подсистемы в выбранном представлении % 0 (t). Ее можно записать в виде матрицы 2 2:

Эта матрица эрмитова, т.е.

%01 = %10

Кроме того, след этой матрицы равен единице, т.е.

%00 + %11 = 1:

Напомним, что диагональные элементы матрицы плотности вероятности обнаружить подсистему в базисных состояниях:

w0 = %00; w1 = %11

В силу приведенных выше условий, в качестве независимых величин, полностью описывающих состояние подсистемы в любой момент времени, можно взять, например, w(t) w0(t) и c(t) %01(t). Тогда матрица плотности запишется в виде

4Если энергии базисных состояний различны, то они автоматически ортогональны друг к другу. Если же E0 = E1, то предполагается, что проведена процедура ортогонализации.

8

В тепловом равновесии для подсистемы можно записать каноническое распределение:

Недиагональные элементы матрицы плотности в равновесии равны нулю. Запишем теперь операторное уравнение (??) для элементов матрицы плотности в

выбранном нами представлении. Во многих случаях вклад “среднего поля” (с h^ iT ) в

V

равновесном термостате обращается в нуль, поэтому мы его не будем учитывать. Как уже отмечалось, достаточно двух уравнений для w(t) = %00(t) и c(t) %01(t). Эти уравнения имеют вид (Проверить самим !)

dw(t) = I(t); dt

dc(t) = i (E0 E1) c(t) + I0(t) dt ~

Символами I(t) и I0(t) обозначены матричные элементы последнего оператора, который учитывает влияние термостата. Вычислить эти матричные элементы сложно, так как они зависят от деталей взаимодействия. Мы поступим так. как обычно поступают, когда хотят понять качественную картину явления: возьмем для них разумные модельные выражения, которые при необходимости можно проверить в помощью более общей теории.

Что описывают I(t) и I0(t)? Мы знаем, что со временем наша подсистема придет в равновесное состояние. В равновесии I = I0 = 0. Предположим, что скорости релаксации w(t) и c(t) под влиянием термостата пропорциональны отклонениям этих величин от их равновесных значений (модель линейной релаксации). Тогда наша система урав-

где w и c некоторые постоянные величины, которые часто называются продольным и поперечным временами релаксации. Решать уравнения нужно с начальными условиями

w(t = 0) = w(0); c(t = 0) = c(0);

где w(0) и c(0) заданные величины. Они определяют начальное состояние системы. С уравнениями (??) уже можно справиться. Для простоты рассмотрим симмет-

ричный кубайт (E0 = E1). Тогда weq = 1=2. В этом случае система уравнений, описывающая процесс релаксации, принимает вид

9

Решение легко находится:

Что оно означает? Первая формула закон релаксации распределения вероятностей для базисных состояний, вторая закон релаксации недиагональных элементов матрицы плотности кубайта.

Как мы видим, взаимодействие с окружением ведет к потере информации о начальном состоянии. Имеется два характерных времени, которые определяют скорость потери этой информации w и c. Исследование их зависимости от деталей взаимодействия с окружением и выяснение способов увеличить эти времена задача более строгой теории.

10