8.3. Взаимное расположение двух прямых. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

Две прямые на плоскости могут пересекаться, быть параллельны, совпадать. Полезную информацию о взаимном расположении двух прямых дают направляющие векторы и векторы нормали этих прямых. Например, угол (острый или тупой) между прямыми равен углу (острому или тупому) между направляющими векторами этих прямых. Этот же угол равен углу между нормалями к этим прямым.

Расстояние от точки до прямой можно вычислить по формуле: .

Пример 7.

При каких значениях параметров прямые а) пересекаются в одной точке, б) параллельны, но не совпадают, в) совпадают?

Решение. Из общих уравнений прямых найдем их нормальные векторы.

, .

Если прямые параллельны или совпадают, то . Следовательно, ответ на вопрос а) такой: прямые пересекаются в одной точке при .

Если прямые совпадают, то помимо пропорциональности координат векторов , система из дух уравнений должна быть эквивалентна одному уравнению. Уравнение должно быть пропорционально уравнению .

Ответ на вопрос в): прямые совпадают при .

Ответ на вопрос б) вытекает из полученных двух ответов: прямые параллельны, но не совпадают при таких, что и .

Пример 8.

Выяснить взаимное расположение прямых : , : .

Если прямые пересекаются, то найти точку их пересечения и угол между прямыми.

Решение. Из параметрических уравнений прямых , легко находятся их направляющие векторы .

: . : .

Координаты векторов не пропорциональны, значит эти векторы не коллинеарны и значит, прямые , пересекаются в одной точке. Эту точку можно найти такими рассуждениями:

, .

,

. Эту точку можно по-другому. Из параметрических уравнений найдем общие уравнения прямых ,. Система из общих уравнений прямых определяет .

: .

: .

.

Чтобы найти угол между прямыми, найдем угол между направляющими векторами , . ,

. Данное значение дает тупой угол между прямыми ,.

Острый угол между прямыми , равен .

Пример 9. Стороны треугольника лежат на прямых заданных общими уравнениями. .

Найти длину высоты этого треугольника из вершины .

Решение. Данная задача уже решена примером 6. В отличие от используемых там методов теперь найдем высоту с использованием формулы расстояния точки до прямой. Начало решения повторяет решение в примере 6: находим точку пересечения прямых и .

Теперь отходим от решения в примере 6 и воспользуемся тем, что равно расстоянию от точки до прямой . Следовательно, по формуле

получаем .

_________________________________________________________________________

Домашнее задание.

1. Найти каноническое, параметрические и общее уравнения прямой, проходящей через точки .

2. Найти каноническое, параметрические и общее уравнения прямой, проходящей через точку параллельно прямой .

3. Найти каноническое, параметрические и общее уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .